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湘教版·七年级下册
第4章 平面内的两条直线
复习
角的名称 角的特征 基本图形 基本图形 相同点 共同特征
同位角
同旁 内角 内错角 F
Z
U
截线:同侧
被截线:同旁
截线:同侧
被截线:之间
截线:两侧
被截线:之间
1
2
1
2
1
2
都在截线同侧
都在被截线之间
这三类角都是没有公共顶点的
其中对顶角有：∠1和∠3， ∠2和∠4， ∠5和∠7， ∠6和∠8.
同位角有：∠2和∠5， ∠1和∠8， ∠3和∠6， ∠4和∠7.
内错角有：∠1和∠6， ∠4和∠5.
同旁内角有：∠1和∠5， ∠4和∠6.
解
由图可知，
如图，直线 EF 与 直线AB，CD分别相交，构成 8 个角.指出图中所有的对顶角、同位角、内错角和同旁内角.
例4
例5 如图，直线 AB，CD 被直线 MN 所截，同位角∠1 与∠2 相等，那么内错角∠2 与∠3 相等吗
1
2
3
A
B
C
D
M
N
解：因为∠1 =∠3(对顶角相等)，
∠1 = ∠2(已知)，
所以∠2 = ∠3(等量代换).
两条直线被第三条直线所截，
如果有一对同位角相等，则内错角相等.
练一练：识别哪些角是同位角、内错角、同旁内角
1
2
(1)
同位角
1
2
(2)
1
2
(3)
1
2
(4)
1
2
(5)
1
2
(6)
1
2
(7)
1
2
(8)
1
2
1
2
(9)
(10)
同位角
同位角
同位角
同位角
内错角
同旁内角
无
无
无
1. 请举出生活中对顶角的例子.
教材P74 练习
对顶角相等
2. 如图， 工人师傅用对顶角量角器量工件 a，b 边所夹的角，其中∠1 的度数可以从仪器上读出． 试说明∠1 的大小就是a，b边所夹角的大小的理由.
3. 如图，直线 a，b 被直线 c 所截，试找出图中所有的对顶角、同位角、内错角和同旁内角．若∠1 ＝∠5 ＝ 107 °， 求其他角的度数．
解：对顶角有∠1和∠3，∠2和∠4，
∠6和∠8， ∠5和∠7.
同位角有∠1和∠5，∠2和∠6， ∠4和∠8， ∠3和∠7.
内错角有∠3和∠5， ∠2和∠8.
同旁内角有∠2和∠5， ∠3和∠8.
∠3 = ∠7 = 107°，∠2 =∠4 =∠6 =∠8 =73°
a
b
c
4
3
1
2
5
8
7
6
对顶角
同位角
内错角
同旁内角
邻补角
对顶角相等
和为180°
两直线相交
两直线被第三条直线所截形成的角
课堂小结
F
Z
U
生活中的数学：三线八角手势记忆法
同位角
内错角
同旁内角
学而时习之
判断(对的画“√”，错的画“×”).
在同一平面内，若直线 a∥b，直线c 与直线 a 相交，
则直线 c∥b. ( )
(2) 有公共顶点且相等的角是对顶角. ( )
1
×
×
如图，AD//BE，AB//DC，∠DCE=78°，求∠A，∠B，∠D的度数.
2
解: 因为 AB∥CD，∠DCE ＝ 78° ，
所以∠B ＝∠DCE ＝ 78°.
因为 AD∥BE ，
所以∠D ＝∠DCE ＝78°，∠A＋∠B ＝180°.
所以∠A ＝180°－∠B ＝180°－78° ＝102°.
所以∠A，∠B，∠D 的度数分别为 102°，78°，78°.
如图，AC//DE，AB//CD，∠D+∠E=180°.填空并在括号内填写理由：
因为_________________(已知)，
所以∠A+∠C=180°( ).
又因为AC//DE(已知)，
所以_____=∠D( ).
所以∠A+∠D=180°.
又∠D+∠E=180°(已知)，
所以∠A=∠E ( )
3
AB∥CD
两直线平行，同旁内角互补
∠C
两直线平行，内错角相等
等量代换
如图，直线 a，b被直线 c，d 所截.
