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2025-2026学年吉林省通化市梅河口市第五中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.命题“ x∈R，sinx≤ex”的否定为（　　）
A. x∈R，sinx≥ex B. x∈R，sinx＞ex
C. x∈R，sinx≤ex D. x∈R，sinx＞ex
2.已知平面向量=（1，2），=（-2，m），且，则m的值为（　　）
A. 1 B. -1 C. 4 D. -4
3.已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是（　　）
A. B. C. D.
4.函数的图象是（　　）
A. B.
C. D.
5.已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0），若把f（x）的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于点（，0）对称，则ω的最小值为（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6.已知P-ABC是棱长为4的正四面体，则该正四面体的外接球的表面积为（　　）
A. 6π B. 12π C. 24π D. 36π
7.已知△ABC中，，，则此三角形为（　　）
A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形
8.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，m＞0，n＞0，则的最小值（　　）
A. 2
B. 8
C. 9
D. 18
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列命题中正确的是（　　）
A. 棱柱的侧面一定是平行四边形
B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C. 棱锥的各侧面一定有一个公共点
D. 棱台各侧棱的延长线交于一点
10.设是z的共轭复数，下列说法正确的是（　　）
A. B. 若，则|z|=1
C. 若|z1|=|z2|，则 D. 是实数
11.如图，在△ABC中，BC=3，D为BC边上的中点，∠BAD=α，∠CAD=β，且，则（　　）
A. △ABC外接圆的半径为 B.
C. AB AC的最大值为3 D. AD的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.化简= .
13.在△ABC中，点D满足，若对任意t∈R，均有，则cosA的最小值是 .
14.已知△ABC是边长为1的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量，满足，，且与的夹角为.
（1）分别求与的值；
（2）若，求k的值.
16.(本小题15分)
如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到B，在B出测得山顶P得仰角为γ，
（1）若β=15°，求坡面的坡比.（坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值）
（2）求证：山高.
17.(本小题15分)
如图，一块扇形铁皮AOB，半径OA=36厘米，圆心角，现剪下一个扇环ABCD做圆台形容器的侧面，并从剩余的扇形COD内剪下一个最大的圆刚好做容器的下底（圆台下底面大于上底面）.
（1）OC应取多少厘米？
（2）制作这样一个没有上底的圆台形容器需要多少平方厘米的铁B皮？（不计连接处损耗）
18.(本小题17分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别是a,b,c,已知c（2cosC-cosA）=acosC，B≠2C.
（1）证明：△ABC为等腰三角形；
（2）若AB边上的高为，且7cosA=2cosB，求△ABC的周长.
19.(本小题17分)
对于定义域为A的函数y=f（x），如果存在非零常数c, x∈A，f（x+c）≤f（x）+c,那么称函数f（x）具有性质P（c）.
（1）判断函数y1=2x-1，是否具有性质P（1），并说明理由；
（2）设0＜a＜1，证明：函数y=ax-log2x具有性质P（a）；
（3）若函数y=sinx具有性质P（c），求c的取值范围.（参考公式：cos2x=1-2sin2x）
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】ACD
10.【答案】ABD
11.【答案】BC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】1，；
．
16.【答案】（1）解：因为β=15°，
所以坡比为tan15°=tan（45°-30°）===2-，
即坡面的坡比为2-；
（2）证明：△PAB中，∠PAB=α-β，∠BPA=（-α）-（-γ）=γ-α，
所以，即PB=．
所以PQ=PC+CQ=PB sinγ+asinβ=，
即h=．
17.【答案】（1）18cm （2）198πcm2
18.【答案】证明：因为c（2cosC-cosA）=acosC，由正弦定理得：sinC（2cosC-cosA）=sinAcosC，
即2sinCcosC=sinAcosC+cosAsinC，所以sin2C=sin（A+C），
因为A+C=π-B，所以sin2C=sinB，
又因为0＜2C＜2π，0＜B＜π，所以B=2C或B+2C=π，
因为B≠2C，所以B+2C=π，又因为A+B+C=π，得A=C，
所以△ABC为等腰三角形 20
19.【答案】y1=2x-1不具有性质P（1），理由： x=0，使得2（x+1）-1＞2x-1+1成立；具有性质P（1），
理由： x≥0， x+1≤x+1+2 （显然成立），即具有性质P（1） 0＜a＜1时，函数y=ax-log2x具有性质P（a） x＞0，a（x+a）-log2（x+a）≤ax-log2x+a，
即 x＞0，a2+log2x≤a+log2（x+a），可转化为 x＞0，，
因为y=在区间（0，+∞）上随x的增大而减小，所以＞log21=0，
故只需0≥a2-a，又0＜a＜1，所以a2-a≤0，即函数y=ax-log2x具有性质P（a） （0，+∞）
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