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北京市中国人民大学附属中学朝阳学校2025-2026学年下学期期中高二数学试卷
一、单项选择题：本大题共13小题，共65分。
1.已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
2.曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A. B. 1 C. D.
3.袋中有2个黑球、5个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（）
A. 取到的球的个数 B. 取到红球的个数
C. 至少取到一个红球 D. 至少取到一个红球的概率
4.已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（ ）
A. 22.5% B. 30%
C. 40% D. 45%
5.已知函数f(x) =x-ax在区间[1,3]上单调递减, 则实数a的取值范围为( )
A. a1 B. a>1
C. a D. a>
6.函数的部分图象如图所示，是的导函数，给出下列四个结论：
①；
②；
③；
④
其中正确结论的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况：
①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳；
②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳；
③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳.
则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ）
A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93
8.已知函数，，其中，，那么“对任意的实数都有”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.甲、乙两人玩一种扑克游戏,每局开始前每人手中各有6张扑克牌,点数分别为1~6,两人各随机出牌1张,当两张牌的点数之差为偶数时,视为平局,当两张牌的点数之差为奇数时,谁的牌点数大谁胜,重复上面的步骤,游戏进行到一方比对方多胜2局或平局4次时停止,记游戏停止时甲、乙各出牌X次,则P(X=4)=（）
A. B. C. D.
10.已知函数，则（ ）
A. 是周期函数
B. 在上单调递增
C. 存在实数，使得函数的零点恰有4个
D. 若为的一条切线，则
11.有5名同学参加唱歌比赛，若不是第1个出场，且出场顺序相邻，则这5人不同的出场顺序种数为（ ）
A. 36 B. 48
C. 72 D. 120
12.蜜蜂是“天才的数学家兼设计师”，下图是一个蜂巢的部分截面，图中竖直线段表示通道，同一高度的若干通道构成层，斜线与竖线的连接处叫交点．第层有条通道，从左至右依次为第条通道．蜜蜂从入口开始自上向下运动，在每个交点处经由左侧斜线和右侧斜线进入通道的可能性相同．蜜蜂到达第层第通道的不同路径数为．例如：，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
13.已知函数，设，若集合，其中，则符合要求的集合的个数不可能是（ ）
A. 343 B. 63 C. 27 D. 1
二、填空题：本题共7小题，每小题5分，共35分。
14. .(用数字作答)
15.人大附中数学组在中心花园举行节活动，摊位如图所示，标记为号摊位．现要从中选出3个不同的摊位作为“之幸运点”，要求所选摊位的数字编号之和等于14（代表3月14日），则共有 种不同的选法．
16.函数的最小值为 ．
17.已知函数，
（1）函数在上的值域为
（2）过存在 条直线与曲线相切．
18.对于数列：，实施变换得到新数列：，记作；对继续实施变换依次得到新数列，，，，最后得到的数列只有一个数，记作．
（1）对于数列：，则： ；
（2）对于数列：，则 ．
19.已知函数，则 ．
20.“S”型函数是统计分析 生态学 人工智能等领域常见的函数模型，其图象形似英文字母“S”，所以其图象也被称为“S”型曲线.某校生物兴趣小组在0.5毫升培养液中放入5个大草履虫，每隔一段时间统计一次大草履虫的数量，经过反复试验得到大草履虫的数量(单位：个)与时间(单位：小时)的关系近似为一个“S”型函数.已知函数，.的部分图象如图所示，为的导函数.
给出下列四个结论：
①对任意，存在，使得；
②对任意，存在，使得；
③对任意，存在，使得；
④对任意，存在，使得.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题10分)
已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求的单调区间和极值．
22.(本小题10分)
据国家相关部门统计，2023年华东地区、东北地区主要省份的水稻、小麦的播种面积和产量数据见下表：
水稻 小麦
播种面积（千公顷） 产量（万吨） 播种面积（千公顷） 产量（万吨）
华东地区 江苏省 2221.0 2003.2 2389.5 1373.5
浙江省 649.0 485.3 152.6 66.4
安徽省 2500.7 1609.8 2862.7 1740.7
福建省 601.1 394.6 0.1 0.0
江西省 3383.9 2070.7 11.3 3.5
山东省 101.0 86.1 4008.9 2673.8
东北地区 辽宁省 500.5 412.9 2.0 0.8
吉林省 828.8 682.1 5.0 1.7
黑龙江省 3268.5 2110.0 19.3 7.5
(1)从表1中的华东地区随机抽取1个省份，求该省水稻产量比小麦产量少的概率；
(2)从表1的9个省份中随机抽取2个，设为水稻播种面积排在前5名且属于东北地区省份的个数.求的分布列与数学期望；
(3)2023年华东地区、东北地区和华北地区主要粮食作物的播种面积及其采用新技术的播种面积占该作物总播种面积的比值（简称新技术占比率）数据见下表：
粮食作物 播种面积（千公顷） 新技术占比率 粮食作物 播种面积（千公顷） 新技术占比率
华东地区 水稻 9456.7 0.70 小麦 9425.1 0.60
东北地区 水稻 4597.8 0.55 玉米 13800.0 0.65
华北地区. 小麦 3184.5 0.65 玉米 9564.7 0.60
记华东地区和东北地区水稻播种总面积的新技术占比率、华东地区和华北地区小麦播种总面积的新技术占比率、东北地区和华北地区玉米播种总面积的新技术占比率分别为.依据表2中的数据比较的大小.（结论不要求证明）
23.(本小题10分)
已知椭圆的离心率，点在上，直线与椭圆交于两点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当为何值时，为定值．
24.(本小题10分)
已知函数．
(1)求在上的零点个数；
(2)若，都有成立，求实数的值；
(3)对于任意，当时，都存在，使得成立，其中，直接写出的值．
25.(本小题10分)
已知有限数列的项数为，如果满足以下条件：
①；
②；
③，都有．
则称是“阶好数列”．
(1)写出所有的“3阶好数列”；
(2)写出一个“2026阶好数列”，满足条件：④都成立；并验证满足④；
(3)从所有“阶好数列”中随机抽取一个，求抽到的“阶好数列”是等差数列的概率．
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】D
11.【答案】A
12.【答案】D
13.【答案】C
14.【答案】
15.【答案】6
16.【答案】
17.【答案】 ； ； 3
18.【答案】 ； ； ； ； ； ；
19.【答案】2
20.【答案】①②
21.【答案】解：（1）易知，则，又，
则在处的切线方程为；
（2）的定义域为，令得，，
当变化时，的变化情况如下表：
0
↘ 极小 ↗
所以的递增区间为；递减区间为；极小值为，无极大值．

