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(共6张PPT)
浙江省湖州市2026年中考数学二模
模拟卷分析
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题
1 0.94 相反数的定义
2 0.94 根据平行线的性质求角的度数；折叠问题
3 0.94 用科学记数法表示绝对值大于1的数
4 0.94 判断简单几何体的三视图
5 0.85 判断反比例函数的增减性；比较反比例函数值或自变量的大小
6 0.85 求两个位似图形的相似比；中心投影
7 0.85 根据实际问题列二元一次方程组；古代问题(二元一次方程组的应用)
8 0.85 求扇形统计图的圆心角；条形统计图和扇形统计图信息关联
9 0.65 等边对等角；切线的性质定理
10 0.4 用HL证全等（HL）；折叠问题；根据正方形的性质求面积；用勾股定理解三角形
三、知识点分布
二、填空题
11 0.94 立方根概念理解；求一个数的立方根
12 0.85 求不等式组的解集
13 0.85 仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
14 0.85 列表法或树状图法求概率
15 0.65 多项式乘法中的规律性问题；已知字母的值 ，求代数式的值
16 0.65 求扇形面积；求其他不规则图形的面积；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形
三、知识点分布
三、解答题
17 0.85 同类项的判断；整式的加减中的化简求值
18 0.85 解分式方程（化为一元一次）
19 0.85 全等的性质和SAS综合（SAS）；根据正方形的性质证明；相似三角形的判定综合
20 0.85 求一组数据的平均数；求中位数；求方差；根据方差判断稳定性
21 0.85 估计算术平方根的取值范围；求算术平方根的整数部分和小数部分
22 0.65 解直角三角形的相关计算；根据平行线的性质求角的度数；根据矩形的性质与判定求线段长
23 0.4 求一次函数解析式；求抛物线与x轴的交点坐标；待定系数法求二次函数解析式；根据中心对称的性质求面积、长度、角度；用勾股定理解三角形；其他问题(实际问题与二次函数)
24 0.15 利用垂径定理求值；同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（直径）所对的圆周角是直角；用勾股定理解三角形机密★启用前
浙江省湖州市2026年中考二模模拟卷
数 学 试 题
姓名：________ 准考证号：______________
注意事项
1.答题前， 考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。
2 .考生作答时， 请在答题卡上作答〈答题注意事项见答题卡), 在本试卷、草稿纸上作答无效。
3 .不能使用计算器。
4 .考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题3分，共30分）
1．6的相反数是（ ）
A． B． C． D．6
2．将一张两边平行的纸条如图折叠一下，若，则的度数是( )
A． B． C． D．
3．是由中国初创公司杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司发布的模型，于2024年12月发布，它具有架构，总共有个参数．这里“”的含义是，即等于十亿．将用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示的圆柱，它的俯视图为（　　）

A． B．
C． D．
5．点，，，在反比例函数图象上，则，，，中最小的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两．牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（ ）
A． B．
C． D．
8．为加强交通安全教育，某校随机调查了九年级部分学生的上学方式（乘车、步行、骑车），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，下列判断错误的是（ ）

A．本次调查的总人数为60人
B．调查的学生中骑车上学的有8人
C．若该校九年级学生有1200人，则乘车上学的约有600人
D．扇形统计图中步行的学生人数所占的圆心角是
9．如图，为的直径，直线与相切于点C，连接，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
10．如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分）
11．64的立方根是_______．
12．不等式组的解集是___________．
13．深圳某科技园区试点无人机外卖配送．无人机从外卖柜正上方A点，垂直上升至距地面30米的P点悬停，然后沿水平方向飞往客户阳台B点．若地面引导员在B点正下方的C点测得无人机悬停点P的仰角为（参考数据：，，），则无人机从P点水平飞抵B点距离约为______米．
14．甲、乙两人分别从A、B、C三个景区中随机选取一个景区前往游览，则他们恰好选择同一景区的概率为________．
15．如图，是杨辉辑录于《详解九章算法》一书中的三角形数表．这个三角形给出了（，2，3，4，5，6）的展开式按字母a降幂排列后的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数．下列结论中正确的序号是_______．
①；
②当，时，代数式的值是；
③当的值是0时，一定是，；
④的展开式中的各项系数之和为．
16．如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为______．
三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分）
17．化简求值
(1)化简求值：，其中．
(2)已知与是同类项，求多项式的值．
18．解方程：．
19．如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接．求证：
(1)；
(2)．
