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2025-2026学年九年级下学期中考复习数学试题（一）[广东专版]
一、选择题:本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．国家提倡“低碳减排”，湛江某公司计划在海边建能源发电站，发电站年均发电量为213000000度，将数据213000000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
2．下列图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．为弘扬传统文化，某校初二年级举办传统文化进校园朗诵大赛，小明同学根据比赛中九位评委所给的某位参赛选手的分数，制作了一个表格，如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（　　）
中位数 众数 平均数 方差
9.2 9.3 9.1 0.3
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
5．如图，弦，都是的直径，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．为了改善居民生活环境，云中小区对一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多6米，面积为720平方米，设矩形空地的长为x米，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美”方程，已知是“完美”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2﹣bx与y＝bx＋a的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，以为直径的半圆分别与交于点D，E．若，，则的长为 （　　）

A． B．π C． D．
10．如图，直线经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，若点B的坐标为（1，0），则点C的坐标为（　　）
A．（3，） B．（，） C．（3，） D．（，）
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分,共15分.
11．分解因式： ．
12．一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是 ．
13．如图，矩形的顶点B、D落在反比例函数 的图象上，点A落在反比例函数 （k为常数，)在第二象限的图象上，矩形被坐标轴分割成四个小矩形．若在第四象限的小矩形的面积为1，则k的值为 ．
14．如图，在直角坐标系中，，，P为内任意一点，求的最小值 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为，(4，1)，(3，0)，点P为线段AB上的一个动点，连接PC，过点P作PQ⊥PC交y轴于点Q，当点P在AB上运动时，点Q随之运动，设点Q的坐标为(0，t)，则t的取值范围是　　　　．
(第16题图)
三、解答题（一）:本大题共3小题,每小题7分，共21分.
16．先化简，再求值：，其中．
17．新定义：如果一条线段能把一个三角形分割成两个等腰三角形，那么这条线段叫做这个三角形的等腰分割线．如图1，若和都为等腰三角形，则线段为的等腰分割线．
解决问题：如图2，在中，．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下，连接，求证：是的等腰分割线．
18．如图，在一个18米高的楼顶上有一信号塔DC，李明同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测的信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为60°，CD⊥AB与点E，E、B、A在一条直线上．请你帮李明同学计算出信号塔CD的高度（结果保留整数，≈1．7，≈1．4 ）
19．某食品加工厂根据订单的需求会不定期采购A，B两种食材（单位：件），而两种食材的单价会根据市场变化波动．
（1）第一周，该食品加工厂花费6650元一次性采购A，B两种食材共100件，此时A，B两种食材的单价分别是50元、80元，求食品加工厂采购了A，B两种食材各多少件？
（2）第二周，由于采购价格发生了变化，食品加工厂分别花费1800元、3600元一次性购买A，B两种食材，已知采购B种食材的数量是A种食材数量的1.5倍，每件A种食材的单价比每件B种食材的单价少20元，求食品加工厂第二周采购A种食材多少件？
四、解答题（二）:本大题共3小题,每小题9分，共27分.
20．国务院教育督导委员会印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：h）进行了调查（A：，B：，C：，D：，E：），将数据整理后得到下列不完整的频数分布直方图和扇形统计图．

