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湘教版（2024）七年级下册
4.1.2 相交直线所成的角
核心素养
1.理解对顶角的概念，探索并掌握“对顶角相等”，增强推理能力。
2.识别同位角、内错角、同旁内角。在角分析比较的过程中，学会关注事物的共性，分辨事物的差异，提升抽象能力，发展模型观念。
观察
直线与直线相交于一点，并形成了四个角.
将其抽象，就可得到如图4.1-8的几何图形
你发现了什么？
图4.1-8
观察
图4.1-8
图中∠1 和 ∠3、∠2 和∠4它们有什么特征
① 有共同顶点；
② 两边互为反向延长线
有共同的顶点，且其中一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的一对角叫作对顶角.
例1 下列各图中，∠1 与∠2 是对顶角的是（ ）
D
1
2
A
1
2
B
方法总结：对顶角是由两条直线相交形成的．
1
2
D
1
2
C
典例精析
O
2
1
3
4
E
B
A
C
D
如图所示，直AB、CD相交于O点，OE是射线，则∠1的对顶角是_______，∠4的对顶角是_______ .
∠AOD
∠3
猜想：对顶角相等.
C
O
A
B
D
4
3
2
1
问题：对顶角∠1 与∠3 在数量上又有什么关系呢？
对顶角的性质
思考：你能利用有关知识来推导∠1 与∠3 的数量关系吗？
我们已经知道平角为 180°，因而∠1 与∠2，∠2 与∠3，∠3 与∠4，∠4 与∠1 的和均为 180°.
2
O
A
B
C
D
4
3
2
1
已知：直线 AB 与 CD 相交于 O 点(如图)，
试说明：∠1 =∠3，∠2 =∠4.
解：因为 直线 AB 与 CD 相交于 O 点，
所以∠1 +∠2 = 180°，
∠2 +∠3 = 180°.
所以∠1 =∠3(同角的补角相等).
同理可得∠2 =∠4.
应用格式：因为 直线 AB 与 CD 相交于 O 点，
所以∠1 =∠3，∠2 =∠4.
想一想：图中是对顶角量角器，你能说出用它测量角的原理吗？
对顶角相等
∠2 = 180°－∠1 = 140°.
a
b
）
（
1
3
4
2
例2 如图，直线 a，b 相交，∠1 = 40°，求∠2，∠3，∠4 的度数.
因为直线 a 与 b 相交于一点，
∠1 = 40°，
所以∠3 =∠1 = 40°，
解：
所以∠4 =∠2 = 140°.
2. 如图，若∠2 是 ∠1 的 3 倍，则∠1，∠2，∠3，∠4 各个角的度数分别为_____________________.
1. 如图，若 ∠1 +∠3 = 60°，则∠4 的度数为_____.
150°
45°，135°，45°，135°
变式训练：
8
授
新
探究一：∠1 和∠5 的位置关系
①在直线MN的同一侧（右边）
②在直线AB、CD的同一方（上方）
同位角
11
授
新
探究二：∠3 和∠5 的位置关系
①在直线MN的两侧
②在直线AB、CD之间
内错角
14
授
新
探究三：∠3 和∠6 的位置关系
①在直线MN的同一侧(左侧)
②在直线AB、CD的之间
同旁内角
15
授
新
观察：图中的同旁内角还有哪些？
∠4和∠5
16
结
总
角的名称 角的特征 基本图形 基本图形 相同点 共同特征
同位角
同旁 内角
内错角
F
Z
U
截线:同侧
被截线:同旁
截线:同侧
被截线:之间
截线:两侧
被截线:之间
1
2
1
2
1
2
都在截线同侧
都在被截线之间
没有公共顶点
18
例
典
对顶角有：∠1和∠3， ∠2和∠4， ∠5和∠7， ∠6和∠8.
同位角有：∠2和∠5， ∠1和∠8， ∠3和∠6， ∠4和∠7.
内错角有：∠1和∠6， ∠4和∠5.
同旁内角有：∠1和∠5， ∠4和∠6.
解:
由图可知：
如图，直线 EF 与 直线AB，CD分别相交，构成 8 个角。指出图中所有的内错角、同旁内角、对顶角和同位角。
例1
19
例
典
由上可知：两条直线被第三条直线所截，如果有一对同位角相等，则内错角相等。
如图，直线 AB，CD 被直线 MN 所截，同位角∠1与∠2相等，那么内错角∠2 与∠3 相等吗
例2
解： ∠1 ＝∠3 （对顶角相等）
∠1 ＝∠2 （已知）
∠2 ＝∠3 （等量代换）
21
固
巩
1.如图，直线a，b被直线c所截，试找出图中所有的对顶角、同位角、内错角和同旁内角．若∠1 ＝∠5 ＝ 107°,求其他角的度数
解：内错角有∠3和∠5， ∠2和∠8
同旁内角有∠2和∠5， ∠3和∠8
对顶角有∠1和∠3，∠2和∠4， ∠6和∠8， ∠5和∠7
同位角有∠1和∠5，∠2和∠6， ∠4和∠8， ∠3和∠7
∠3 = ∠7 = 107°，∠2 =∠4 =∠6 =∠8 =73°
a
b
c
4
3
1
2
5
8
7
6
21
固
巩
2.如图，指出下列各对角分别是什么角，它们分别是由哪两条直线被哪一条直线所截得到的.
(1) 与 (2) 与 .
(第2题图)
3.如图，在括号内填写理由:
已知
因为
所以
(第3题图)
22
展
拓
(第4题图)
(第5题图)
4.如图，找出图中所有的对顶角、同位角、内错角和同旁内角
5. 如图，在图中分别找出一个角与 a配对，使两个角成为:
(1)同位角; (2)内错角; (3)同旁内角.
