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2026年深圳八年级下册期中培优卷
一．选择题（共8小题）
1．若a＞b，则下列不等式变形错误的是（　　）
A．a﹣1＞b﹣1 B． C．3a＞3b D．1﹣a＞1﹣b
2．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（　　）
A． B．
C． D．
3．分式的值为0，则x的值是（　　）
A．0 B．﹣4 C．4 D．﹣4或4
4．下列因式分解中，正确的是（　　）
A．2a3﹣4a2+2a＝2a（a2﹣2a）
B．
C．a3﹣9a＝a（a2﹣9）
D．﹣a2﹣b2＝﹣（a+b）（a﹣b）
5．已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+2b2+c2＝2ab+2bc，据此判断△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
6．如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+3的图象交于点P（1，2），则关于不等式x+b＞kx+3的解集是（　　）
A．x＞0 B．x＞1 C．x＜1 D．x＜0
7．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　）
A．a≥3 B．a≤3 C．a＞3 D．a＜3
8．如图，已知BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上一点，BE＝BA．过点E作EF⊥AB于点F，则下列结论：①△EBC可由△ABD绕点B旋转而得到；②∠BCE+∠BCD＝180°；③∠ABE＝∠DAE；④BA+BC＝2BF；正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共5小题）
9．分解因式：x2﹣9＝　 　 ．
10．如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是 　 　 ．
11．在下列条件：①∠A+∠B+∠C＝180°；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A∠C；⑤∠A＝∠B∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有 　 　 ．
12．如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠BAC＝80°，△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△ADE的位置，点D在BC边上，DE交AC于点F，则∠AFE＝　 　 ．
13．如图，三角形纸片中，AB＝AC，BC＝18，∠C＝30°，折叠这个三角形，使点B落在AC的中点D处，折痕为EF，那么BF的长为 　 　 ．
三．解答题（共7小题）
14．计算：
（1）解不等式组：；（2）解不等式组：；
（3）因式分解：a3﹣6a2+9a； （4）因式分解：x2（x﹣3）+4（3﹣x）．
15．先化简：，再从 0，1，﹣1，中选取一个合适的数代入求值．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．
（1）将△ABC向左平移5个单位得到△A′B′C′，则C′的坐标为（ 　 　 ，　 　 ）；
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出B1的坐标为（ 　 　 ，　 　 ）；
（3）若点P为y轴上一动点，求PA+PC的最小值．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，过CA的延长线上一点D，作DE⊥BC，垂足为E，交边AB于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若AD＝13，BE＝5，F为AB的中点，求EF的长．
18．阅读理解题：
（1）原理：对于任意两个实数a、b，若ab＞0，则a和b同号，即：或；若ab＜0，则a和b异号，即：或．
（2）分析：对不等式（x+1）（x﹣2）＞0来说，把（x+1）和（x﹣2）看成两个数a和b，所以按照上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ），所以不等式（x+1）（x﹣2）＞0的求解就转化为求解不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ），请你按照此种方法求出不等式（x+1）（x﹣2）＞0的解集；
（3）应用：解不等式4x2﹣（x﹣3）2＜0．
19．某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“m2﹣mn+2m﹣2n”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式．然后再提取公因式：m2﹣mn+2m﹣2n＝（m2﹣mn）+（2m﹣2n）＝m（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+2）．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
（1）分解因式：a3+3a2+6a+18；
（2）分解因式：x2+y2﹣2xy﹣9；
（3）△ABC的三边a，b，c满足a2+ab+c2﹣bc＝2ac，判断△ABC的形状并说明理由．
20．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，AB＝2，点R是BC上一点，∠BAR＝60°，点P在AB上从点A平移至点B，过点P作PQ⊥AB，交射线AR于点Q．将△APQ绕点A顺时针旋转90°至△AP′Q′，P的对应点为P′，Q的对应点为Q′，连接QQ′．
（1）∠ARB的大小是 　 　 °，∠AQQ′的大小是 　 　 °；
（2）如图2，当Q，C，Q′三点共线时，求平移的距离AP；
（3）连接PR，当△BPR是等腰三角形时，求平移的距离AP．
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一．选择题
1.若a＞b,则下列不等式变形错误的是( ____ )
A.a-1＞b-1
B.
