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浙江省稽阳联谊学校2026届高三下学期4月联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
3.已知抛物线：的焦点为，是上一点，，则
A. B. C. D.
4.设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为( )
A. B. 或
C. D. 或
5.已知是定义在上的奇函数，，且当时，，则的值是( )
A. B. C. D.
6.已知数列的首项，且满足，则的值为( )
A. B. C. D.
7.某无人机在风速为的西风西风是从西面吹来的风中，以的航速沿北偏西方向飞行，则当无风时无人机的航速和航向为( )
A. 航速为，方向为北偏西
B. 航速为，方向为北偏西
C. 航速为，方向为北偏西
D. 航速为，方向为北偏西
8.已知函数在内恰好有个零点，则实数与正整数的值分别为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若随机变量，则
B. 残差平方和越小，模型的拟合效果越好
C. 决定系数越小，模型的拟合效果越好
D. 样本相关系数越接近于，成对样本数据的线性相关程度越强
10.设函数，则下列说法中正确的有( )
A. 在区间上单调递增
B. 函数是奇函数
C. 直线与曲线的公共点个数不相等
D. 直线与曲线有且仅有一个公共点
11.已知四面体的内切球球心为，棱，的中点分别为，，若，，三点共线，则( )
A. 点到的距离等于点到的距离
B. 无法确定，的面积大小关系
C. ，且
D. 四面体的外接球球心恒在直线上
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ．
13.已知等比数列的首项为，若，，成等差数列，则的前项和为 ．
14.已知双曲线，左顶点为，过点作双曲线的两条切线，切点分别为，在的上方，设点，，在轴上的投影分别为，，，直线平分，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，已知，，的面积为．
求的值；
求的值；
求的值．
16.本小题分
某中学数学竞赛培训共开设有代数、平面几何、数论、组合四门课程，要求代数、平面几何都要合格，且数论和组合至少有一门合格才能取得参加数学竞赛的资格现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同见下表，且每一门课程是否合格相互独立．
课程 代数 平面几何 数论 组合
合格的概率
若已知甲同学取得参加数学竞赛的资格，求甲同学四门课程都合格的概率；
记表示三位同学中取得参加数学竞赛的资格的人数，求的分布列及期望．
17.本小题分
如图所示，在四棱锥中，平面平面，，，，是正三角形．
设为与的交点，在棱上，且．
(ⅰ)求证：平面
(ⅱ)求三棱锥的体积
设是棱不含端点上一个动点，若平面与平面的夹角的余弦值是，求线段的长度．
18.本小题分
已知椭圆的左焦点为，直线，动点到的距离与到直线的距离相等．
求点的轨迹方程；
过点作斜率分别为，的直线，，且交于，两点，交于，两点，若直线平行于直线均在的右侧．
(ⅰ)证明：．
(ⅱ)求的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；
设正数满足，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：已知，由正弦定理得
，
，又，则，得，
由，故．
由知，，由余弦定理，则．
，，又，解得，．
因为，，，由正弦定理得，且，则为锐角，故，
故．

16. 分布列
数学期望为
17.证明：，，
，
，，
平面，平面平面；
取的中点，连接，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
取的中点，因为平面，所以，所以，，两两垂直，
所以以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．
所以，，
设平面的法向量为．
由得，取即．
设，，
则，
同理：平面的法向量
设平面与平面的所成角为，
则，解得，
所以，
故线段的长度为．
18.解：设，设点到直线的距离为，
，椭圆的左焦点为的坐标为，
，化简得．
如图，作出符合题意的图形，
法一：设直线，，
直线，，联立方程组，
得，得到，
联立方程组，得，
得到，
，，得到，
所以，
故，，
令，，可得，
得到，．
法二：设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
根据焦半径公式得，可得，
而，得到，
，，得到，
则
，得证．
(ⅱ)由已知得，，
而，
，
结合图形可得，则，
，得，相似于，
得，令，由，得．
又，而
，所以，
解得，．

19. 证明：由知，取，则成立，
令，，，，，，，
所以，，，
以上个式子累加得，
右边得证；令，
在处的切线方程为，
构造函数，
则，
当时，，
所以在上单调递减，
同理，在上单调递增，
所以，
即，
所以，，，
所以，
，，
累加可得
，左边得证．
综上，可得证
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