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江苏南通市海安市实验中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．设集合.集合.则中元素的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．若复数满足，则复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3．已知两条直线，和平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
4．某地区7月1日至7月10日白天的平均气温的折线图如图所示，则下列判断错误的是（ ）
A．从7月2日到7月5日白天的平均气温呈下降趋势
B．这10天白天的平均气温的极差大于6℃
C．这10天中白天的平均气温为26℃的频率最大
D．这10天中白天的平均气温大于26℃的有5天
5．设函数，则“”是“没有极值点”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（ ）
A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项
7．若函数在区间上单调递增，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去7天苹果的日销售量（单位：kg），结果如下：95，84，85，99，88，93，86，则这7天苹果日销售量的（ ）
A．第80百分位数为93 B．平均数为90
C．极差为15 D．方差为28
10．已知分别为随机事件A，B的对立事件，则下列结论正确的是（ ）
A． B．若，则A，B独立
C．若A，B独立，则 D．
11．如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（ ）
A．三棱锥的体积为
B．平面
C．三棱锥的外接球的表面积为
D．由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为
三、填空题
12．已知函数满足，则________．
13．有编号分别为1，2，3，4的4张电影票，要分给甲、乙、丙3个人，每人至少分得一张，且4张电影票全部分完，则不同分配方法的种数为______.（用数字作答）
14．将五张标有、、、、的卡片摆成右图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按取走卡片的顺序是“和谐序”，按取走卡片的顺序不是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为_________．
四、解答题
15．已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
16．如图，在五面体ABCDEF中，是等边三角形，，，平面平面是棱DF的中点.
(1)证明：平面ABC．
(2)证明：平面ABC．
17．已知函数.
(1)当，求的单调性；
(2)若曲线经过点，且在处的切线为.证明：除切点外，曲线在直线的下方.
18．如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，为的中点，，，.
(1)证明：；
(2)若点在棱上，二面角的正切值为，求点到平面的距离.
19．现有除颜色外都相同的3个红球和3个白球，随机取3个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为.从袋中随机摸出一个球，并换入一个另一种颜色的球，经过次摸换，袋中的红球个数记为.
(1)求与；
(2)求；
(3)当时，求随机变量的数学期望.
《江苏南通市海安市实验中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C D C B D B BCD ABD
题号 11
答案 ACD
1．A
【详解】，又，
所以，元素个数为2
2．C
【分析】利用复数除法法则计算出，从而求出虚部.
【详解】，
故复数的虚部是.
故选：C
3．C
【分析】根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理逐一判断即可.
【详解】对于A，若，，可能平行于平面，也可能(此时不平行于平面，)，故A错；
对于B，若，，直线，可能平行、相交或异面，故B错；
对于C，如果两平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面，故C正确；
对于D，若，，直线与平面可能相交、平行或.
4．D
【解析】观察折线图可得选项A和选项B正确；选项C，这10天中白天的平均气温为26℃的频率比其他平均气温的频率都要大，所以该选项正确；选项D，白天的平均气温大于26℃的只有4天，所以该选项错误.
【详解】选项A，从7月2日到7月5日白天的平均气温呈下降趋势，所以该选项正确；.
选项B，这10天白天的平均气温的极差大于6℃，所以该选项正确；
选项C，这10天中白天的平均气温为26℃的频率为0.3，比其他平均气温的频率都要大，所以该选项正确；
选项D，这10天中白天的平均气温大于26℃的只有4天，所以该选项错误.
故选：D.
5．C
【分析】求出函数的导数，利用极值点的意义，及充分条件、必要条件的定义判断得解.
【详解】函数，求导得，
当时，，当且仅当时取等号，则在R上单调递增，无极值点；
若没有极值点，则没有变号零点，因此，解得，
所以“”是“没有极值点”的充分必要条件.
故选：C
6．B
【分析】根据二项式展开式中二项式系数的性质求解．
【详解】由题意，二项式的展开式的系数与二项式系数相同，即，解得，
则展开式中共有9项，系数最大的项为第5项．
故选：B.
7．D
【分析】求出导函数，由于函数在区间上单调递增，可得在区间上恒成立，解出即可．
【详解】，
函数在区间单调递增，
在区间上恒成立，
，
而在区间上单调递减，
，
的取值范围是：，
故选：D．
8．B
【分析】法一：设，，，棱长均为1，则，，，再根据向量夹角的求法求解即可；法二：根据空间斯坦纳定理夹角公式求解．
【详解】法一：设，，，
设三棱柱棱长均为1，因，则，
又因，，
所以，
，
，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
法二：不妨设底面边长与侧棱长均为1，则易得，
同法一可证：，由空间斯坦纳定理夹角公式：
所以．
故选：B．
9．BCD
【分析】根据百分位数、平均数、极差、方差的定义一一计算即可.
【详解】从小到大排列为：84，85，86，88，93，95，99，
因，故第80百分位数为第6个数，即95，故A错误；
平均数为，故B正确；
由，故极差为15，故C正确；
方差为，故D正确.
故选：BCD
10．ABD
【分析】根据随机事件的概率、独立事件、条件概率等知识确定正确答案.
【详解】A选项，根据随机事件的概率的知识可知，A选项正确.
B选项，根据独立事件的知识可知，，则相互独立，B选项正确.
C选项，若独立，则，C选项错误.
D选项，表示在事件发生的情况下事件发生的概率，
表示在事件发生的情况下事件发生的概率，
所以，所以D选项正确.
