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2025-2026学年九年级下学期中考复习数学试题（二）[广东专版]
一、选择题:本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．2的相反数是（ ）
A． B．2 C． D．1
2．下列计算正确的是( )
A． B．
C． D．
3．植物学家在厄瓜多尔意外地发现了一种兰花新物种，是兰花物种中最小的一种，花瓣直径仅2.1毫米，把2.1毫米用科学记数法表示为米，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（　　）
A．为了解全省中学生的心理健康状况，宜采用普查方式
B．掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币都是正面朝上这一事件发生的概率为
C．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上是必然事件
D．甲乙两人在相同条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S甲2＝0.4，S乙2＝0.6，则甲的射击成绩较稳定
5．潮州市的广济桥是中国古代著名桥梁之一，如图中的照片是某处栏杆的拐角，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．已知一次函数的图像经过点，则该一次函数的图像不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．某果干加工坊要加工千克梨干，本次加工采用了新工艺，工效提高了，加工同样重量的梨干比原来就少用．求采用新工艺前每小时加工多少千克梨干？设采用新工艺前每小时加工千克梨干，则下列方程正确的是( )
A． B．
C． D．
8．如图，过外一点作的两条切线、，切点分别为、，作直径，连接、，若，则的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
9．如图，将绕点B按逆时针方向旋转90°后，得到，已知，，，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，E，F分别是，的中点，连接，，G，H分别是，的中点，连接，若，则的长度是（ ）
A． B． C． D．2
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分,共15分.
11．要根式有意义，则实数的取值范围为 ．
12．分解因式：2x2﹣8xy+8y2= ．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F．求PE+PF＝ ．
14．一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中2个是红球，1个是白球．从中同时摸出两个球，都是红球的概率是 ．
15．如图，在正方形中，点M为边上一点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，在,上分别截取,，使，连接，交对角线于点，连接并延长交于点H．若，，则的长为________．

三、解答题（一）:本大题共3小题,每小题7分，共21分.
16．计算：．
17．先化简，再求值：，其中．
18．如图，小祺在焦作游玩时想利用手中的手机测量焦作云台山的高度，云台山化简的模型近似为垂直于地面的模型，如图．小祺从手机处A看向云台山寺庙B的仰角是，从云台山寺庙到云台山顶端C的仰角是，看山崖底部俯角D的俯角是，手机B到山崖E的水平距离是50米．
(1)绘画出小祺测量云台山的模型．
(2)山崖的高度是多少？
(3)如果点A距离地面，求小祺到山崖E的水平距离
四、解答题（二）:本大题共3小题,每小题9分，共27分.
19．央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣．某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了　 　名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）图2中“小说类”所在扇形的圆心角为　 　度；
（4）若该校共有学生2500人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．
20．实践探究题
【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离．
例如，如图1，，线段的长度称为点A与直线之间的距离，当时，线段的长度也是与之间的距离．
【应用】
（1）如图2，在等腰中，，，点D为边上一点，过点D作交于点E．若，，则与之间的距离是______；
（2）如图3，已知直线：与双曲线：交于与B两点，点A与点B之间的距离是______，点O与双曲线之间的距离是______；
【拓展】
（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南—西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？
21．如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的面积；
（3）在（2）的条件下，求．
五、解答题（三）:本大题共2小题, 第22小题13分,第23小题14分,共21分.
22．如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，，，抛物线经过，两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直角斜边上一动点(点，除外)，过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点、的坐标；
(3)在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有点的坐标；若不存在，说明理由．
23．综合与实践
如图1，已知纸片中，，为斜边上的高（于点）．
观察发现
（1）请直接写出图中的一组相似三角形．（写出一组即可）

实践操作
第一步：如图2，将图1中的三角形纸片沿折叠（点为上一点），使点A落在边上的点处；
第二步：与交于点连接，然后将纸片展平．
猜想探究
（2）猜想四边形是哪种特殊的四边形，并证明猜想．
（3）探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
参考答案
1．A
2．B
3．B
5．C
6．C
7．B
8．A
9．C
10．B
11．
12．2（x﹣2y）2
14．
15．/
16．解：原式
．
17．原式=，
=.
当x=-3.2时，原式=-0.2.
此题考查分式的化简求值，根据分式的运算顺序正确计算是解题的关键.
18．（1）解：如图，
；
（2）解：由题意可知：，，，
在中，，
，
在中，，
，
米
答：山崖的高度约为米；
（3）解：如图，过点A作于点，过点作于点，得矩形，

则，，
，
在中，，
，
，
，
答：小明到山崖的距离约为米．
19．解：（1）此次共调查的人数人；
（2）生活类的人数人，
小说类的人数为人，
补全图形，如下图：
（3）由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的12%，
故答案为：126
（4）由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的12%，
∴该校共有学生2500人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数：
2500×12%=300人．
故：该校喜欢“社科类”书籍的学生人数约为300人.
20．（1）如图，过点D作于点H，
∵，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴
（2）把代入中，
得：，
∴，
把代入，
得：，
∴，
∴双曲线的解析式为，
联立，得：，
即，
解得：，，
检验，，都是所列方程的解，不合题意，舍去，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，作，使与双曲线只有一个交点，
设直线的解析式为，
则，
整理得：，
∴，
∴或（不符合题意，舍去），
∴直线的解析式为，
由，
解得：，
检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
∴，
∴；
故答案为：，；
（3）如图，作直线，设的解析式为，与双曲线交于点A、B，过点O作于点P，过点P作轴于点H，过点A、B分别作直线的垂线、，垂足为E、F，
则，
∵直线平分第二、四象限角，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
代入，
得，
解得：，
∴
联立得：，
解得：或，
检验，或都是所列方程的解，且符合题意，
∴或，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是40米．
21．（1）证明：连接，如图，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵为的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：连接，设交于点H，如图，
∵为的直径，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
22．（1）解：∵，，，
∴，，
∴，，
把，代入得：，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）∵直线经过点，
设直线的解析式为：
把，代入代入得：
解得：，
∴直线的解析式为：
∵过点作轴的垂线交抛物线于点，
设点横坐标为，点在线段上(点，除外)，
∴点，
∴点横坐标为，点在抛物线上，
∴点，
据图知：点在点上方，
∴，
∵，开口向下，有最大值，当时，的最大值为．
∴，，
∴点，点；
（3）①当时，点的纵坐标为，
即，解得：，，
∴，；
②当，点的纵坐标为，
即，解得，（舍去）
∴点，
综上所述，存在点，使是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或．
23．解：（1）∵在中，，，
∴，，，
∴，，
∴，，（其中一个即可，答案不唯一）．
（2）四边形是菱形．
证明：由折叠可知，，，
∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（3），
理由如下：如图，过点作于点，

∴，
∵由（1）得，四边形为菱形，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
∴．

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