找出能使a//b的一个条件，并说明理由；
找出能使c//d的一个条件，并说明理由.
4
解:(1) 例如:∠1＝∠2，则 a∥b，理由:同位角相等，两直线平行；
或∠2＝∠3，则a∥b，理由:内错角相等，两直线平行；
或∠3＋∠4＝180°，则a∥b，理由: 同旁内角互补，两直线平行；
或∠5＋∠6＝180°，则a∥b，理由:如果∠5＋∠6 ＝ 180°，那么∠5 与∠6 的对顶角之和等于180°，即同旁内角互补，两直线平行，则 a∥b.
(答案不唯一)
(2) 例如∠3＝∠5，则 c∥d，理由: 同位角相等，两直线平行，
或∠4＝∠6，则 c∥d，理由:内错角相等，两直线平行，
或∠1＝∠5，则 c∥d，理由:如果∠1 ＝ ∠5，那么∠3＝∠5，
即同位角相等，两直线平行，则 c∥d，
或∠2＋∠6＝180°，则 c∥d，理由:如果∠2＋∠6＝180°，那么∠6 与∠2
的对顶角之和等于180°，即同旁内角互补，两直线平行，则 c∥d.
如图，直线 a，b被直线 c，d 所截.
找出能使a//b的一个条件，并说明理由；
找出能使c//d的一个条件，并说明理由.
4
如图，∠1=∠2，∠A = 65°，求∠ADC 的度数(用两种方法).
5
解:因为∠1＝∠2，
所以 AB∥DC，
所以∠A＋∠ADC ＝180°.
因为∠A ＝65°，
所以∠ADC ＝180°－∠A
＝180°－65° ＝115°.
解:因为∠A ＝65°，
所以∠1+∠ADB = 180°－65°=115°.
又因为∠1＝∠2，
所以∠ADC =∠2+∠ADB=∠1+∠ADB=115°.
方法一：
方法二：
点 B在点 A北偏东 30°的方向，点 C在点 B北偏西 60°的方向，且BC=12 m. 如图所示，问点 C 到直线 AB 的距离是多少
6
解: 根据题意知，在点 A 与点 B 处的正北
方向是平行的，
所以 30°＋∠ABC ＋ 60° ＝ 180°.
所以∠ABC ＝90°，
所以 CB⊥AB. 因为BC ＝12 m，
所以点 C 到直线 AB 的距离是线段 CB 的
长度，即 12 m.
根据下列语句画出图形:
(1)过△ABC 内一点 P，分别作AB，BC，CA 的平行线；
(2)过直线 AB 上的一点D 作AB 的垂线 DQ，使得 DQ =1 cm.
7
解: (1) 如下图所示.
(2)如下图所示.
D
Q
温故而知新
如图，AE∥BC，AE平分∠DAC.填空并在括号内填写理由:
因为 AE∥BC，
所以 ∠B=______( )，
∠C=______( ) .
又因为AE平分∠DAC，
所以 ______=______( ).
所以∠B =∠C.
8
∠DAE
两直线平行，同位角相等
∠EAC
两直线平行，内错角相等
∠DAE
∠EAC
角平分线的定义
如图，l1//l2，∠ABC=120°，l1⊥AB. 求∠α的度数.
9
解: 过 B点作直线l2'，使得l2′∥l1，如图所示.
因为 l1⊥AB，l2′∥l1，
所以 BD⊥AB，所以∠ABD ＝90°.
又因为l1//l2，所以l2′∥l2 ，
所以∠α ＝∠DBC ＝∠ABC－∠ABD ＝120°－90°＝30°.
如图，已知∠1+∠2=180°.
判断AB与EF的位置关系，并说明理由；
若∠3=∠B，∠C=40°，求∠DEC的度数.
10
解：(1) AB∥EF.
理由如下：
因为∠DFE+∠1 =180°，∠1+∠2=180°，
所以 ∠DFE = ∠2.
所以 AB∥EF.
如图，已知∠1+∠2=180°.
判断AB与EF的位置关系，并说明理由；
若∠3=∠B，∠C=40°，求∠DEC的度数.
