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广东实验中学 2025—2026 学年（下）高一级中段模块考试
数 学
本试卷共 4页，满分 150 分，考试用时 120 分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知复数 满足 z 1 + 3i = 4 ( 是虚数单位)，则| | =( )
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
2．将水平放置的 用斜二测画法得到的直观图 ' ' '如图所示，已知 ' ' = 3， ' ' = 2，
则边 的实际长度为( )
A. 13 B. 5
C. 6 D. 40
3．已知 = 20.4，b = log0.42，c = tan43 ，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
4．如图， 为平行四边形 所在平面外一点， 为 的中点， 为 上一点，当 //平面

时， =( )
A. 4 29 B. 3
C. 1 23 D. 9
5．在 中，∠ = ， 是 上的一点，若 是∠ 的角平分线， = 3，则
3
面积的取值范围是( )
A. 9 3 + B. 3 3∞ +∞ C. 3 3 + 3 3∞ D. +∞
2 4
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6. 若圆锥的高为 3，体积是 3 ，则它的侧面展开图的面积为( )
A. 3 B. 3 3 C. 6 D. 9
7．若函数 ( )( ∈ )是周期为 4 的奇函数，且在[0,2] ( ) = (1 ), (0 ≤ ≤ 1)上的解析式为 cos , 1 < ≤ 2，
则 11 222 + 3 的值为( )
A. 49 B.
4
9 C.
1
9 D.
2
9
8．如图所示的四个正方体中， ， 为正方体的两个顶点， ， ， 分别为其所在棱的中点，能
得出 //平面 的图形的序号为( )
A.①② B.③④ C.①②③ D.②④
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．已知函数 ( ) = 3 + 8 ，则( )
A. ( )在 1 1上单调递增 B. ( )的值域为 C. ( 3 ) = 1 D. ( )的零点小于9
10．下列四个命题中错误的是( )
A.如果 ， 是两条直线且 ∥ ，那么 平行于经过 的任何一个平面
B.如果直线 和平面α满足 ∥α，那么 与平面α内的任何一条直线平行
C.如果直线 ， 和平面α满足 ∥ ， ∥α， α，那么 ∥α
D.如果直线 与平面α内的无数条直线平行，那么直线 必平行于平面α
11. 如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中，已知 , , 分别是棱 1 1， 1， 的
中点，点 在线段 1上，则下列结论正确的是( )
A. //平面 1 1
B. 1若 ， ， ， 四点共面，则 = 2
C.过点 有且仅有一条直线与 1， 1都相交
D.点 2在侧面 1 1 上(包括边界)，且 1 //平面 ，则三棱锥 的体积为3
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．四等分切割如下图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比
原圆柱的表面积增加了 10，则圆柱的侧面积是 ．
13．已知函数 ( ) = ( 3 + ) 12，若 ( )在区间[
1
6 , ]上的值域为[ 2 , 1]，
则实数 的取值范围是 ．
14．已知平面向量 ， ， ，对任意实数 ， 都有| | ≥ | |，| | ≥ | |成立.
若| | = 2，则 ( )的最大值是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．(本小题 13 分)
π π
已知函数 f (x) 2sin( x )(0 2,0 ) ， f (0) 3 且 f (x) f ( )恒成立．
2 6
(1)求 f (x)的解析式；
(2)记 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ，c，且 f (B) 0，a 4， 的面
积为 2 3，求 的周长．
16．(本小题 15 分)
如图所示，在扇形广场 中，∠ 为锐角，四边形 是
平行四边形，点 在弧 上，点 ， 分别在线段 ， 上，
= 2 3， = 6， 记∠ = ．
(1)当 = 时，求 6 ;
(2)草地为阴影部分，求面积 关于 的函数关系式，并求当 为何值时， 取得最小值．
17．(本小题 15 分)
如图，在棱长都为 4的直三棱柱 1 1 1 中，D， ， ， ，
分别为 ， 1， 1， 1 1， 1 1的中点．
(1)求直三棱柱 1 1 1 的体积；
(2)证明： ， ， ， 四点共面，且此平面与 1 平行；
(3)证明： ， ， 1三线共点．
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18．(本小题 17 分)
已知在锐角 中，内角 , , 所对的边分别为 , , 2，cos = 2 ，
为 的外心， 、 、 的面积分别记 ΔA 、 Δ 、 Δ
满足 Δ A + ΔA + Δ C = 0
(1)求证： + sin2 cos2 = 0；
(2)若 = 2，求 3 + 2 + 的取值范围；
(3)若 = + ，求 + 的最大值．
19. (本小题 17 分)
n
已知 i 为虚数单位，定义 ＝1 的解称为 n次单位根或单位根，这 n 个单位根分别为
2 2
ωk＝cos + （k＝0，1，2，…，n﹣1）．复数单位根相关领域都有广泛的应用．
→ →
例如在平面几何中，记 1对应的复数为 z1＝r（cosα+isinα），将 1绕原点 O 逆时针旋
2 → →
转 得到 ，则 对应的复数为 = 2 2
2 2 2 1
= [ ( + ) + ( + )]．
→ →
(1) 2方程 + +1＝0 在复数域上的两根为 z1，z2，将 z1，z2对应的向量 1， 2逆时针旋转 2
→ → → →
后得到 3， 4，记 3， 4对应的复数为 z3，z4，求 z1，z2，z3，z4（用代数形式表示）；
(2)若把平面直角坐标系中的点 P( 0, 0)绕原点 逆时针旋转 弧度后得到点 ( , )，
请用 0 、 0、 分别表示出 、 ；（其中 0 、 0、 、 均为实数）
1， = 3 ( ∈ )
2 2
(3)定义在整数集上的函数 ( ) = ， = 3 + 1( ∈ ) （ω＝cos +isin ），3 3
2， = 3 + 2( ∈ )
若 ( 1)+ ( 2) + ( 3) 2＝0，其中 1， 2， 3∈{0，1，…，9}，令 ＝100 1+10 2+ 3
求 ( )的所有可能取值；
第 4页，共 4页广东实验中学 2025－2026学年（下）高一级期中考试 数学
答案及说明
【选择题、填空题答案】
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D B C C D C
题号 9 10 11 12 13 14
1
答案 BC ABD ACD 10 ，
6 2 4
【试题详解及解答题参考评分标准】
4．解：连接 ，设 交 于 ，连接 ，
因为 ||平面 ， 平面 ，
且 ， 平面 ，所以 || ，

