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机密★启用前
浙江省绍兴市2026年中考二模模拟卷
数 学 试 题
姓名：________ 准考证号：______________
注意事项
1.答题前， 考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。
2 .考生作答时， 请在答题卡上作答〈答题注意事项见答题卡), 在本试卷、草稿纸上作答无效。
3 .不能使用计算器。
4 .考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题3分，共30分）
1．有理数的相反数是（ ）
A． B． C． D．2026
2．小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．2026年1月，“中国卫星互联网星座”项目已完成第一阶段部署．该阶段共发射了168颗低轨通信卫星，平均每颗卫星的造价约为12000000元，数12000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，物体的主视图画法正确的是（）
A． B． C． D．
5．下列关于反比例函数的说法正确的是（ ）
A．图象经过第二、四象限 B．y随x的增大而减小
C．图象与x轴有交点 D．点在该函数图象上
6．如图，在中，点，分别在边，上，，，，则（ ）
A．4 B． C．3 D．2
7．《孙子算经》中有一道题意思是：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余2尺，问木长多少尺？”若设绳子长尺，木长尺，根据题意，可得列方程组（ ）
A． B． C． D．
8．年全国两会上，政府工作报告强调：加强青少年科学健身普及和健康干预，让年轻一代在运动中强意志、健身心．某校开设了“一人一球”体育拓展课程，学生可根据自己的喜好选择一门球类项目（：篮球；：足球；：排球；：羽毛球；：乒乓球），某兴趣小组随机对该校部分学生的选择情况进行调查，将收集的数据整理并绘制成如下两幅统计图，下列说法错误的是（ ）
A．此次调查中，选择排球项目的学生人数最多
B．此次调查的学生总数是人
C．扇形统计图中，项目所对应的扇形圆心角的度数是
D．若该校共有学生人，则该校选择篮球项目的学生大约有人
9．如图，在中，点E是其对角线上的一点，，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．如图1，在菱形中，，点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿折线向终点D匀速运动，两点同时到达终点．设运动时间为x秒，为y．如图2，y关于x的函数图象经过最低点．下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．点在该函数图象上
二、填空题（每题3分）
11．8的立方根是________．
12．不等式组的解集是______．
13．如图，某数学兴趣小组为测量教学楼的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得教学楼顶端D的仰角为，再向前走30米到达B处，又测得教学楼顶端D的仰角为，则教学楼的高是___________米．
14．有A，B，C三个小球，按如图所示的方式悬挂在天花板上，每次摘下一个小球且摘A之前需先摘下B，直到3个小球都被摘下，则第二个摘下的小球是A的概率是________ ．
15．阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律．
根据上述规律，的展开式中a项的系数是_____________．
16．如图，河坝横断面迎水坡的坡比是，水平宽米，则坡面的长度是___米．
三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分）
17．先化简，再求值：，其中，．
18．解方程（组）
(1)；
(2)．
19．如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：．
20．某校开展“数学节”活动，每个学生都参加说题活动．为了解学生的说题水平，从全校学生的说题成绩中随机抽取50名学生的成绩（成绩为百分制，用表示），并将其分成如下四组：．下面给出了部分统计信息：
说题成绩在组的人数统计表
成绩（分） 81 82 83 84 85 86 87 88 89
人数 2 2 3 0 4 3 1 4 1
根据以上信息解决下列问题：
(1)所有抽取学生的说题成绩的中位数是_____分．
(2)请估计全校1200名学生的说题成绩不低于80分的人数．
21．已知的平方根是，的立方根是3，是的算术平方根．
（1）填空：a= 、b= 、= ．
（2）若的整数部分是，小数部分是y，求的值
22．如图1：以x轴的正半轴上一点为圆心作，交x轴于C、D两点，交y轴于A、B两点，以O为圆心为半径的与x轴的负半轴交于G点．设的弦的延长线交于F点，连接、，若，，
(1)求证：；
(2)求出点的坐标；
(3)如图2，线段、（或它们的延长线）分别交于点M、N．问：当点E在（不含端点A、B）上运动时，线段的长度是否会发生变化？若不变，求出的长度；若变化，请说明理由．
23．已知抛物线（a为常数，且）．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若，当时，函数有最大值．
①求a的值；
②设点在该函数图象上，且位于直线（b为常数）的下方，若t的最大值与最小值的差为m，且，求b的取值范围．
24．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
(1)已知：四边形是“等对角四边形”，，，求、的度数．
(2)如图①，在四边形中，，在上存在点E，使，若，求证：四边形是“等对角四边形”．
(3)如图②，在四边形中，，，，点P是射线上一点当以点A，P，C，D为顶点的四边形为“等对角四边形”时，求线段的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D C D A A C A B
1．B
本题考查相反数的定义，根据“只有符号不同的两个数互为相反数”即可求解.