10
(2) 因为AB∥EF，
所以∠BDE +∠3=180°.
又因为∠3=∠B，
所以∠BDE +∠B =180°.
所以DE∥BC .
因为∠C= 40 °，
所以∠DEC= 180°-40 °=140°.
已知三角形的三个内角的度数之和是180°，如图将两个三角板按不同位置进行摆放，其中∠ACB=∠CDE=90°，∠BAC=60°，∠DEC=45°.
(1) 当AB∥DC时，如图①，求∠DCB的度数.
11
解：(1) 因为AB∥DC，
所以∠DCB=∠B .
又因为∠B=180°-∠ACB-∠BAC=30°，
所以 ∠DCB=∠B=30°.
①
已知三角形的三个内角的度数之和是180°，如图将两个三角板按不同位置进行摆放，其中∠ACB=∠CDE=90°，∠BAC=60°，∠DEC=45°.
(2) 当CD与CB重合时，如图②，判断BE与AC的位置关系，并说明理由.
11
②
(2) BE∥AC .理由如下：
因为∠ACB=∠CDE=90°，
所以 BE∥AC .
已知三角形的三个内角的度数之和是180°，如图将两个三角板按不同位置进行摆放，其中∠ACB=∠CDE=90°，∠BAC=60°，∠DEC=45°.
(3) 当AB∥EC时，如图③，求∠DCB的度数.
11
③
(3) 因为AB∥EC ，
所以∠B=∠ECB=30°.
又因为∠CDE=90°，∠DEC=45°，
所以∠DCE=45°.
所以∠DCB=∠DCE - ∠ECB=15°.
解:因为 OF⊥CD，
所以∠COF ＝∠DOF ＝90°.
因为∠AOF ＝28°，
所以∠AOD ＝∠AOF＋∠FOD ＝28°＋90° ＝118°.
所以∠BOC ＝∠AOD ＝118°.
又因为∠COF ＝90°，∠AOF ＝28°，
所以∠AOC ＝90°－28° ＝62°.
所以∠DOB ＝∠AOC ＝62°.
因为 OE⊥AB， 所以∠EOB ＝90°，
所以∠EOD ＝∠EOB－∠DOB ＝90°－62° ＝28°.
如图，直线 AB，CD 相交于点 O，射线 OE⊥AB于点 O，射线 OF⊥CD 于点 O，且∠AOF=28°.求∠BOC与∠EOD 的度数.
12
28°
上下而求索
下列各图中的MA1与NAn(n是正整数)平行.
13
图①中的∠A1+∠A2=______度，
图②中的∠A1+∠A2+∠A3=______度，
图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=______度，
图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=______度，
……
第10个图中的∠A1+∠A2+∠A3+···+∠A11=______度，
(2) 第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+···+∠An+1=______度.
①
②
③
④
……
180
360
540
720
1800
180 n
(1) 如图①，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由.
14
解:(1) AB∥CD. 理由如下:
因为 CE平分∠ACD， AE平分∠BAC，
所以 ∠ACE＝∠DCE，∠EAC＝∠BAE.
又因为∠EAC＋∠ACE＝90° ，
所以∠BAC＋∠DCA ＝∠BAE+∠EAC+∠DCE+∠ACE＝180°.
所以 AB∥CD.
①
(2) 如图②，在(1)的结论下，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，当点Q在射线CD上运动时(点C 除外)，∠CPQ+∠CQP
与∠BAC有何数量关系？请写出你的结论并说明理由.
14
②
(2) ∠CPQ +∠CQP=∠BAC.
理由如下:
因为∠CPQ+∠CQP=∠ACF，AB∥CD，
所以∠ACF=∠BAC，
所以∠CPQ+∠CQP =∠BAC.
F
(3) 如图③，在(1)的结论下，当∠E=90°保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由.
14
③
N
延长线段AE交直线CD于点N，如图所示.
因为AB∥CD，所以∠BAN=∠ANC，
又因为∠BAN+∠NCE=90°，∠NCE= ∠MCD，
(3) ∠BAE+ ∠MCD = 90°.理由如下:
所以∠BAE + ∠MCD = 90°.

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