20．某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲、乙两位同学得分的折线图：
b．丙同学得分：
10，10，10，9，9，8，3，9，8，10
c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：
同学 甲 乙 丙
平均数 8.6 8.6 m
根据以上信息，回答下列问题：
(1)求表中m的值；
(2)在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：甲、乙两位同学中，评委对_________的评价更一致（填“甲”或“乙”）；
(3)如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是_________（填“甲”“乙”或“丙”）．
21．如图，顺次连结方格四条边的中点，得到一个正方形．设每一个小方格的边长为1个单位．
（1）正方形的边长介于哪两个相邻的整数之间，请说明理由．
（2）如果把正方形放到数轴上，使得边与数轴重合，且点A与数轴的原点重合，数轴的单位长度就是小方格的边长，请写出点B在数轴上所表示的数．
22．现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，．
(1)填空： ， ；
(2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，）
23．如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．
(1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为______；
(2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称．
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
(3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．
24．定义：三角形两个内角的平分线相交所成的钝角称为该三角形第三个内角的好望角．
(1)如图1，是中的好望角，，请用含的代数式表示．
(2)如图2，在中，的平分线与经过两点的圆交于点，且．求证：是中的好望角．
(3)如图3，在 （2）的条件下，
①取弧的中点，连接，若，求圆的半径．
②若，，请直接写出线段的最大值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D A D D A D B A
1．A
本题考查了相反数的概念，根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
解：6的相反数是．
故选：A．
2．C
本题考查了折叠的性质，平行线的性质，根据平行线的性质可得，根据平角以及折叠的性质，即可求解．
解：如图，
∵纸条的两边平行，
∴
∵折叠，
∴，
故选：C．
3．D
本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
解：将用科学记数法表示应为．
故选：D．
4．A
本题主要考查了圆柱的俯视图，解题的关键是熟练掌握，俯视图是从上面看到的图形，根据从上面看圆柱得出的平面图形为圆，即可得出答案．
解：竖直放置的圆柱体，从上面看到的平面图形为圆，即俯视图是圆．
故选：A．
5．D
根据反比例函数的性质，当k>0时，在每一个向西安内，y随x的增大而减少，可直接进行求解．
解：由反比例函数解析式可知：，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点，，，在反比例函数图象上，
∴，
故选D．
本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
6．D
解：∵一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，，
∴，
∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为，
∵三角形硬纸板的面积为，
∴，
∴的面积为．
故选：D．
7．A
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．因为每头牛值金两，每头羊值金两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”，即可得出关于、的二元一次方程组，此题得解．
解：根据题意得：．
故选：A．
8．D
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,根据乘车人数以及百分比求出总人数，据此可判断选项A；用总人数分别减去其它两种上学方式的人数，即可得出骑车上学的人数，据此可得判断选项B；用样本估计总体的思想解决问题，即可判断选项C；
根据圆心角百分比计算，即可判断选项D．
解：本次调查的总人数为：（人，故选项A说法正确，不符合题意；
调查的学生中骑车上学的有：（人，故选项B说法正确，不符合题意；
若该校九年级学生有1200人，则乘车上学的约有：（人，故选项C说法正确，不符合题意；
扇形统计图中步行的学生人数所占的圆心角是：，故选项D说法错误，符合题意．
故选：D．
9．B
连接，先根据圆的切线的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质即可得．
解：如图，连接，
直线与相切，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键．
10．A
本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，连接，证明，可得，设，则，根据勾股定理可得，再利用角平分线的性质得到点到的距离相等，利用面积之比即可解答，正确作出辅助线，利用勾股定理列方程解得是解题的关键．
解：如图，连接，
，四边形是正方形，
，，
点E是边的中点，
,
将沿直线翻折得，
，,
，
，
，
，
设，则，
根据勾股定理可得,
即，
解得，
，
和的平分线相交于点H，
点到的距离相等，
，
故选：A．
11．4
根据立方根的定义即可求解.
