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2025-2026学年吉林省长春市第八十七中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一元二次方程3x2-x-2=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A. 3，-1，-2 B. 3，1，-2 C. 3，-1，2 D. 3，1，2
2.下列四组线段中，是成比例线段的一组是（　　）
A. a=1，b=2，c=4，d=6 B. a=4，b=6，c=6，d=8
C. a=5，b=6，c=7，d=10 D. a=1，，，
3.一元二次方程x2-5x+6=0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是（　　）
A. x1+x2=-5 B. x1x2=6 C. x1x2=5 D. x1+x2=6
4.如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB⊥BC，∠A=80°，∠D′=55°，则∠C的度数为（　　）
A. 115°
B. 120°
C. 125°
D. 135°
5.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB=3，BC=4，EF=8，则DF的长为（　　）
A. 9 B. 3 C. 5 D. 14
6.如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使美化后整个图形的面积恰好是原画面面积的2倍，若设彩纸的宽度为x cm,根据题意可列方程（　　）
A. （30+x）（20+x）=600
B. （30+2x）（20+2x）=600
C. （30-2x）（20-2x）=1200
D. （30+2x）（20+2x）=1200
7.如图是“小孔成像”示意图，保持蜡烛与光屏平行，测得点O到蜡烛、光屏的距离分别为10cm,6cm.若CD长为2cm,则AB长为（　　）
A. B. 2cm C. D.
8.如图，已知△ABC，∠B=60°，AB=6，BC=8.将△ABC沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（　　）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.若，则= .
10.若x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解，则3a+6b的值为 .
11.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”便是如此.若某人满足上述黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为100cm,则其身高约是 厘米.（精确到1cm）
12.如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，C都在格点上，点B是线段AC与网格线的交点，则AB的长为 .
13.如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连接AC、DE交于点F.若，则 = .
14.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点M，N是边AD，AB上任意两点，将菱形ABCD沿MN翻折，点A恰巧落在对角线BD上的点E处，下列结论：
①△MED∽△ENB；②若∠DME=20°，则∠ENB=100°；③若DE：BE=1：2，则AM：AN=1：2； ④若菱形边长为4，M是AD的中点，连接MC，则线段MC=2，
其中正确的结论有：______（填写所有正确结论的序号）
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
用适当的方法解方程：
（1）4x2=9；
（2）x（x-3）=5（x-3）；
（3）x2-2x+1=0；
（4）6x2-7x+1=0.
16.(本小题5分)
已知关于x的一元二次方程2x2-5x-m=0（m为常数）.
（1）当m=3时，求该方程的实数根；
（2）若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围.
17.(本小题5分)
如图，在△ABC和△ADE中，已知，∠BAD=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE.
18.(本小题6分)
2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注.某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元.
（1）求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率；
（2）该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？
19.(本小题7分)
如图，小明同学用自制的直角三角形纸板△DEF（EF⊥DE）测量树的高度AB.他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=40cm,EF=20cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5m,CD=8m,求树高AB的长.
20.(本小题7分)
如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F.
（1）证明：△AFD∽△DCE；
（2）若AB=3，AD=2，CE=1，则点A到直线DE的距离为______.
21.(本小题7分)
如图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上.
（1）在图①中的AB边上找到一点D，连结CD，使∠ACD=∠A；
（2）在图②中的AB边上找到一点E，连结CE，使∠BCE=∠A；
（3）在图③中的AC边上找到一点F，连结BF，使∠CBF=∠A.
22.(本小题7分)
如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门.
（1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为______米；
（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽；
（3）建成花圃的面积可能为60m2吗？请说明理由.
23.(本小题10分)
【初步感知】
（1）如图1，AD是△ABC的中线，点E在AC边上，且，连接BE交AD于点G，过点D作DH∥AC交BE于点H，则的值为______；
【尝试应用】
（2）如图2，在△ABC中，点D为AC边上一点，且AD=AB，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，延长AE交BC边于点F.若AD=6，CD=2，AF=5，求AE的长；
【问题解决】
（3）如图3，某市有一处形状为 ABCD的物流中心，现计划在BC边上设立一处装卸点E，点E为BC边的中点，并在CD边上找一点F，设立一个仓库，使得，沿AE、BF铺设两条水泥路，连接AC，BF与AE、AC分别交于点G、M，并在点G、M处设立临时中转站，请你帮助工作人员求出的值.（水泥路宽度及中转站、装卸点、仓库大小均忽略不计）
24.(本小题12分)
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，BC=10，点P在边AC上，点Q在边BC上，且AP=CQ，连接PQ，以PQ为斜边作等腰直角△PQR（∠PRQ=90°），使点R与点C在直线PQ的同侧.
（1）AC边的长为______.
（2）当点P为AC中点时，求点Q到直线AB的距离；
（3）当点R在△ABC的边上时，求AP的长；
（4）当点P到直线BC的距离是点R到直线BC的距离的3倍时，直接写出AP的长.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】
10.【答案】-3
11.【答案】162
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】①②④
15.【答案】 x1=3，x2=5 x1=x2=1
16.【答案】解：（1）∵m=3，
∴原方程可化为2x2-5x-3=0，
∴(2x+1)(x-3)=0
∴解得：x1=-，x2=3，
∴当m=3时，该方程的实数根为x1=-，x2=3；
（2）∵关于x的一元二次方程2x2-5x-m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=（-5）2-4×2×（-m）＞0，
解得：m＞-，
∴m的取值范围为m＞-．
17.【答案】∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE，
即∠DAE=∠BAC，
∵，
∴△ABC∽△ADE．
18.【答案】这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为25% 不能实现目标
19.【答案】解：∵∠DEF=∠BCD=90°∠D=∠D，
∴△DEF∽△DCB．
∴=．
∵DE=40cm=0.4m,EF=20cm=0.2m,AC=1.5m,CD=8m,
∴=．
∴BC=4米，
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5（米）．
答：树高为5.5米．
20.【答案】∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB，BC=AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠C=90°，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=∠C=90°，
∴∠DAF+∠ADF=90°，∠ADF+∠CDE=90°，
∴∠DAF=∠CDE，
∴△AFD∽△DCE；

21.【答案】见解析；
见解析；
见解析．
22.【答案】（24-3x）
23.【答案】3
24.【答案】6 或 或
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