请根据统计信息回答下列问题：
(1)______，______；
(2)补全频数分布直方图；
(3)请估算该校1200名八年级学生中睡眠不低于8小时的人数;
(4)研究表明，初中生每天睡眠时长低于8小时，会严重影响学习效率．请你根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议．
21．阅读下列材料：
数学问题：已知，且，，试确定的取值范围．
问题解法：，．
又，，．
又，．①
同理得．②
由②①得，
的取值范围是．
完成任务：
（1）在数学问题中的条件下，写出的取值范围是_____．
（2）已知，且，，试确定的取值范围；
（3）已知，，若成立，试确定的取值范围（结果用含a的式子表示）．
五、解答题（三）:本大题共2小题, 第22小题13分,第23小题14分,共21分.
22．如图，二次函数的图象与轴交于点A、B，与轴交于点C，点B的坐标为 ，点在轴上，连接AD．
（1）＝ ；
（2）若点是抛物线在第二象限上的点，过点作PF⊥x轴，垂足为，与交于点E．是否存在这样的点P，使得PE=7EF？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点在抛物线上，且点的横坐标大于-4，过点作，垂足为H，直线与轴交于点K，且，求点的坐标．
23．综合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．在矩形纸片中，，．
【数学思考】（1）如图，将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使得点落在边上，过点作．求证：；
【解决问题】（2）如图，连接，求的面积；
【拓展研究]（3）从图开始，将矩形绕着点逆时针转动一周，若直线恰好经过线段中点时，连接， ，直接写出 的面积是______．
参考答案
1．C
2．B
3．C
4．A
5．B
6．A
7．A
8．A
9．B
10．D
11．解：．
12．2 cm为腰时，不构成三角形；4 cm为腰时，周长=4+4+2=10 cm.
13．解：设，，，，
由题意：，，，，
∵点B、D落在反比例函数 的图象上，
∴，，
∵在第四象限的小矩形的面积为1，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点A落在反比例函数 （k为常数，)在第二象限的图象上，
∴.
14．解：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接，
则：，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
当四点共线时，的值最小，为的长，
∵，
∴，
过点A作轴，则：，
∴，
∴，
∴，即点在轴上；
过点作轴于点，
∵，
∴，，
∴，
∴，
即：的最小值为．
故此题答案为：．
15．①如图(1)所示，当点P运动到点A时，过点C作CM⊥AB，延长BA交y轴于点N，连接CQ.因为A，B(4，1)，所以AB∥x轴，所以N(0，1)，所以AN＝1－，NQ＝1－t.因为C(3，0)，O(0，0)，AB∥x轴，所以OC＝MN＝3，所以AM＝MN－AN＝.因为A，B(4，1)，CM⊥AB，所以CM＝1，所以AQ2＝AN2＋NQ2＝＋(1－t)2＝t2－2t＋，PC2＝AM2＋MC2＝＋12＝.因为x轴⊥y轴，所以∠COQ＝90°，所以QC2＝OQ2＋OC2＝t2＋32＝t2＋9.因为PQ⊥PC，所以∠CPQ＝90°，所以QC2＝AQ2＋PC2＝t2－2t＋＝t2－2t＋，所以t2－2t＋＝t2＋9，所以－2t＝，所以t＝－.
图(1)
图(2)
②如图(2)所示，当点P运动到点B时，过点B作BE⊥x轴于点E，延长BA交y轴于点N，连接CQ.因为A，B(4，1)，所以AB∥x轴，所以BN＝OE＝4，BE＝1，所以N(0，1)，所以NQ＝t－1，ON＝1.因为C(3，0)，所以OC＝3，所以CE＝OE－OC＝1.因为BE⊥x轴，所以∠BEO＝90°，所以BC2＝BE2＋CE2＝12＋12＝2.因为AB∥x轴，所以∠BNQ＝90°，所以BQ2＝NQ2＋BN2＝(t－1)2＋42＝t2－2t＋17.因为PQ⊥PC，所以∠CPQ＝90°，所以QC2＝BQ2＋BC2＝t2－2t＋17＋2＝t2－2t＋19.因为x轴⊥y轴，所以∠QOC＝90°，所以QC2＝OQ2＋OC2＝t2＋32＝t2＋9，所以t2－2t＋19＝t2＋9，所以t＝5，所以t的取值范围是－≤t≤5.故答案为－≤t≤5.
16．解：原式
；
当时，
原式．
17．（1）解：如图即为所求，
（2）∵垂直平分
∴
∴是等腰三角形
∴，
∵
∴
∴是等腰三角形
∴是的等腰分割线
18．根据题意得：AB=18，DE=18，∠A=30°，∠EBC=60°，
在Rt△ADE中，AE=
∴BE=AE-AB=18-18，
在Rt△BCE中，CE=BE tan60°=（18-18）=54-18，
∴CD=CE-DE=54-18-18≈5米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
19．（1）解：设食品加工厂采购了A种食材x件，B种食材y件
解得：
答：食品加工厂采购了A种食材45件，B种食材55件．
（2）解：设食品加工厂第二周采购A种食材m件，则B种食材采购件，则
解得，
经检验，是原分式方程的解．
答：食品加工厂第二周采购A种食材30件．
20．（1）解：∵，
∴，
∵，
∴
（2），
补全频数分布直方图如下：

（3）∵（人），
∴该校1200名八年级学生中睡眠不低于8小时的人数约为672人；
（4）建议：减少作业量；杜绝玩手机等．（答案不唯一）．
21．（1），
．
，
，
．
故答案为．
（2），
．
又，
，
．
又，
，
．
同理得，
，
的取值范围是．
（3），
．
又，
，
．
又，
，
．
当时，．
同理得，
，
∴当时，的取值范围是．
22．
（1）∵y=-x +bx+8，B点坐标代入函数，∴b=-2；
故答案为：-2；
（2）由（1）得y=-x -2x+8，∴A点坐标（-4,0），B点坐标（2,0），
∵D点坐标为（0,2），
∴AD解析式为y=x+2，
设P（t，-t -2t+8），
∴EF=+2，PE=-t -t+6，
若PE=7EF，则有-t -t+6=7(+2)，
解得t=-2或t=-4（舍去），
∴P点坐标为（-2,8），
故存在这样的点P，使得PE=7EF，点P的坐标为（-2,8）；
（3）如图，延长AD交抛物线于T，过P作PF⊥x轴于F，交AD于E，
①若P在直线AT上方，
∵OA=4，OD=2，∠AOD=90°，
∴AD==2√5，
∵AH⊥PH，
∴∠FAD+∠AEF=90°，∠EPH+∠PEH=90°，∠AEF=∠PEH，
∴∠FAD=∠EPH，
∴cos∠FAD====cos∠EPH=，
∴PH=PE，
∴cos∠FPK==，∴PK=PF，
∵，∴HK=PH，∴PK=PH，
∴PF=PH=PE，
∴=，
设P（t，-t -2t+8），
则有5(-t -2t+8)=6(-t -t+6)，
得t +5t+4=0，
解得t=-1或t=-4（舍去），
∴P点坐标为（-1，9）；
②若P在直线AT下方，且在x轴上方，此时S△AKA＞S△PHA，与题意不符，舍去；
③若P在x轴下方，可得2PE=5PF，
得方程2(t +t-6)=6(t +2t-8)，
得3t +5t-28=0，
解得t=或t=-4（舍去），
∴P点坐标为（，-），
综上所述，P点坐标为（-1，9）或（，-）．
23．（）证明：∵矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（）解：∵，
∴，
∵矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点作，交的延长线于点，
∴，
∴，
∴的面积为；
（）解：当线段与交于点时，作于，
∵是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
当的延长线交于点时，由上知，
∴，
∴，
综上所述，的面积是或．

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