解：∵43=64，
∴64的立方根是4，
故答案为：4.
此题主要考查立方根的定义，解题的关键是熟知立方根的定义.
12．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解确定不等式组的解集．
解：解不等式，得；
解不等式，得；
所以不等式组的解集为，
故答案为：．
13．40
本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是关键．先求出，然后在中，用正切函数列式计算即可．
解：
由题意可知
（米）
无人机从P点水平飞抵B点距离约为40米．
故答案为：40．
14．
本题考查了列表法与树状图法：画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出甲、乙恰好游玩同一景点的结果数，然后根据概率公式求解．
解：画树状图如下：
由图可知，共有9种等可能的情况，他们选择同一个景点有3种，
故他们选择同一个景点的概率是：，
故答案为：．
15．①②
本题考查了多项式乘法中的规律性问题、代数式的求值，理解题意找到展开式的系数规律是解题的关键．观察三角形中第四行的五个数，结合题意可判断①；由题意得，，代入的值可判断②；观察三角形中第五行的六个数，结合题意得到，可判断③；列举，2，3，4……时的展开式中的各项系数之和，找出规律可判断④，即可得出答案．
解：观察三角形中第四行的五个数为1，4，6，4，1，
，故①正确；
由题意得，，
当，时，，故②正确；
观察三角形中第五行的六个数为1，5，10，10，5，1，
，
当的值是0时，则，
，
和互为相反数，不一定是，，故③错误；
的展开式中的各项系数之和为，
的展开式中的各项系数之和为，
的展开式中的各项系数之和为，
的展开式中的各项系数之和为，
……
依此类推，的展开式中的各项系数之和为，故④错误；
综上所述，正确的序号是①②．
故答案为：①②．
16．
连接、、，过点O作于点M，根据正六边形的性质得出，，，证明和为等边三角形，求出，证明，得出，得出，根据求出结果即可．
解：连接、、，过点O作于点M，如图所示：
∵六边形为正六边形，
∴，，，
∴和为等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：．
本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，扇形面积计算，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正六边形的性质．
17．(1)，
(2)
本题考查同类项的概念以及整式的化简求值，解题的关键是掌握同类项定义和整式加减运算法则．
（1）先通过合并同类项化简式子，再代入的值计算．
（2）先根据同类项定义求出、的值，再代入多项式求值．
（1）解：
把代入，可得：
原式
；
（2）解：已知与是同类项，所以，
把代入，
原式
．
18．无解
本题考查了解分式方程，先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答．
解：
整理得
去分母
解得
经检验：当时，
故原分式方程无解
19．(1)见解析
(2)见解析
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定．
（1）证明，即可；
（2）根据平行得到，再根据，即可得证．
掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键．
（1）证明：∵正方形，
∴，
又，
∴，
∴；
（2）∵正方形，
∴，
∴，
又，
∴．
20．(1)
(2)甲
(3)丙
（1）根据平均数的定义求出丙的平均数即可求解．
（2）根据方差的计算方法先算出甲、乙的方差，再进行比较即可求解．
（3）按去掉一个最高分和一个最低分后分别计算出甲、乙、丙的平均分，再进行比较即可求解．
（1）解：丙的平均数：，
则．
（2），
，
，
∴甲、乙两位同学中，评委对甲的评价更一致，
故答案为：甲．
（3）由题意得，去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为：
甲：，
乙：，
丙：，
∵去掉一个最高分和一个最低分后丙的平均分最高，
因此最优秀的是丙，
故答案为：丙．
本题考查了折线统计图、中位数、方差及平均数，理解折线统计图，从图中获取信息，掌握中位数、方差及去掉一个最高分和一个最低分后的平均分的求法是解题的关键．
21．（1）2和3之间，见解析；（2）或
（1）根据方格可得正方形ABCD的面积为8，然后由正方形面积计算公式可求解边长，然后利用算术平方根可求解；
（2）由（1）及题意可分当点B在原点的左侧和右侧两种情况，然后问题可求解．
解：（1）由方格可得：
正方形ABCD的面积为：，
∴，
∵，
∴介于2和3之间；
（2）由（1）得：，由点A与原点重合，则有：
当点B在原点的左侧时，则点B表示的数为，
当点B在原点的右侧时，点B表示的数为；
综上所述：点B在数轴上所表示的数为或．
本题主要考查算术平方根及数轴，熟练掌握算术平方根及数轴是解题的关键．
22．(1)64；53；
(2)
本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）过点C作，根据平行线的判定和性质求角度即可；
（2）过点D作，过点E作，利用矩形的判定得出四边形为矩形，四边形为矩形，再结合图形，利用三角函数求解即可．
（1）解：过点C作，
∵垂直于，