故选：ABD
11．ACD
【分析】对于A，根据等积变换可求三棱锥的体积；对于选项B，可用反证法说明；对于选项C，可通过建立空间直角坐标系求出外接球的半径，从而得出表面积；对于选项D，作出过三点确定的平面与正方体相交形成的截面，进而求得截面的周长.
【详解】对于A，三棱锥的体积，故A正确；
对于B，因为，所以与不垂直，
所以与平面不可能垂直，故B错误；
对于C，坐标法：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，设外接球的球心为，则
，
，
，
求得，故C正确；
对于D，如图，过三点确定的平面与正方体相交形成的截面为等腰梯形为的中点（平行则四点共面），
等腰梯形的周长为，D正确.
故选：ACD
12．
【详解】由，所以.
令得：.
所以，
所以.
13．
【分析】先将4张票中的张捆绑，再分配给三个人，由此计算得到不同分配方法的种数.
【详解】分配方法：先从4张票中选出2张捆绑，作为一个整体，
再将这3个“元素”（2张捆绑票和剩余2张票）分给3个人.
所以总的方法数为 .
14．
【分析】对抽卡片的顺序进行分类讨论，结合分步乘法计数原理、分类加法计数原理与古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】分两种情况讨论：
（1）第一步，从号或号卡片抽取一张，有种情况，比如先抽号卡片，
第二步，从号或号卡片抽取一张，有种情况，比如先抽号卡片，
第三步，从号或号卡片抽取一张，有种情况，比如先抽号卡片，
第四步，从号或号卡片抽取一张，有种情况，
第五步，抽最后一张卡片，
此时，不同的抽法种数为种；
（2）第一步，抽号卡片，
第二步，从、、号卡片抽取一张，有种情况，比如先抽号卡片，
第三步，从、号卡片抽取一张，有种情况，比如先抽号卡片，
第四步，从、号卡片抽取一张，有种情况，
第五步，抽最后一张卡片，
此时，不同的抽法种数为种.
而从张卡片随意抽取，不同的抽法种数为，
因此，取卡顺序是“和谐序”的概率为.
故答案为：.
15．(1)
(2)0
【分析】（1）赋值法，结合二项式的展开式通项公式进行求解；
（2）求导，赋值进行求解
【详解】（1）中，
令，得，
又的展开式通项公式为，
令得，所以，
所以；
（2），
求导得，
令，得.
16．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）取棱的中点O，连接．先证得，再由线面平行的判定定理证明即可；
（2）由线面垂直的判定定理可得平面，则，再，由线面垂直的判定定理即可证得.
【详解】（1）取棱的中点O，连接．
因为O，P分别是棱AC，DF的中点，所以，
且．因为，，
所以，，所以四边形为平行四边形，
所以．因为平面，平面，所以平面．
（2）因为是等边三角形，且O是棱AC的中点，
所以．因为平面平面，
且平面平面，平面，
所以平面．因为平面，所以．
因为，平面，平面，
且，平面，
所以平面．
17．(1)在单调递减，在单调递增；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求得，利用导数直接判断函数的单调性即可；
（2）根据过点，求得参数，再求在切点处的切线的方程，通过作差构造函数，通过证明，即可证明.
【详解】（1）当，，定义域为，，
故当，，单调递减；当，，单调递增，
故的单调性是：在单调递减，在单调递增.
（2），又其过点，则，解得；
此时，定义域为，，又，，
故曲线在点处的切线的方程为：，即；
要证：除切点外，曲线在直线的下方，
即证：，也即，当且仅当时，取得等号；
令，定义域为，，
故当，，单调递增；当，，单调递减；
故当时，取得极大值，也是最大值，
故，也即，当且仅当时，取得等号，
故除切点外，曲线在直线的下方，即证.
18．(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）根据勾股定理可证，根据等边三角形可证，由线面垂直的判定定理可证平面，故可证；
（2）以向量，，所在方向建立空间直角坐标系，设，则可通过向量法求出面面角的余弦值，结合已知正切值可求，再根据点面距的向量法可求距离，我们也可以过做，垂足为，过做，垂足为，连接，则是二面角的平面角，根据已知正切值可求
【详解】（1）因为是边长为2的等边三角形，为的中点，所以，
在中，由余弦定理得:
，所以，
因为为中点，所以，
因为是边长为2的等边三角形，所以，
则，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以
（2）解法一：以向量，，所在方向建立空间直角坐标系，
则，，，，
因为在线段上，设，
则，，
设平面的法向量为，
则即取.
又平面的法向量为，
因为二面角的正切值为，
所以，
整理得，解得或（舍去），所以，
设平面的法向量为，则即
取，则，
所以点到平面的距离.
解法二：过作，垂足为，过作，垂足为，连接，
因为平面，平面，所以平面平面，
平面平面，平面，所以平面，
又平面，所以，
又，平面，所以平面，
平面，故，所以是二面角的平面角，
而二面角的正切值为，故，
设，，所以，
在中，，，，
故，故为等腰直角三角形，
故，故，
所以，，故，故，
又，
设到平面的距离为，则可得，
故，故到平面的距离为.
19．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据古典概型的概率公式可求概率；
（2）根据全概率公式可求；
（3）求出的分布列后可求的数学期望.
【详解】（1），.
（2）
,
故.
（3）当时，，，，，且，，
则
，
，
随机变量的数学期望.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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