并指出它们分别是由哪两条直线被哪一条直线所截得到的.
23
结
小
对顶角
同位角
内错角
同旁内角
邻补角
对顶角相等
和为180°
两直线相交
两直线被第三条直线所截形成的角
F
Z
U
几何的线条终会相交或平行，但人生的故事由你们定义。愿你们在知识的海洋里“同位”共进，
在困难面前“同旁”互助，
在差异中发现“内错”的惊喜，
在成长中守住“对顶”的真诚。
1. 如图，∠1 与∠ 2是同位角的对数有（ ）
D
A. 1 对 B. 2 对 C. 3 对 D. 4 对
随堂演练
2. 下列各图中，∠1，∠2 是对顶角吗？
(
)
1
2
(
)
1
2
(
)
2
1
不是
是
不是
3. 如图，直线 AB、CD 被 DE 所截，则∠1和______是同位角，∠1和_____是内错角，∠1和______是同旁内角，如果∠1=∠5，那么∠1_____∠3.
∠3
∠5
∠2
=
4. 如图，∠DAB 和∠ABC 的位置关系是（ ）
A. 同位角 B. 同旁内角
C. 内错角 D. 以上结论都不对
5. 如图，∠1 和 ∠2 不能构成同位角的图形是（ ）
C
D
A
D
B
C
E
6. 如图，∠1和∠4 是 AB、 被 所截得的 角；∠3和∠5是 、 被 所截得的 角；∠2和∠5是 、 被 所截得的 角；AC、BC被AB所截得的同旁内角是 .
CD
BE
同位
AB
BC
AC
同旁内
AB
CD
AC
内错
∠4和∠5
(2) 如图 2，若 ED，BC 被 AF 所截，则∠3 与____是内错角；
(1) 如图 1，若 ED，BF 被 AB 所截，则∠1 与____是同位角；
7. 看图填空：
∠2
∠4
图1
图2
(3) 如图 3，∠1 与∠3 是 AB 和 AF 被_____所截构成的
角；
DE
内错
(4) 如图 4，∠2 与∠4 是 和 被 BC 所截构成的_____角.
AB
AF
同位
图3
图4
8. 如图，直线 AB、CD 被 EF 所截，如果∠1与∠2互补，且∠1=110°，那么∠3、∠4的度数是多少
解：因为∠1 = 110°，∠1+∠2 = 180°
所以∠2 = 70°
所以∠3 =∠2 = 70°(对顶角相等)
因为∠1和∠4互补，
所以∠4 = 70°
解：(1)∠AOC 的补角是∠AOD 和∠COB；
∠BOE 的补角是∠EOA 和∠BOF.
9. 如图，直线 AB，CD，EF 相交于点 O.
(1) 写出∠AOC，∠BOE 的补角；
(2) 写出∠DOA，∠EOC 的对顶角；
(3) 如果∠AOC = 50°，求∠BOD，∠COB 的度数.
A
E
D
B
F
C
O
(2)∠DOA 的对顶角是∠COB；
∠EOC 的对顶角是∠DOF.
(3)∠BOD =∠AOC = 50°，
∠COB = 180° -∠AOC = 130°.
10. 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，∠EOC = 70°， OA 平分∠EOC ，求∠BOD 的度数.
A
B
C
D
E
O
解：因为 OA 平分∠EOC，
所以∠AOC = ∠EOC = 35°.
所以∠BOD =∠AOC = 35°.
拓展题：观察下列各图，寻找对顶角 (不含平角) .
(1) 如图 1，图中共有 对对顶角；
(2) 如图 2，图中共有 对对顶角；
(3) 如图 3，图中共有 对对顶角；
(4) 研究(1)~(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有 n 条直线相交于一点，则可形成 对对顶角；
(5) 若有 10 条直线相交于一点，则可形成 对对顶角.
图1
图2
图3
2
6
12
n(n-1)
90
例 如图，直线 AB，CD，EF 相交于点 O，
∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2 的度数.
解：因为∠1＝40°，
∠BOC＝110° (已知)，
所以∠BOF＝∠BOC －∠1
＝110°－40°＝70°.
因为∠BOF＝∠2 (对顶角相等)，
所以∠2＝70° (等量代换)．
注意：隐含条件“对顶角相等”.
1. 如图，直线 AB，CD，EF 相交，若∠1 +∠5 = 180°，
找出图中与∠1 相等的角.
解：∠1 =∠3 (对顶角相等).
D
B
E
A
C
F
1
2
3
4
5
6
8
7
因为∠5 +∠8 = 180°，且∠1 +∠5 = 180°，
所以∠8 =∠1.
因为∠8 =∠6 (对顶角相等)，
所以∠6 =∠1.
变式训练：
综上可知，与∠1 相等的角有∠3，∠8，∠6.
例7 如图，直线 DE 截 AB ，AC，构成 8 个角，指出所有的同位角，内错角，同旁内角.
解：两条直线 AB，AC 被直线 DE 所截，所以 8 个角中，同位角有：∠1 与∠8，∠2 与∠5，∠3 与∠6，∠4 与∠7；内错角有：∠1 与∠6，∠4 与∠5；同旁内角有：∠1 与∠5，∠4 与∠6.
E
D
C
B
A
8
7
6
5
4
3
2
1
典例精析
变式：∠A 与∠8 是哪两条直线被哪条直线所截得的角 它们是什么关系的角 ∠A 与∠5 呢 ∠A 与∠4 呢
解：∠A 与∠8 是直线 AB，DE 被直线 AC 所截形成的内错角.
∠A 与∠5 是直线 AB，DE 被直线 AC 所截形成的同旁内角.
∠A 与∠4 是直线 AC，DE 被直线AB 所截形成的同位角.
E
D
C
B
A
8
7
6
5
4
3
2
1
21
见
再

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