∴，
∴，
∵与水平线平行，
∴，
∴，
∴，
故答案为：64；53；
（2）解：过点D作，过点E作，如图所示：
∴四边形为矩形，
同理得：四边形为矩形，
∴，
∵为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．(1)
(2)①此人腾空后的最大高度是米，解析式为；②此人腾空飞出后的落点D在安全范围内，理由见解析
(3)这条钢架的长度为米
（1）根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点，设水滑道所在抛物线的解析式为，将代入，计算求出a的值即可；
（2）①根据题意可设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为，由抛物线的顶点为，即可得出结果；②由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：，令，求出的值，即点的坐标，即可得出结论；
（3）根据题意可得点的纵坐标为4，令中，求出符合实际的x值，得到点M的坐标，求出所在直线的解析式为，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，根据这条钢架与平行，设该钢架所在直线的解析式为，由该钢架与水滑道有唯一公共点，联立，根据方程组有唯一解，求出，即该钢架所在直线的解析式为，点H与点O重合，根据，，，利用勾股定理即可求解．
（1）解：根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点，
设水滑道所在抛物线的解析式为，
将代入，得：，即，
，
水滑道所在抛物线的解析式为；
（2）解：①人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称，
则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为，
人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于点成中心对称，
，
人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标为，即，
∴此人腾空后的最大高度是米，人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：；
由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：，
令，则，即
或（舍去，不符合题意），
点，
，
，
，
此人腾空飞出后的落点D在安全范围内；
（3）解：根据题意可得点的纵坐标为4，
令，即，
（舍去，不符合题意）或，
，
设所在直线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
所在直线的解析式为，
如图，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，
这条钢架与平行，
设该钢架所在直线的解析式为，
联立，即，
整理得：，
该钢架与水滑道有唯一公共点，
，
即该钢架所在直线的解析式为，
点H与点O重合，
，，，
，
这条钢架的长度为米．
本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法，二次函数的实际应用，一次函数与二次函数交点问题，勾股定理，借助二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想．
24．(1)
(2)见解析
(3)①3②
（1）根据角平分线的性质和三角形的内角和定理即可得出结果；
（2）圆周角定理，得到，根据，得到，结合三角形的外角和三角形的内角和推出，即可得证；
（3）①根据好望角的定义，，进而得到为圆的直径，推出取的中点，连接，交于点，根据垂径定理，推出，，，，设半径为，利用勾股定理进行求解即可；
②连接，先证明为等腰直角三角形，求出，进而得到，根据，得到当最大时，最大，根据，推出在为直径的圆上，得到为直径时，最大，此时，即可得出结果．
（1）解：∵是中的好望角，
∴是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
又∵平分，
∴是中的好望角；
（3）①∵平分，平分，
∴平分，
∴，
∵是中的好望角，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∴，
即：，
∴为圆的直径，
取的中点，连接，交于点，
∵是弧的中点，
∴，
∴，，，
∴，
设的半径为，则：，，
由勾股定理，得：，
∴，
解得：或（舍去）；
∴的半径为；
②连接，
∵平分，平分，
∴是的好望角，
∴
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当最大时，的值最大，
∵，
∴，
∴在为直径的圆上，
∴为直径时，最大，此时，
∴的最大值为．
本题考查圆周角定理，垂径定理，与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，勾股定理等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，掌握好望角的定义，是解题的关键．

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