解：的相反数是；
故选B
2．C
本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，牢记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
延长，交于点M，由，利用“两直线平行，同位角相等”，可求出的度数，再利用三角形的外角性质可求出的度数，即可解答．
解：延长，交于点M，如图
∴，
∴，
∴．
故选C．
3．D
解：.
4．C
根据主视图的定义，从正面观察物体，看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线，据此判断即可．
解：该物体是一个空心圆柱，
从正面看，其外轮廓是一个矩形，
又内部空心圆柱的轮廓线被外壁遮挡，属于不可见轮廓线，
在主视图中应画为两条竖直的虚线，观察选项可知，C选项符合题意．
5．D
本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的性质，逐一判断选项即可，判断点是否在函数图象上，只需验证点的坐标是否满足函数解析式．
解：对于反比例函数，
选项A、由于，则函数图象经过第一、三象限，故A错误；
选项B、由于，则只有在每个象限内，随的增大而减小，并非对所有都满足此性质，故B错误；
选项C、中不可能等于，图象与轴没有交点，故C错误；
选项D、将代入得，则点在该函数图象上，故D正确．
6．A
本题考查了相似三角形的判定及性质，由相似三角形的判定及性质得，即可求解．
解：，
，
，
，
，
，
解得，
故选：A．
7．A
解：设绳子长尺，木长尺，
∵用绳子量长木，绳子还剩余4尺，
∴，
∵将绳子对折再量长木，长木还剩余2尺，对折后绳子长度为尺，
∴，
因此可得方程组．
8．C
本题考查扇形统计图和条形统计图，样本估计总体，熟练掌握扇形统计图和条形统计图的概念以及它们的关系是解题的关键．利用扇形统计图各项目所占百分比即可判断选项A；利用项目人数为人，所占总体的百分比为，即可求出调查总人数，即可判断选项B；利用扇形统计图圆心角概念即可求解，即可判断选项C；利用样本估计总体即可判断选项D．
解：由扇形统计图可知：排球项目占的百分比最多，为，
故此次调查中，选择排球项目的学生人数最多，
故选项A正确；
由项目人数为人，所占总体的百分比为，
则此次调查的学生总数是（人），
故选项B正确；
扇形统计图中，项目所对应的扇形圆心角的度数是，
故选项C错误；
若该校共有学生人，则该校选择篮球项目的学生大约有（人），
故选项D正确；
故选：C．
9．A
在平行四边形中，，，根据，，得出，，结合，求出，再根据三角形内角和定理即可求解．
解：在平行四边形中，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
10．B
连接，交于点O，过点Q作于点H，结合菱形的性质得，，，进一步判定，有，根据题意可知点Q以每秒2个单位的速度沿折线向终点D匀速运动，图2的对称性可知，当点Q运动至点C、点P运动至点O时，，则，则和，结合图2可知点，此时点P与点B重合，点Q与点D重合，进而分：点Q在线段运动时，解得、和，利用勾股定理求得为，即可得到点E的信息；当点Q在线段运动时，同理可得，，，和，则，利用勾股定理求得，代入点即可．
解：连接，交于点O，过点Q作于点H，如图，
∵菱形中，，
∴，，，，
∴为等边三角形．
则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
则点Q以每秒2个单位的速度沿折线向终点D匀速运动，
由图2的对称性可知，当点Q运动至点C、点P运动至点O时，，则，
那么，，，由图2可知点，此时点P与点B重合，点Q与点D重合，
当点Q在线段运动时，
∴，，，
∴，解得，，
则，
那么，为
，
当时即为图2的点E，，
当时，，
当点Q在线段运动时，
同理可得，，，
∴，，
则，
那么，为
，
当时，，
故选∶B．
本题主要考查菱形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用和二次函数的应用，解题的关键是应用动态的思想找到菱形的边长．
11．2
立方根的定义：如果一个数满足，那么叫做的立方根．
解：∵，
∴8的立方根是2．
12．
分别求出两个不等式的解集，再求其公共解集即可．
解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
∴不等式组的解集为．
13．
此题考查的是解直角三角形，掌握利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键．根据三角形外角的性质可得：，根据等角对等边即可得：米，再根据锐角三角函数即可求出，根据矩形的性质即可求出，从而求出教学楼的高.