C.3a＞3b
D.1-a＞1-b
【解析】解：A、∵a＞b,
∴a-1＞b-1，故正确，不合题意；
B、∵a＞b,
D
∴ ，故正确，不合题意；
C、∵a＞b,
∴3a＞3b,故正确，不合题意；
D、∵a＞b,
∴-a＜-b,
∴1-a＜1-b,故错误，符合题意；
故选：D．
2.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是( ____ )
A.___
B.___
A
C.___
D.___
【解析】解：A．是中心对称图形，符合题意；
B．不是中心对称图形，故不符合题意；
C．不是中心对称图形，故不符合题意；
D．不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：A．
3.分式 的值为0，则x的值是( ____ )
A.0
B.-4
C.4
D.-4或4
【解析】解：∵分式 的值为0，
∴|x|-4=0且x-4≠0，
解得x=-4．
B
故选：B．
4.下列因式分解中，正确的是( ____ )
A.2a3-4a2+2a=2a(a2-2a)
B.
C.a3-9a=a(a2-9)
D.-a2-b2=-(a+b)(a-b)
【解析】解：A、原式=2a(a-1)2，不符合题意；
B、原式= ，符合题意；
C、原式=a(a+3)(a-3)，不符合题意；
B
D、原式=-(a2+b2)，不符合题意；
故选：B．
5.已知a,b,c是△ABC的三边长，满足a2+2b2+c2=2ab+2bc,据此判断△ABC的形状是( ____ )
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
【解析】解：∵a2+2b2+c2=2ab+2bc,
∴a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=0，即：(a-b)2+(b-c)2=0，
∴a-b=0，且b-c=0，即：a=b,b=c,
∴a=b=c,
B
∴△ABC是等边三角形，
故选：B．
6.如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+3的图象交于点P(1，2)，则关于不等式x+b＞kx+3的解集是( ____ )
A.x＞0
B.x＞1
C.x＜1
D.x＜0
【解析】解：当x＞1时，x+b＞kx+3，
即不等式x+b＞kx+3的解集为x＞1．
故选：B．
B
7.若关于x的不等式组 无解，则a的取值范围是( ____ )
A.a≥3
B.a≤3
C.a＞3
D.a＜3
【解析】解：解关于x的不等式组
A
，
由①得：x＞a-2，
由②得：x≤1，
∵不等式组无解，
∴a-2≥1，
∴a≥3．
故选：A．
8.如图，已知BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上一点，BE=BA．过点E作EF⊥AB于点F，则下列结论：①△EBC可由△ABD绕点B旋转而得到；②∠BCE+∠BCD=180°；③∠ABE=∠DAE；④BA+BC=2BF；正确的个数为( ____ )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】解：①∵BD为△ABC的角平分线，
D
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC(SAS)，
∴△EBC可由△ABD绕点B旋转而得到，
故①正确；
②∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE=∠BDA，
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，
故②正确；
③∵BD=BC，BE=BA，∠ABE=∠CBE，
∴∠BEA=∠BCD=∠BDC=∠BAE，
∴∠AED=∠ADE=∠BCD=∠BDC，
∴∠CBD=∠DAE，
∴∠ABE=∠DAE，故③正确；
④过E作EG⊥BC于G点，
___
∵E是BD上的点，
∴EF=EG，
在Rt△BEG和Rt△BEF中，
，
∴Rt△BEG≌Rt△BEF(HL)，
∴BG=BF，
在Rt△CEG和Rt△AFE中，
，
∴Rt△CEG≌Rt△AFE(HL)，
∴AF=CG，
∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF，
故④正确．
故选：D．
二．填空题
9.分解因式：x2-9= _______________ ．
【解析】解：x2-9=(x+3)(x-3)．
故答案为：(x+3)(x-3)．
(x+3)(x-3)
10.如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是 ____ ．
