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北京市第十九中学2025-2026学年第二学期期中练习高二数学
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知等差数列中，，，则（ ）
A. 13 B. 16 C. 15 D. 14
2.下列导数式子正确的是（　　）
A. （cosx）'=sinx B. C. （e-x）'=e-x D.
3.已知为4与9的等比中项，则的值为（ ）
A. 6 B. -6 C. D. 36
4.已知函数的导函数的图象如图所示，则的极小值点为（ ）
A. 和 B. C. D.
5.等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为（ ）
A. -24 B. -3 C. 3 D. 8
6.如图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．图（1）中阴影三角形的个数为1，记为a1，图（2）中阴影三角形的个数为3，记为a2，以此类推，a3=9，a4=27，…，数列{an}构成等比数列．设{an}的前n项和为Sn，若Sn=an+40，则n=（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7.已知函数的图象如图所示，则可以为（ ）
A. B. C. D.
8.已知数列为等比数列，其前n项和为，，则“公比”是“对于任意，”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数，设实数m满足：存在，使直线是曲线的切线，且对恒成立，则m的最大值为（ ）
A. B. C. D. 1
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.曲线在x＝1处切线的斜率为 ．
12.在等比数列{an}中，a1+a3=10，a2+a4=-5，则其前5项的和S5的值为 .
13.已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1．若为等差数列，则a5＝
14.Logistic增长模型描述了受资源限制的种群增长规律，广泛应用于生物学等领域.该模型的数学表达式为，其中P（t）表示t时刻的种群数量，M为环境的最大承载容量（种群数量的上限），P0为初始时刻的种群数量，r为种群的内禀增长率（与繁殖率、死亡率相关），r＞0.
①若，，则初始时刻生物种群的增长速度是 ；
②若，则当种群数量达到环境的最大承载容量一半时，生物种群的增长速度是 .（用M，r表示）
15.已知数列满足，该数列的前项和为.给出下列四个结论：
①；
②；
③非零常数，对都有；
④，都有.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共4小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题15分)
已知正项等比数列的前项和为，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和.
17.(本小题20分)
已知函数f(x)=+-6x-3.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)设x[-3,3],求f(x)的最值.
18.(本小题20分)
已知函数，其中且.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)当时，证明函数在定义域内有且只有一个零点.
19.(本小题20分)
如果数列对任意的，则称为“速增数列”.
(1)判断数列是否为“速增数列”？说明理由；
(2)若数列为“速增数列”，且任意项，求正整数的最大值；
(3)已知项数为的数列是“速增数列”，且的所有项的和等于，若，证明：.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】

15.【答案】①④
16.【答案】解：（1）设的公比为（），
因为，且，，成等差数列，
所以，即，解得，
所以；
（2）由（1），
．

17.【答案】解：（1）f（x）的定义域为R，，
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-2，令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，-2）和（1，+∞）上单调递增，在（-2，1）上单调递减；
（2）由（1）知f（x）的极大值为，极小值为，因为，
所以f（x）的最大值为，最小值为 .
18.【答案】解：（1）当时，，，
，
所以切线方程为，即.
（2），
当时，需，
令，
所以在上单调递增，在单调递减；
当时，需，
若，则，在上单调递减；
若，则令，
此时当时，，单调递增；当时，，单调递减，
综上，
当时，在上单调递增，在单调递减；
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在单调递减.
（3）由（2）可得当时，在上单调递减，
若函数在定义域内有零点，则必唯一，因此只需证明存在零点即可.
取，则，
因为，，所以，
取，则，
因为，，，所以，
由零点存在定理可知在上有且只有一个零点.得证.

19.【答案】解：（1）因为，则，
又，故，数列是“速增数列”.
（2），
因为，且数列为“速增数列”，所以.
当时，，
即，
当时，，当时，，
故正整数k的最大值为.
（3），故，即；
，故，
即，
同理可得：，
故，
所以，所以，得证.

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