解：∵，
∴，
∴米，
在中，（米），
∵
∴四边形是矩形，
∴米，
∴（米）．
故答案为：
14．
本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率．熟练掌握运用列表法或画树状图法求概率是解题的关键．
先根据题意画树状图，确定所有等可能情况数和第二个摘下A的情况数，再运用概率公式求解即可．
解：画树状图如下：
∴共有3种等可能的结果，其中第二个摘下的小球是A的情况有1种，
∴第二个摘下的小球是A的概率是．
故答案为：．
15．8
根据给出的等式的特点，可以得到等式右边的多项式按照的降幂，的升幂顺序排列，项数为项，第一项和最后一项的系数相同均为1，第二项和倒数第二项的系数相同，等于上一个等式的第一项和第二项的系数之和，第三项和倒数第三项相同，等于上一个等式的第二项和第三项的和，依次类推，根据，即可得出结论；
解：，，
，
，
，
，
项的系数是8．
16．
8
根据坡比的定义，求出的长，再利用勾股定理求出的长即可.
解：由题意，，
∵米
∴米，
由勾股定理，得（米）.
17．，40
先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可．
解：原式
；
当，时，
原式
．
18．(1)
(2)
（1）由加减消元法求解即可；
（2）先去分母化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可．
（1）解：
由得，，解得，
将代入①得，，解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：
解得，
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解为．
19．见解析
本题考查了全等三角形的判定，根据平行线的性质可得，进而根据，即可证明．
证明：因为，
所以．
因为，，
所以．
20．(1)83
(2)720人
本题考查了统计表和频数分布直方图，中位数，用样本估计总体等知识点，解题的关键是正确理解题意，读懂统计图．
（1）根据中位数的定义求解即可；
（2）利用样本估计总体的方法求解即可．
（1）解：由题意得，中位数为第25，26个数据的平均数，
由条形统计图可得第25，26个数据在组，
而，
∴第25，26个数据为，，
∴中位数为，
故答案为：；
（2）解：（人），
答：全校1200名学生的说题成绩不低于80分的人数为720人．
21．（1）；（2）
（1）根据平方根的定义列式求出a的值，再根据立方根的定义列式求出b的值，然后根据算术平方根的定义进行计算即可得解；
（2）由于2＜＜3，由此可得的整数x的值；由此可得小数部分y的值，进而求出的值．
（1）∵的平方根是，
∴ 2a-1=(±3)2，
∴a=5
∵的立方根是3，
∴=33，
∵a=5
∴b=2
∵是的算术平方根, a=5，b=2
∴m=
（2）∵的整数部分是x=2
∴小数部分y= -2
∴= (-2-2)2
=
=
本题考查了算术平方根、平方根、立方根的定义和估算无理数的大小，熟记概念，先判断所给的无理数的近似值是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)
(3)不变，
（1）根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，再根据相似三角形的判定定理即可证明；
（2）连接，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理求出，则，，利用勾股定理求出，通过证明，根据相似三角形的性质求出，进而求出，，据此即可得解；
（3）证明，得到，连接，则，根据余弦的定义得到，进而得到，分析即可得结论．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴；
（2）解：如图1，连接，
由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵交x轴于C、D两点，
∴是的直径，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
即，
如图2，连接，
∵为的直径，
∴，，