在平行四边形 ， 为 的中点，所以 = = = 2，

2
所以 = ．选 B
3
3 3
7．解：圆锥底面积 r2 = = 3 ，母线长为 r2 + h2 = 3+ 9 = 2 3 ，侧面展开图扇形面积为
3
rl = 2 3 3 = 6 。选 B
8．解：正方体中， ， 为正方体的两个顶点， ， ， 分别为其所在棱的中点，
在图④中， ∩ = ， 平面 ，∴ ∩平面 = ，
故④不能得出 ||平面 ．故选： ．
11．解：对于 ，因为平面 1 1||平面 1 1， 平面 1 1，所以 ||平
面 1 1，故 A 正确；
对于 ，作直线 ，分别交 1 , 延长线于点 , ，
再连接 并延长交 延长线于点 ，连接 交 于点 ，
因为 , , 分别是棱 1 1， 1， 的中点，可作正方体截面 为正六边形，
它们交于各棱中点，所以 为 1中点， = 1，故 B 错误；
对于 ，由平面 1 1 ∩平面 1 1 = ，则 ∩ 1 = ，
因为 , 1都在平面 1 1内，所以由图可得 必与 1相交，
根据以上作图可得唯一交点 ，所以 直线是唯一与 1和 1 相交
的直线，故 C 正确；
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对于 D，由 1 ||平面 ，
1 1 8 2
则 = ! = = ! ! = = 2 ! 2 !
= =
12 3
故 D正确；故选： ．
12．解：显然新几何体的表面积比原几何体的表面积多了原几何体的轴截面面
积，设圆柱的底面半径为 ，高为 ，则2 = 10，所以圆柱的侧面积为2 = 10 ．
1 √ 3 1
13．解：由题意得 ( ) = √ 3 + cos2 = 2 + (2 2 1)
2 2 2
√ 3 1 7 1
= 2 + 2 = sin (2 + ) , ∈ [ , ]时，2 + ∈ [ , 2 + ]，由sin ( ) = sin = ，
2 2 6 6 6 6 6 6 6 2