【解析】解：如图，连接N和两个三角形的对应点；
发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，因此格点N就是所求的旋转中心；
故答案为点N．
点N
11.在下列条件：①∠A+∠B+∠C=180°；②∠A：∠B：∠C=1：2：3；③∠A=∠B=2∠C；④∠A= ∠C；⑤∠A=∠B= ∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有 _____ ．
【解析】解：①∠A+∠B+∠C=180°时，不能判定△ABC为直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，
∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，能判定△ABC为直角三角形；
③设∠C=x,则∠A=∠B=2x,
∴x+2x+2x=180°，
解得：x=36°，
②④⑤
∴∠C=36°，则∠A=∠B=72°，△ABC不是直角三角形；
④设∠A=x,则∠B=2x,∠C=3x,
∴x+2x+3x=180°，
解得：x=30°，
∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，能判定△ABC为直角三角形；
⑤∵∠A=∠B= ∠C，
∴∠A=∠B=45°，∠C=90°，能判定△ABC为直角三角形；
故答案为：②④⑤．
12.如图，在△ABC中，∠B=55°，∠BAC=80°，△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△ADE的位置，点D在BC边上，DE交AC于点F，则∠AFE= _____ ．
【解析】解：由∠B=55°，∠BAC=80°，△ABC旋转到△ADE，
得AB=AD，
得∠ADB=∠B=55°，
得∠BAD=180°-2×55°=70°，
得∠EAF=∠BAD=70°，
由∠E=∠C=180°-∠B-∠BAC=45°，
得∠AFE=180°-∠EAF-∠E=65°．
65°
故答案为：65°．
13.如图，三角形纸片中，AB=AC，BC=18，∠C=30°，折叠这个三角形，使点B落在AC的中点D处，折痕为EF，那么BF的长为 ____ ．
【解析】解：过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H，
______
∵AB=AC，
7
∴∠B=∠C=30°，BG=CG= BC=9，
∵点D为AC的中点，AG∥DH，
∴GH=CH= ，
∴DH=CH tan30°= = ，
由翻折可得DF=BF，
设DF=BF=x,则FH=18-x- = -x,
在Rt△DFH中，DF2=FH2+DH2，
即 ，
解得x=7，
∴BF=7．
故答案为：7．
三．解答题
14.计算：
(1)解不等式组： ；
(2)解不等式组： ；
(3)因式分解：a3-6a2+9a；
(4)因式分解：x2(x-3)+4(3-x)．
【解析】解：(1)
，
解不等式①，得x＞-2，
解不等式②，得x＜2，
所以原不等式组的解集为：-2＜x＜2；
(2) ，
解不等式①，得x≥-2，
解不等式②，得x＜5，
所以原不等式组的解集为：-2≤x＜5；
(3)a3-6a2+9a
=a(a2-6a+9)
=a(a-3)2；
(4)x2(x-3)+4(3-x)
=x2(x-3)-4(x-3)
=(x-3)(x2-4)
=(x-3)(x+2)(x-2)．
15.先化简： ，再从 0，1，-1， 中选取一个合适的数代入求值．
【解析】解：原式=
=
= ，
∵x+1≠0，x-1≠0，x≠0，
∴x≠±1，0，
∴当x= 时，原式= =8．
16.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1，1)，B(4，1)，C(3，3)．
___
(1)将△ABC向左平移5个单位得到△A′B′C′，则C′的坐标为( ____ ，
-2
____ )；
(2)将△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出B1的坐标为( ____ ， ____ )；
(3)若点P为y轴上一动点，求PA+PC的最小值．
【解析】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求，C′的坐标为(-2，3)；
3
1
-4
___
故答案为：-2，3；
(2)如图，△A1B1C1即为所求；B1的坐标为(1，-4)；
故答案为：1，-4；
(3)如图，点P为y轴上一动点，
___
∴PA+PC的最小值=PA″+PC=A″C= =2 ．
17.如图，在△ABC中，AB=AC，过CA的延长线上一点D，作DE⊥BC，垂足为E，交边AB于点F．
