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七年级下册数学（新湘教版）
第4章 平面内的两条直线
4.3 平行线的性质
预习
1. 如图，已知平行线 AB、CD 被直线 AE 所截.
(1) 从∠1 = 110° 可以知道∠2 是多少度吗？为什么？
(2) 从∠1 = 110° 可以知道∠3 是多少度吗？为什么？
(3) 从∠1 = 110° 可以知道∠4 是多少度吗？为什么？
2
3
E
1
4
A
B
D
C
解：(1) ∠2 = 110°.
两直线平行，内错角相等.
（2）∠3 = 110°.
两直线平行，同位角相等.
（3）∠4 = 70°.
两直线平行，同旁内角互补.
2. 如图，一条公路两次拐弯的前后两条路互相平行.
若第一次拐弯时∠B 是 142°，则第二次拐弯时∠C
是多少度？为什么？
解：∠C = 142°.
两直线平行，内错角相等.
B
C
在前面，我们学习了两条直线被第三条直线所截，产生了8个角(简称三线八角).
可以指出哪些是同位角、内错角、同旁内角吗
如图，已知AB∥CD.
(1) 图中有几对同位角？
(2) 比较其中一对同位角的大小，由此你能猜想出什么结论？
猜想：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等．
4 对.
∠END=73°
∠EMB=73°
E
73°
73°
a
b
d
再任意画一条截线d，同样度量并计算各个角的度数，你的猜想还成立吗？
如图，设 AB//CD，直线EF 与 直线AB，CD 分别相交于 M，N 两点．则∠EMB和∠END是一对同位角，分别记为∠α和∠β.
猜想：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等．
将直线AB平移,移动方向为点M 到点N 的方向,移动距离等于线段MN的长度.
则点M的像是 ,
射线ME的像是 .
直线AB的像是 ,
从而射线MB的像是 .
于是 的像是 ,
所以 .
点N
射线NE
直线CD
射线ND
如果两直线不平行，同位角相等吗？
平行线具有如下性质：
性质1 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
b
1
2
a
c
所以∠1 =∠2
（两直线平行，同位角相等）.
因为 a∥b（已知），
应用格式:
知识要点
例1：小明在纸上画了一个角∠A，准备用量角器测量它的度数时，因不小心将纸片撕破，只剩下如图的一部分，如果不能延长DC、FE的话，你能帮他设计出多少种方法可以测出∠A的度数？
D
C
E
F
A
A
H
G
1
2
两条平行直线被第三条直线所截，一对内错角的大小有什么关系？
如图，已知AB∥CD，那么∠1与∠2相等吗
因为 AB∥CD，
所以∠1 =∠4（两直线平行，同位角相等）.
又因为∠2 ＝∠4 （对顶角相等），
所以∠1 ＝∠2 （等量代换）.
一般地，平行线具有如下性质：
性质1 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
b
1
2
a
c
所以∠1 =∠2
（两直线平行，同位角相等）.
因为 a∥b（已知），
应用格式:
知识要点
例1 如图，直线 AB，CD 被直线 EF 所截，AB∥CD，∠1＝100°，试求∠3 的度数.
解：因为 AB∥CD，
所以∠1＝∠2＝100°
(两直线平行，同位角相等).
又因为∠2 +∠3＝180°，
所以∠3＝180°－∠2
＝180°－100°＝80°.
典例精析
B
3
1
A
2
C
D
E
F
如图，已知 a∥b ，那么 2 与 3 相等吗？
为什么
解：∠2 =∠3. 理由如下：
因为 a∥b(已知)，
所以∠1 =∠2(两直线平行，同位角相等).
又因为∠1 =∠3(对顶角相等)，
所以∠2 =∠3(等量代换).
b
1
2
a
c
3
思考：已知两直线平行，同位角相等， 那么能否得到内错角之间的数量关系？
二、平行线的性质 2
性质2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.
简单说成：两直线平行，内错角相等.
所以 ∠2 =∠3
（两直线平行，内错角相等）
因为 a∥b（已知），
应用格式：
b
1
2
a
c
3
知识要点
b
1
2
a
c
3
因为 a∥b (已知)，
所以 1 = 2 (两直线平行，同位角相等).
因为 1 + 3 = 180° (平角的定义)，
所以 2 + 3 = 180° (等量代换).