sin = 1，
2
1 7
结合正弦函数的单调性，可知：若 ( )的值域为[ , 1]，则 ≤ 2 + ≤ ，解得 ≤ ≤ ，实数 的取
2 2 6 6 6 2

值范围为[ , ]．故答案为：[ , ]．
6 2 6 2
14．解：如图，设 = ， = ， = ，
若对任意实数 ， 都有| | ≥ | |，| | ≥ | |成立，

则 ， 在以 为直径的圆上，过 作 ，交 于 ，交圆于 ，

= 在 上的射影最长为| |， ( ) = = | | | |，
√ 2
设∠ = ，则| | = √ 2 | = ，
2
√ 2 √ 2 √ 2
| | = | | = ( ) = 2 (1 ) = sin2 + ，
2 2 2
1 1
则当 = 时， ( )有最大值为 ．
2 4
3 π πsin = 0 =
15．解：（ ）由 f (0) = 2sin = 31 ，得 2 ，而 2 ，则 3 ， （2 分）
π π π π π π
由 f (x) f ( )恒成立，得 f ( ) = 2sin( + ) = 2，即 sin( + ) =1， 0， （3 分）
6 6 6 3 6 3
π π π
因此 + = + 2kπ,k N，解得 =12k +1,k N ，而0 2，则 =1， （5 分）
6 3 2
π
所以 f (x) 的解析式为 f (x) = 2sin(x + ) . （6 分）
3
π π 2π
（2）由（1）得， f (B) = 2sin(B + ) = 0 ， B+ =k ,k Z，而0 B π，解得 B = ，（8 分）
3 3 3
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1 1 2π
由 S = acsinB = 4csin = 2 3 ，解得 c = 2， （10 分）
2 2 3
1
由余弦定理得b = a2 + c2 2accosB = 16+ 4 2 4 2 ( ) = 2 7 ， （12 分）
2
所以 ABC的周长为6+2 7 ． （13 分）
16．解：(1)根据题意， = | O A ||O B |cos∠AOB = 2√ 3 × 2√ 3 × cos∠AOB = 6， （1 分）
1
所以cos∠ = ，因为∠ 为锐角，所以，∠ = ， （2 分）
2 3
π
当 = 时，因为四边形 是平行四边形，
6
所以，△ 为等腰三角形，且 = 2√ 3， = = 2， （4 分）

√ 3
= | | | | = 2√ 3 × (2√ 3 2) × = 6√ 3 6; （6 分）
6 2
2
(2)由题可知，在△ 中， = 2√ 3，∠ = ，∠ = ，∠ = ， （7 分）
3 3

则由正弦定理得： = = ，
sin∠ sin∠ sin∠
2√ 3
可得： = = ， （9 分） √ 3 sin( )
2 3

故可得： = 4 ， = 4 sin ( )， （10 分）
3
1 1 √ 3
△ = × × × ∠ ，= ×4 × 4 sin ( )× √ 3 ( )， 2 2 3 2 3

