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广东广州增城中学、协和中学、华侨中学三校联考2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.在一次高台跳水比赛中，某运动员在运动过程中重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为（ ）
A. B. C. D.
2.已知从甲地直接到丙地有2条路线可以选择，另外还可以由甲地经乙地中转到丙地，由甲地到乙地有3条路线可供选择，从乙地到丙地有4条路线可供选择，则从甲地到丙地不同的路线共有（）
A. 9条 B. 14条 C. 20条 D. 24条
3.已知，若成等比数列，则实数的乘积的值为（ ）
A. B. C. D.
4.已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示.下列关于函数的结论不正确的有（）
0 3 4 5
1 2 0 2 1
A. 函数的极大值点有2个
B. 函数在是减函数
C. 对任意
D. 当时，函数有4个零点
5.若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
6.汽车在道路上每行驶100千米平均燃料消耗量（单位：升）称为百公里油耗，已知某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：.当该型号汽车以（ ）的速度匀速行驶时，百公里油耗最低.
A. 60千米/小时 B. 80千米/小时 C. 90千米/小时 D. 100千米/小时
7.在的棋盘中，放入颗黑子和颗白子（棋子除颜色不同，其他完全相同），它们均不在同一行且不在同一列，共有（ ）种不同的放法.
A. B. C. D.
8.已知函数.设和的零点分别为和，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则下列各项也为定值的有（ ）
A. B. C. D.
10.已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（ ）
A. B. 只有第3项的二项式系数最大
C. 若，则展开式中常数项为15 D. 若展开式中各项系数之和为64，则
11.已知函数，直线，则下列说法正确的是（ ）
A. 若的极大值点为，则
B. 若在区间上为单调函数，则
C. 当时，曲线恒在直线的下方
D. 若点是曲线上任意一点，点是直线上任意一点.设点间的距离为，则当时，的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在点处的切线方程为 .
13.6名学生参加数学竞赛，决出第1名到第6名的名次（没有同分或者并列的情况）.甲、乙两名参赛者去询问成绩，老师对甲说：“你和乙既不是第1名，也不是第6名”，对乙说：“你和甲的名次相邻”.从这个回答分析，6人的名次排列共可能有 不同的情况.（用数字作答）
14.已知数列的前n项积为，，，则 （用阶乘表示）；若数列的前n项和为，且恒成立，则m的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列的前项和为，且，数列为正项等比数列，且.
(1)求和的通项公式；
(2)求的前项和.
16.(本小题15分)
已知在处取得极值.
(1)求实数的值，并求出的极值；
(2)求在上的最值.
17.(本小题15分)
设甲袋中有3个白球 2个红球和5个黑球，乙袋中装有3个白球 3个红球和个黑球（），这些球除颜色外完全相同.已知从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为.
(1)求的值；
(2)若依次从甲袋中取出两球，在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率；
(3)若先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，求从乙袋取出的是白球或黑球的概率
18.(本小题17分)
教材中介绍牛顿用“切线法”求方程的近似解时，给出一个数列，满足，这个数列被称为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，，且数列满足
(1)求和；
(2)证明数列是等比数列，并求；
(3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
19.(本小题17分)
已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，设.
（i）证明：存在唯一极小值；
（ii）设的极小值点为，证明：.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】BC
10.【答案】AC
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】 ； ； ； ； ； 2
15.【答案】解：（1）当时，.
当时，，也符合上式，所以.
设正项等比数列的公比为，则，又，
所以，即，解得，
所以.
（2）设的前项和为，
所以.
.

16.【答案】解：（1）易知的定义域为，，因为在处取得极值，
所以，解得，则，
当或时，，当时，，
即在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以是的极大值点，是的极小值点，
故符合题意，，且极大值为，极小值为.
（2）由（1）知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，又，，
所以在上的最小值为，最大值为.

17.【答案】解：（1）由从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为，得，
所以.
（2）从甲袋中取出两球，事件“第一个球是白球”，事件“第二个球是红球”
则，，，
所以在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率为.
（3）从甲袋中取出一个球是白球、红球、黑球的事件分别为，从乙袋取出的是白球或黑球的事件为，
则，，
由全概率公式得，
所以从乙袋取出的是白球或黑球的概率.

18.【答案】解：（1）因为，，
所以，
又，则，
又，所以，.
（2）由（1）知，则，
所以，
故（非零常数），且，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
故.
（3）由（2）知，则，由，得到，
即，也即，
令，则，
当时，，所以时，数列单调递减，且，
又不等式对任意恒成立，
所以当为奇数时，恒成立，所以，得到，
当为偶数时，恒成立，所以，
综上所述，实数的取值范围为.

19.【答案】解：（1）当时，函数的定义域为，求导得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数的递减区间为，无递增区间；
当时，函数的递减区间为，递增区间为.
（2）（i）当时，的定义域为，
求导得，令，
求导得，函数在上单调递减，，
存在，使得，则当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，因此存在唯一极小值点，
所以函数存在唯一极小值..
（ii）由（i）得，，由，得，，
函数在上单调递增，则
，
令函数，由函数在上都单调递减，
得函数在上单调递减，因此，即，
所以.

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