22.【答案】（1）由表格，华东地区6省中只有安徽省、山东省的水稻产量比小麦产量少，
所以华东地区随机抽取1个省份，水稻产量比小麦产量少的概率；
（2）由表格，水稻播种面积最大的5个省依次为江西、黑龙江、安徽、江苏、吉林，
其中华东地区有3个，东北地区有2个，若9个省份中随机抽取2个，
水稻播种面积排在前5名且属于东北地区省份的个数可能值为，
，，，
分布列如下，
0 1 2
所以；
（3）由表格知，，，
所以.

23.【答案】解：（1）依题意知，
，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）
联立，可得，
由，设．
则，
在上，
，
，
若为定值，则与无关，
故需使，解得，此时．

24.【答案】解：（1）因为，所以．
当时，，，所以，
当时，，，所以．
因此在上单调递增．又，，
且在上连续，所以在上存在一个零点．
由于在上单调递增，所以该零点唯一．
故在上恰有一个零点．
（2）令．由题意，，都有．
又，所以是的最小值点．
因为在上可导，所以．
由，得，
解得．下面验证时满足题意．
当时，，．
当时，，，所以，于是在上单调递减．
当时，需证明，即证明．
若，则，且
设，则，
所以是增函数，又，所以，
所以，故；
若，则，
设，则，
所以在时，是增函数，
又，所以，故仍有．
所以当时，，于是在上单调递增．
综上，在上单调递减，在上单调递增，所以．
因此，都有，即符合题意，
综上，实数的值为．
（3）先求在上的值域．因为，，
所以，故的值域包含于．
下面证明中的每一个数都可以作为的函数值．
设．若，由第（1）问可知，在上单调递增，
且，当充分大时，，
所以存在，使得．
若，则．取足够大的正整数，使得．
令，，则，
且，，
构造函数，由已知得，，
由零点定理得，存在，使得，即。
所以在上的值域为．
当时，有，于是．
反过来，对任意，都有，
由的值域可知，存在，使得．
因此记，则．
题设等价于对任意，都有．
当时，的取值范围为．
要使，不能出现内的数，所以必须有．
当时，的取值范围为．
要使，也不能出现内的数，
所以必须有，即，由且，得．
当时，若，则，属于；
若，则，也属于．所以满足题意．
综上，．

25.【答案】解：（1）；；；.
（2）存在：，即为奇数时，；
为偶数时，；
条件④的验证：当为奇数时，，，，，，成立；
当为偶数时，，，，，，
成立；
所以存在数列：，符合题意．
（3）先证明条件③等价于恒成立，
若③成立，令，则；
若，都有成立，
则时，，
因此条件③等价于“，都有成立”．
设项数为的“好数列”的总个数为，所以，下面我们来求．
因为是的一个排列，考虑在数列中的位置，设，
（i）因为，则，则，
同理可求出；
（ii）因为，则自然成立，由（ i）知，，
因此是一个“阶好数列”，其总个数为；
所以当时，“阶好数列”有个；
当时，“阶好数列”的个数为1；
根据上述讨论，，同理，都有，
设前项和为，则，所以，
作差可得当，，即，又，且，
所以是以1为首项，2为公比的等比数列，则，所以．
“阶好数列”中的等差数列显然只有和这两种，
所以所求概率为．

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