= 4√ 3 ( )2 + ) √ 3，(0 < < )， （12 分）
3 3 6 3

所以， = 扇形 平行四边形 = 2 4√ 3sin (2 + )+ 2√ 3，(0 < < )， （13 分） 6 3
5 1
由0 < < ，得 < 2 + < ，所以 < sin (2 + ) 1， （14 分）
3 6 6 6 2 6

∴当 = 时，sin (2 + ) = 1，此时 取得最小值，最小值为：2 2√ 3． （15 分）
6 6
(学生可以在求出∠ 后建系处理)
3
V = 4317．解：（1） =16 3直三棱柱 （2 分） ABC-A1B1C1 4
证明：(2)如图，连接 、 ，
， 分别为 1， 1的中点，则 1 || 1 ，且 1 = 1 ，则四边形 1 1是平行四边形，
则 || 1 1，且 = 1 1， （3 分）
1
， 分别为 1 1， 1 1的中点，则 是 1 1 1的中位线，则有 || 1 1，且 = 1 1，（4 分） 2
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故有 || ，且 = 2 ， （5 分）
故 ， ， ， 四点共面． （6 分）
取 1 1中点 1 ，连D 1交 EF 于 M， 连 1 1交 GH 于 N，连 MN，则 是 1 1D的中位线，（7 分）
则有 1D||MN， （8 分）
又 MN 平面 EFGH， 1D 平面 EFGH， （9 分）
所以 1D||平面 EFGH （10 分）
(3)由(1)的结论， || ，且 = 2 ，则四边形 是梯形，
和 是梯形的两腰，即 和 必定相交，设其交点为 ， （12 分）
则 ∈ ，而 平面 1 1，则 ∈平面 1 1， （13 分）
同理， ∈平面 1 1，又由平面 1 1 ∩平面 1 1 = 1， （14 分）
则 ∈ 1，故 ， ， 1三线共点． （15 分）
（法二，利用 G、H 是中点，全等，交点为同一点也得分）
√ 2 （ ） 18．解：(1)因为cos = ，B 0, ,所以 = ， （1 分）
2 4

因为点 为 的外心，所以∠ = 2 = ，
2
3
∠ = 2 , ∠ = 2 = 2 （2 分）
2
设三角形 的外接圆的半径为 ，则| | = | | = | | = ，
1 2 1 2 1S = R 2AOC ，S BOC = R sin BOC = R sin 2A ，
2 2 2
1 1
S 2BOA = R sin BOA = R
2 cos 2A
2 2
代入 + + Δ ΔA Δ = 0
得 + sin2 cos2 = 0 ． （4 分）
b 2
(2) 2R = = = 2，R=1 （5 分）
sin B
sin
4
(法一) |3 + 2 + | = |(3 2 + 1) + (2 3 2 ) |
= (3cos 2A+1)2 + (2 3sin 2A)2 = 14+ 6cos 2A 12sin 2A = 14 6 5 sin(2A ) （6 分）
3
+ =
4
因为三角形 为锐角三角形，且 = ，所以 0 < < ，可得 < < ，
4 2 4 2
0 < <
{ 2
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1 5
2 ∈ ( , ), tan = ， (0, ) ，2A ( , )，sin = （7 分）
2 2 2 2 5
5
sin(2A ) (sin ,1 ，即 sin(2A ) ,1 （8 分）
5
14 6 5 | 3OB + 2OA+OC | 8
即|3 + 2 + |的取值范围是 3 5,2 2
) （9 分）
（法二）延长 至 ，使得| | = 2，则 = 2 ，以 , 为邻边作矩形 ，
则 = + = 2 + ，
且| | = √ 1+ 4 = √ 5，
延长 至 ，使得| | = 3| | = 3，则 = 3 ，如图(没有图扣 1 分)：
所以|3 + 2 + | = | + |， （5 分）
所以当 , , 三点共线时， |3 + 2 + | = | + |取最小值，最小
值为3 √ 5， （6 分）
3
+ =
4

