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江西抚州市临川玉茗高级中学等校2025-2026学年高三下学期模拟考试（二）数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，满足，则下列关系一定正确的是( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，的共轭复数为，则( )
A. B. C. D.
3.高一某班有人，老师对一次数学测试进行了统计分析由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他人的平均分为分，方差后来小亮进行了补考，成绩为分，关于该班成绩，下列说法正确的是( )
A. 平均分不变，方差变大 B. 平均分不变，方差变小
C. 平均分和方差都不变 D. 平均分和方差都改变
4.在中，为边的中点，，则( )
A. B. C. D.
5.已知公差不为的等差数列的前项和为，，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知 、 是双曲线 的左右焦点，点 是其渐近线在第一象限内的一点，直线 与 轴相交于点 ， 是正三角形，则该双曲线的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某校团委对“学生性别和是否喜欢运动的关联性”进行了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生中喜欢运动的人数占男生人数的，女生中喜欢运动的人数占女生人数的，若有的把握，但没有
的把握认为“学生性别和是否喜欢运动有关”，则被调查的男生人数可能为( )
附：，其中．
A. B. C. D.
10.如图，平面图形由等腰直角和直角组成，，分别是边和的中点，现将沿翻折，则下列结论中正确的是( )
A.
B. 若平面平面，则
C.
D. 已知点均在球的表面上，当三棱锥的体积最大时，球的半径为
11.设是函数的三个零点，则( )
A.
B.
C. 若成等差数列，则成等比数列
D. 若成等差数列，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，且，则 ．
13.已知随机变量，若，则 ．
14.已知分别是椭圆的左右焦点，是上异于左右顶点的动点，记内切圆的面积为外接圆的面积为，若的最小值为，则的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角所对边分别为，且满足．
求角的大小；
若，求的面积的最大值．
16.本小题分
如图，在三棱锥中，是边长为的等边三角形，．
证明：平面平面．
求点到平面的距离．
求平面和平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知函数．
若，求曲线在点处的切线方程．
若在区间上单调递减，求的取值范围．
若，且存在两个极值点，证明：．
18.本小题分
已知抛物线：，过抛物线上一点作两条直线，分别交抛物线于，两点，直线，的斜率分别为，，且．
求抛物线的方程．
证明：直线过定点．
记直线经过的定点为，为直线上一点异于点，且满足，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程．
19.本小题分
某研究机构开发了一款智能机器人，该机器人通过交替学习不同技能，，来提升综合能力初始时，机器人选择学习技能，且每次学习后会等可能地选择学习或；每次学习后，有的概率继续学习，的概率学习；每次学习后，有的概率继续学习，的概率学习设，，分别表示第次学习后接着学习技能，，的概率．
若机器人仅进行三次学习，求学习技能次数的分布列及其数学期望；
求及其最大值；
已知，，
若数列的前项和为，证明：．
参考答案
1.
2.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由正弦定理可知，，
交叉相乘后可整理得，
即，，，
又因为在中，，因此可得，即．
由余弦定理可得，，即，
又因为，当且仅当时，等号成立，
因此，故，
即的面积的最大值为．

16.解：证明：如图，取中点，连接，
因为是边长为的等边三角形，为中点，
所以，且．
又因为为中点，
所以，且．
因为，所以，
所以．
又平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面．
由得两两互相垂直，
故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，即
令，则，
故平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离．
由可知，，
设平面的法向量为，
所以，即
令，则，
故平面的一个法向量为，
由知平面的一个法向量为，
所以，
故平面和平面夹角的余弦值为．

17.由题意得，，
而，则，
故曲线在点处的切线方程为．
，
又在区间上单调递减，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
因为函数在上单调递增，
所以，所以，
故的取值范围是．
证明：，
因为存在两个极值点，所以
满足，即，
不妨设，则．
又
则要证，
即证，
又，则，
即证，即证．
设函数，
则，
所以在上单调递减，又，则，
所以，
即得证．

18.；
证明过程见解析；
证明过程见解析，．
19.解：设三次学习中学习技能次数为，则的取值可以为，，
第一次学，第二次学，第三次学，则，
第一次学，第二次学，第三次学，则，
故，
第一次学，第二次学，第三次学，则，
第一次学，第二次学，第三次学，则，
故，
故的分布列为：
故；
已知，
设，又，
所以
因此为等比数列，且公比为，首项为，
故，故，
要使得最大，则为偶数，此时，
此时单调递减，故当时，取到最大值；
证明：，
，
，
，
，
，
所以
，
由于，
所以．

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