∴，
∴在中，，
∴，
当点E在上运动时，的大小不变，是常量，
∴的长度不变，．
23．(1)
(2)①；②
（1）利用抛物线的对称轴方程解答即可；
（2）①抛物线对称轴为直线，若，当时，函数有最大值．且， ，得当时，函数有最大值,代入解析式，解得；②可得抛物线为，由点在该函数图象上，且位于直线（b为常数）的下方，得,得t的最小值为，由t的最大值与最小值的差为6，得， 得，解得或，得，，或，，即得b的取值范围为．
（1）解：抛物线（a为常数，且）的对称轴为直线；
（2）解：①由（1）知，抛物线对称轴为直线，
∵，当时，函数有最大值．
∴，且，
∴当时，函数有最大值．
代入解析式，得,
解得
②由①知, ，
∴抛物线为，
∵点在该函数图象上，且位于直线（b为常数）的下方，
∴,
∵，
∴当时，t有最小值，
∵t的最大值与最小值的差为m，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴,
当时，，
∴或，
∴，，
或，，
故b的取值范围为．
24．(1)，或，
(2)见解析
(3)或
（1）根据定义分两种情况进行讨论；
（2）根据邻补角以及等量代换得出相等的角，再根据新定义进行证明；
（3）过点A作于点E，连接，求出相关角的度数，然后分两种情况进行讨论．
（1）解：当时，
∵，，
，
；
当时，
，，
，
；
综上，，或，；
（2）证明：在四边形中，，
，
，
，
，
，
，
又∵，
∴四边形是“等对角四边形”；
（3）解：过点A作于点E，连接，
，
∴四边形是矩形，
，
，
，
，
，
∵，
，；
①如图，当点P在线段上时，，
，
则，
，
，
∴；
②如图，当点P在点C右侧时，
，，
，
，
，
则，
，
，
，
，
综上所述，线段的长为或．(共6张PPT)
浙江省绍兴市2026年中考数学二模模拟卷分析
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题
1 0.95 相反数的定义
2 0.94 根据平行线的性质求角的度数；三角形的外角的定义及性质
3 0.95 用科学记数法表示绝对值大于1的数
4 0.95 判断简单几何体的三视图
5 0.85 求反比例函数值；判断反比例函数的增减性；判断反比例函数图象所在象限
6 0.85 相似三角形的判定与性质综合
7 0.8 根据实际问题列二元一次方程组
8 0.85 求扇形统计图的圆心角；条形统计图和扇形统计图信息关联；由样本所占百分比估计总体的数量
9 0.65 等边对等角；三角形内角和定理的应用；利用平行四边形的性质求解
10 0.4 动点问题的函数图象；y=ax +bx+c的图象与性质；相似三角形的判定与性质综合；利用菱形的性质求线段长
三、知识点分布
二、填空题
11 0.95 求一个数的立方根
12 0.85 求不等式组的解集
13 0.85 根据矩形的性质与判定求线段长；仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
14 0.85 列表法或树状图法求概率
15 0.65 多项式乘法中的规律性问题
16 0.65 二次根式的乘法；用勾股定理解三角形
三、知识点分布
三、解答题
17 0.85 整式的加减中的化简求值
18 0.84 解分式方程（化为一元一次）；加减消元法
19 0.85 两直线平行内错角相等；用SAS证明三角形全等（SAS）
20 0.85 频数分布直方图；由样本所占百分比估计总体的数量；求中位数
21 0.85 估计算术平方根的取值范围；求算术平方根的整数部分和小数部分；平方根概念理解；已知一个数的平方根，求这个数；已知一个数的立方根，求这个数；运用完全平方公式进行运算
22 0.51 解直角三角形的相关计算；相似三角形的判定与性质综合；圆周角定理；半圆（直径）所对的圆周角是直角；坐标与图形综合；用勾股定理解三角形；利用两角对应相等判定相似
23 0.43 y=ax +bx+c的图象与性质；其他问题(二次函数综合)；y=ax +bx+c的最值；利用不等式求自变量或函数值的范围；待定系数法求二次函数解析式
24 0.28 解直角三角形的相关计算；多边形内角和问题；用勾股定理解三角形

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