因为三角形 为锐角三角形，且 = ，所以 0 < < ，可得 < < ，
4 2 4 2
0 < <
{ 2

所以∠ = 2 ∈ ( , )， （7 分）
2
2
当∠ = 时，| + | = √ ( + ) = √ 9 + 5 + 2 × 3 × √ 5 cos ( + ∠ )
2 2
√ 2= 14 6√ 5 sin∠ = √ 14 6√ 5× = √ 2，
√ 5
2
当∠ = 时，| + | = √ ( +

) = √ 9 + 5 + 2 × 3 × √ 5 cos ( + ∠ )
2
√ 1= 14 6√ 5sin∠ = √ 14 6√ 5× = 2√ 2， （8 分）
√ 5
所以| + | ∈ 3 5,2 2 )，即|3 + 2 + |的取值范围是 3 5,2 2 )． （9 分）
（3）设三角形 的外接圆的半径为 ，则| | = | | = | | = ，
即 ⊥ ， = 0，
（法一）因为 = + ，所以 = ( ) + ( )，
所以 + = ( + 1) ， （10 分）
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2 2
由( + ) = (( + 1) ) 得 2 2+ 2 2 + 2 = ( + 1)2 2， （11 分）
所以 2 + 2
1
= ( + 1)2，所以 = + ， （12 分）
2
( + )2
因为 ≤ ，当且仅当 = 时，等号成立， （13 分）
4
1 ( + )2
所以 + ≤ ，即( + )2 4( + ) + 2 ≥ 0， （14 分）
2 4
得( + 2)2 ≥ 2，得 + ≥ 2 + √ 2或 + ≤ 2 √ 2． （15 分）
因为三角形 为锐角三角形，其外心必在三角形 内，
由 = + 可知 > 0, > 0，
再由 + = ( + 1) 可知 + < 1， （16 分）
所以 + ≥ 2 + √ 2应舍去，所以 + ≤ 2 √ 2，
所以 + 的最大值为2 √ 2． （17 分）
(法二)以OC、OA为 x、y轴建系，∠ = 2 ，则 C(R,0)，A(0,R)， ( 2 , 2 )， （10 分）
（没图扣一分）
由 = ( 2 , 2 )， = ( 2 , + 2 )， = ( 2 , 2 )， （11 分）
由 = + ( > 0, > 0)，得
2 = ( 2 ) + ( 2 )， 2 = ( + 2 ) + 2 ， （12 分）
即(x + y 1) 2 = ，(x + y 1) 2 = < 0，可得 + 1 < 0， （13 分）
(x + y 1)2 = 2 2
1
+ ，所以 = + （14 分）
2
( + )2
因为 ≤ ，当且仅当 = 时，等号成立， （15 分）
4
得( + 2)2 ≥ 2，得 + ≥ 2 + √ 2或 + ≤ 2 √ 2,又 + 1 < 0 （16 分）
所以 + ≤ 2 √ 2，所以 + 的最大值为2 √ 2． （17 分）
1±√3
19．解：（1）对于 x2+x+1＝0，它的两个根为 ，
2
1+√3 2 2 1 √3 4 4
不妨设 1 = = + ， 2 = = + ， （1 分） 2 3 3 2 3 3
2 2 √3+
从而 3 = cos ( + ) + ( + ) = ， （2 分） 3 2 3 2 2
4 4 √3
4 = cos ( + ) + ( + ) = ； （3 分） 3 2 3 2 2
（2）设点 P(x0,y0)对应的复数为 z0=x0+y0i，点 Q(x,y)对应的复数为 z=x+yi （4 分）
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由题意 z＝z0（cos +isin ） （5 分）
得（x0+y0i） （cos +isin ）=x0cos y0sin +（x0sin +y0cos ）i=x+yi （6 分）
所以 x=x0cos y0sin ，y=x0sin +y0cos （7 分）
（3）由题意
25-26 高一下期中数学答案 第 7 页（共 8 页）
25-26 高一下期中数学答案 第 8 页（共 8 页）

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