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广东东莞市第十三高级中学等校2025-2026学年第二学期期中质量检测试卷高一年级数学科试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.复数的虚部是（ ）
A. 1 B. C. 3 D.
2.已知向量=（t+1，-2），=（4，t），且⊥，则t=（　　）
A. -3 B. C. -2 D. 2
3.已知的内角A，B，C的所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 2或4
4.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，在中，，，若，则
A. B. C. 3 D.
6.已知一个圆锥的底面半径为，其体积为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
7.一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶, 如图, 到A处时测得公路北侧一铁塔底部C在西偏北的方向上,行驶200m后到达B处, 测得此铁塔底部C在西偏北的方向上, 塔顶D的仰角为, 则此铁塔的高度为( )
A. m B. 50m C. 100m D. 100m
8.《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列命题中为真命题的有（）
A. 圆柱的侧面沿一条母线展开，则展开图是一个矩形
B. 用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台
C. 棱柱的侧面都是菱形
D. 四面体是棱锥
10.若复数z满足(2+i)z=4-3i(其中i为虚数单位),则下列说法正确的是（）
A. z在复平面内对应的点位于第四象限 B. z=5(是z的共轭复数)
C. =5-4i D. 若|=2,则-z|的最大值为+2
11.已知非零向量，满足，则（ ）
A. ，的夹角为
B.
C. 若，，则的外接圆半径长为
D. 若，向量满足，则的最大值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，，，且A，B，C三点共线，则实数k的值 .
13.一个圆柱的内切球的表面积为16π，则这个圆柱的体积为 .
14.在中，内角所对的边分别为．已知，的面积为，则的最小值为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位．
（1）求的值；
（2）记复数，求复数的模．
16.(本小题15分)
在△ABC中，2ccosC=bcosA.
（1）求∠C；
（2）若b=6，且△ABC的面积为6，求△ABC的周长.
17.(本小题15分)
如图是一个正四棱台的石料，上 下底面的边长分别为和，高.
(1)求四棱台的体积和侧面积；
(2)若某同学动手能力强，想要将这块石料补全为一个如图所示的胡夫金字塔的模型，那么他至少需要准备多少的水泥.
18.(本小题17分)
已知向量，满足，，与的夹角为．
(1)求；
(2)，，求的值；
(3)若在方向上的投影向量为，求的最小值．
19.(本小题17分)
在△ABC中，角，，的对边分别为，，．且满足．
(1)求角的大小；
(2)若的面积，内切圆的半径为，求；
(3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值．
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】AD
10.【答案】ABD
11.【答案】BCD
12.【答案】
13.【答案】16π
14.【答案】6
15.【答案】(1)
解：知是关于的方程的一个根，
所以，即，
所以，解得.
所以.
(2)
解：由（1）得复数，
所以,
所以复数的模为.

16.【答案】解：（1）由题意结合正弦定理可得
，
因为sinC＞0，
所以，
可得；
（2）由b=6，且△ABC的面积为6，
可得，
解得，
由余弦定理可得
，
可得，
所以△ABC的周长为．
17.【答案】解：（1）由题意，四棱台的体积为：
；
分别取中点，连接，作,交于点,
因为正四棱台侧面是全等的等腰梯形，
则，
可得，
所以四棱台的侧面积.
（2）延长交于点，
可知，则，
可得，
所以该同学还需要准备至少的水泥.

18.【答案】解：（1）因为，，与的夹角为，
所以；
（2）因为，
，
，
所以.
（3）在方向上的投影向量为，
所以，
当时，的最小值为．

19.【答案】解：（1）由，
由正弦定理得，而，则，
所以，，则；
（2）由题可知，化简得，
由余弦定理知，即，
所以，解得.

（3）因为的面积为
，
所以.
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，所以，即，
所以的面积，
当且仅当时，的面积取得最小值，最小值为.


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