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江苏扬州市高邮市2025-2026学年第二学期高二期中学情调研测试数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设，向量，且，则（ ）
A. 5 B. 1 C. -1 D. -5
2.若=20,则n=( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3.已知函数，则（ ）
A. 2 B. 0 C. -1 D. 1
4.已知，若不能构成空间的一个基底，则（ ）
A. B. C. D.
5.有五名同学排成一排，其中甲、乙两人不能在一起的排法数是（）
A. 120 B. 72 C. 36 D. 12
6.设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，正方体的棱长为1，若平面，且满足，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
8.已知为定义在上的奇函数，为其导函数，当时，，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知为正整数，且，则下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数，则（ ）
A. 当时，的单调减区间为
B. 当时，对任意，都有
C. 当时，在上的值域为
D. 若有三个不同的零点，则
11.如图，在长方体中，，点为四边形内部（不含边界）的一个动点，且平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 点到棱中点的距离为定值
C. 与平面所成角的正切值为4时，
D. 的最小值为14
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则在上的投影向量为 .（用坐标表示）.
13.已知函数在处取得极大值，则实数的值为 .
14.若存在使得成立，则的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点.
(1)设，试用向量表示；
(2)求线段的长度.
16.(本小题15分)
某植物园大门有编号共5个检票口，现有一行6人需进园游玩.
(1)若每人随机选择一个检票口进园，则6人共有多少种不同的选择方法？（用数字作答）
(2)若6人中有一老人需由家人A陪同进园，所有人随机选择检票口，且每个检票口均有人选择，则6人共有多少种不同的选择方法？（用数字作答）
(3)若6人均在1号检票口排队依次进园，其中两个小孩既不能排在队首，也不能排在队尾，则6人共有多少种不同的进园方法？（用数字作答）
17.(本小题15分)
已知函数，曲线在处的切线方程为.
(1)求实数的值；
(2)函数的导函数为，求函数在区间上的最小值.
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面.
(1)求证：；
(2)已知点为线段上的动点（不与重合），
①当点为线段的中点时，求直线与平面所成角的余弦值；
②当平面与平面的夹角最小时，试确定点的位置.
19.(本小题17分)
已知.
(1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
(2)讨论函数是否存在极值点？若存在，求出极值点；若不存在，说明理由；
(3)当时，求证：.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】BC
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】2
14.【答案】
15.【答案】解：（1）
.
（2）依题意，，
则
.

16.【答案】解：（1）依题意，每人均有5种选法，由分步乘法计数原理知，共种选法.
（2）依题意，将老人和家人A视为一个整体与另外4人排列，共有种选法.
（3）依题意，将两个小孩先排在中间任意两个位置上，有种；
再将剩余4人任意排在其余4个位置上，有种，
由分步乘法计数原理知，共有种排法.

17.【答案】解：（1）由题知，
则，得，
，将点代入切线方程得，
故.
（2）由（1）知，令，
令，得或，
①当时，若，，单调递减，
故函数在区间上的最小值为；
②当时，若，，单调递减，
若，单调递增，
故函数在区间上的最小值为；
综上，当时，的最小值为；
当时，的最小值为.

18.【答案】解：（1）平面平面，四边形为正方形，
，
如图，以为正交基底建立空间直角坐标系，
则，
，
.
（2）①为的中点，，
，
∵平面的一个法向量为，
，
∴直线与平面所成角的正弦值为，
∴直线与平面所成角的余弦值为.
②设，
，
设平面的一个法向量为，
，
，，，
，取，则，
∴平面的一个法向量为，
，
设平面与平面的夹角为，
则，
要使夹角最小，即最大，需要分母最小，当，
即时，平面与平面的夹角余弦值最大，
即平面与平面的夹角最小，此时为的中点.

19.【答案】解：（1）由题意知：对恒成立，
即，由于在区间上为增函数，
则，故解得.
（2）由（1）知，
①当时，恒成立，在上单调递增，无极值；
②当时，令，得，
0
单调递减 极小值 单调递增
此时，函数在处取得极小值，无极大值
综上所述，当时，无极值点；
当时，函数的极小值点为，无极大值点.
（3）法一：由（2）知，当时，，则，
即，即，，
所以要证，只要证，
也即证，设，
则在区间恒成立，
所以在区间上为增函数，则，故原不等式成立.
法二：当时，，命题成立；
当时，要证，
只要证，也即证，
由（2）知，当时，，
则，即，得，
也即证，则，
令，当时，
可得恒成立，
则在区间上为减函数，所以，即，
所以在区间上为减函数，
则，故原不等式成立.
法三：由（1）知，当时，在区间上单调递增，
则，即，
所以要证，只要证，也即证，
设，则，
因为函数在上均为增函数，故函数在是增函数，
因为，
由零点存在性定理可知存在，使.
故时，，则在上为减函数，
当时，，则在上为增函数，
因为，
所以时，，故原不等式成立.

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