(1)求证：△ADF是等腰三角形；
(2)若AD=13，BE=5，F为AB的中点，求EF的长．
【解析】解：(1)证明：∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠B+∠BFE=90°，∠C+∠D=90°，
∴∠BFE=∠D，
又∵∠BFE=∠AFD，
∴∠D=∠AFD，
∴△ADF 是等腰三角形；
(2)∵F为AB的中点，
∴AF=BF，
∵△ADF是等腰三角形，
BF=AF=AD=13，
∵DE⊥BC，
∴EF= =12，
答：EF的长为12．
18.阅读理解题：
(1)原理：对于任意两个实数a、b,若ab＞0，则a和b同号，即： 或 ；若ab＜0，则a和b异号，即： 或 ．
(2)分析：对不等式(x+1)(x-2)＞0来说，把(x+1)和(x-2)看成两个数a和b,所以按照上述原理可知：(Ⅰ) 或(Ⅱ) ，所以不等式(x+1)(x-2)＞0的求解就转化为求解不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)，
请你按照此种方法求出不等式(x+1)(x-2)＞0的解集；
(3)应用：解不等式4x2-(x-3)2＜0．
【解析】解：(2)∵(x+1)(x-2)＞0
∴① 或 ，
解不等式组①，得：x＞3，
解不等式组②，得：x＜-1，
所以原不等式的解集为x＜-1或x＞2．
(3)4x2-(x-3)2＜0转化为(2x)2-(x-3)2＜0，
∴3(x-1)(x+3)＜0，
∴① 或② ，
解不等式组①，无解，
解不等式组②，得：-3＜x＜1，
所以原不等式的解集为-3＜x＜1．
19.某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“m2-mn+2m-2n”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式．然后再提取公因式：m2-mn+2m-2n=(m2-mn)+(2m-2n)=m(m-n)+2(m-n)=(m-n)(m+2)．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
(1)分解因式：a3+3a2+6a+18；
(2)分解因式：x2+y2-2xy-9；
(3)△ABC的三边a,b,c满足a2+ab+c2-bc=2ac,判断△ABC的形状并说明理由．
【解析】解：(1)a3+3a2+6a+18
=a2(a+3)+6(a+3)
=(a+3)(a2+6)；
(2)x2+y2-2xy-9
=(x-y)2-9
=(x-y+3)(x-y-3)；
(3)△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵a2+ab+c2-bc=2ac,
∴a2-2ac+c2+(ab-bc)=0，
∴(a-c)2+b(a-c)=0，
∴(a-c)(a-c+b)=0，
∵a-c+b＞0，
∴a-c=0，即a=c,
∴△ABC是等腰三角形．
20.如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，AB=2，点R是BC上一点，∠BAR=60°，点P在AB上从点A平移至点B，过点P作PQ⊥AB，交射线AR于点Q．将△APQ绕点A顺时针旋转90°至△AP′Q′，P的对应点为P′，Q的对应点为Q′，连接QQ′．
(1)∠ARB的大小是 ____ °，∠AQQ′的大小是 ____ °；
(2)如图2，当Q，C，Q′三点共线时，求平移的距离AP；
(3)连接PR，当△BPR是等腰三角形时，求平移的距离AP．
75
45
_____
【解析】解(1)∵∠B=45°，∠BAR=60°，
∴∠ARB=180°-∠B-∠BAR=180°-45°-60°=75°；
∵将△APQ绕点A顺时针旋转90°至△AP′Q′，
∴AQ=AQ'，∠QAQ'=90°，
∴∠AQQ'=∠AQ'Q，
∴∠AQQ'=45°．
故答案为：75，45°；
(2)∵∠PAQ=60°，∠BAC=90°，
∴∠CAQ=30°，
∵△APQ绕点A顺时针旋转90°到△AP'Q'，
∴∠QAQ'=90°，QA=AQ'，
∴∠AQQ'=45°，
当Q，Q'，C三点共线时，如图，过C作CH⊥AQ于H．
__
∴∠CHQ=90°，∠CQA=45°，
设CH=QH=x,
则 ，
∴x=1，
∴ ，
∴ ；
(3)如图，连接RP1，当RP1=BP1时，∠B=∠BRP1=45°，
___
∴∠BP1R=90°，
∴∠ARP1=30°，
设AP1=y,
则 ，
∴ ，
∴ ，
当BR=BP2时，由上可知 ，
∴ ，
___
当BR=PR，显然不成立．
综上，AP=2+ -3 或 -1．

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