思考：类似地，已知两直线平行，能否得到同旁内角之间的数量关系？
三、平行线的性质 3
如图，已知 a∥b，那么 2 与 4 有什么关系呢？为什么
解： 2 + 3 = 180°. 理由如下：
性质3 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
b
1
2
a
c
4
所以∠2 +∠4 = 180°
(两直线平行，同旁内角互补).
因为 a∥b (已知)，
应用格式：
知识要点
例2 如图，AD∥BC，∠B＝∠D，试问∠A 与∠C 相等吗 为什么
解：因为 AD∥BC，
所以根据平行线的性质3 可得：
∠A +∠B = 180°，∠D +∠C = 180°.
又因为∠B =∠D(已知)，
所以∠A =∠C.
A
B
C
D
例3 小明在纸上画了一个∠A，准备用量角器测量它的度数时，因不小心将纸片撕破，只剩下如图的一部分．如果不能延长 DC、FE 的话，你能帮他设计出多少种方法测出∠A 的度数吗？
D
C
E
F
A
A
H
G
1
2
解：过点 E 向右作 EF∥AB．
则∠B =∠BEF．
因为 AB∥CD，
所以 EF∥CD．
所以∠D =∠DEF．
所以∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF＝∠BED，
即∠B＋∠D＝∠BED．
例4 如图，若 AB∥CD，你能确定∠B、∠D 与∠BED 之间的等量关系吗？说说你的看法．
B
D
C
E
A
F
如图，AB∥CD，探索∠B、∠D 与∠DEB 之间的等量关系 .
变式1
解：过点 E 向左作 EF∥AB．
则∠B＋∠BEF＝180°．
因为 AB∥CD，
所以 EF∥CD．
所以∠D＋∠DEF＝180°．
所以∠B＋∠D＋∠DEB
＝∠B＋∠D＋∠BEF＋∠DEF＝360°．
F
B
D
C
E
A
变式2 如图所示，AB∥CD，则
C
A
B
D
E
A
C
D
B
E2
E1
当有一个拐点时：∠A +∠E +∠C = 360°
当有两个拐点时：∠A +∠E1 +∠E2 +∠C = 540°
当有三个拐点时：∠A +∠E1 +∠E2 +∠E3 +∠C = 720°
A
B
C
D
E1
E2
E3
…
A
B
C
D
E1
E2
En
当有 n 个拐点时：
∠A + ∠ E1 + ∠ E2 +…+ ∠ En + ∠C = 180°(n + 1)
若有 n 个拐点，你能找到规律吗？
变式3 如图，若 AB∥CD， 则
A
B
C
D
E
当左边两个角，右边一个角时：∠A +∠C =∠E
当左边两个角，右边两个角时：∠A +∠F =∠E +∠D
C
A
B
D
E
F
E1
C
A
B
D
E2
F1
当左边三个角，右边两个角时：∠A +∠F1 +∠C =
∠E1 +∠E2
1. 如果有两条直线被第三条直线所截，那么（ ）
A. 内错角相等 B. 同位角相等
C. 同旁内角互补 D. 以上都不对
D
解：因为 AB∥DE ( )，
所以∠A =_______ ( ).
因为 AC∥DF ( ) ，
所以∠D =______ ( ).
所以∠A =∠D ( ).
2. (1) 如图1，若 AB∥DE，AC∥DF，试说明∠A =∠D. 请补全下面的解答过程，括号内填写依据.
P
F
C
E
B
A
D
图 1
已知
∠CPE
两直线平行，同位角相等
已知
∠CPE
两直线平行，同位角相等
等量代换
解：因为 AB∥DE ( )，
所以∠A = ______ ( ).
因为 AC∥DF ( ) ，
所以∠D + _______= 180° ( ).
所以∠A +∠D = 180° ( ).
(2) 如图 2，若 AB∥DE，AC∥DF，试说明∠A +∠D = 180°. 请补全下面的解答过程，括号内填写依据.
图2
F
C
E
B
A
D
P
已知
∠CPD
两直线平行，同位角相等
已知
∠CPD
两直线平行，同旁内角互补
等量代换
课堂小结
平行线的性质：
两直线平行，同位角相等；
两直线平行，内错角相等；
两直线平行，同旁内角互补.

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