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2025-2026学年山东省济南市历下区七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图标中是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.学校开展“寻找谷雨”实践活动，设有“做香椿饼”、“品谷雨茶”、“赏牡丹花”三项活动，小夏同学随机选择一项参加，“品谷雨茶”被选中的概率为（　　）
A. B. C. D. 1
3.下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A. 任意翻开数学书的某页，这页的页码是偶数
B. 任取两个正整数，其和大于1
C. 打开电视机，某频道正在播放新闻联播
D. 2026年8月，趵突泉水位创同期历史新高
4.如图，在Rt△ABC中，BC=3，∠C=90°，点D是边AC上的任意一点，则BD的长度不可能是（　　）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
5.如图，AB∥CD，∠A=55°，∠C=90°，则∠E的度数是（　　）
A. 35°
B. 45°
C. 55°
D. 65°
6.如图是某木质屋顶结构的外框示意图，其中AB=AC，BC为横梁，AD为竖梁，且点D在BC上.在安装竖梁AD时，只需测量BD=DC，即可确定AD垂直于BC.这一操作的数学依据是（　　）
A. 垂线段最短
B. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等
C. 等腰三角形“三线合一”
D. 三角形具有稳定性
7.小明在验证三角形三个内角的和等于180°时，撕下∠2，使其顶点与∠1的顶点重合，一条边与∠1的一条边重合.如图是操作和证明过程，则相应依据正确的是（　　）
解：由操作可知∠C=∠2，
根据“（①）”，
所以AD∥BC.
根据“（②）”，
所以∠DAB+∠B=180°.
A. ①两直线平行，内错角相等；②同旁内角互补，两直线平行
B. ①内错角相等，两直线平行；②同旁内角互补，两直线平行
C. ①内错角相等，两直线平行；②两直线平行，同旁内角互补
D. ①两直线平行，内错角相等；②两直线平行，同旁内角互补
8.如图，正方形网格中有一个格点三角形OPQ（即三角形的顶点都在格点上）.若△OPQ≌△OMN，则点N应是图中的（　　）
A. 点A
B. 点B
C. 点C
D. 点D
9.如图，在△ABC中，已知点D，E，F，G分别是线段AC，CF，BG，DE的中点.若△EFG的面积为2，则△ABC的面积为（　　）
A. 12
B. 16
C. 24
D. 28
10.图1是光的反射现象：一束光线射向镜面后被反射，此时∠1=∠2.如图2，若一束光线射向一组镜面，经三次反射后的反射光线DE与入射光线AB平行，则∠α与∠β的数量关系是（　　）
A. ∠α+∠β=180° B. ∠β-∠α=90°
C. 3∠α=∠β D. 3∠α+2∠β=360°
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.在△ABC中，a=1，b=5，若第三边c的长度是整数，则c= .
12.如图，一个被分成3个扇形的转盘，其中红、黄、蓝扇形的圆心角度数分别为180°和120°和60°，转动转盘，停止后指针落在蓝色区域的概率是 .
13.如图，一张四边形纸片ABCD，∠A=110°，∠C=130°.若将其沿EF折叠后，恰好使EG∥AD，FG∥DC，则∠B= 度.
14.如图，△ABC的两条高AD，CE相交于点F.连接BF并延长交AC于点G，若AB=8，AC=10，CE=6，则BG= .
15.如图，在△ABC中，∠BAC=110°，点M，N分别为边AB，AC垂直平分线上的动点，连接AM，AN，MN，当△AMN周长最小时，∠MAN= 度.
三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
一个角的补角比这个角的3倍多20°，求这个角是多少度.
17.(本小题7分)
对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下：
随机抽取的乒乓球数 200 400 600 800 1000
优等品数 186 340 534 721 900
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m=______；
（2）若购入了此批乒乓球300个，请计算优等品约为多少个.
18.(本小题7分)
如图，AC∥DF，AC=DF，BE=CF.△ABC和△DEF全等吗？请说明理由.
19.(本小题8分)
如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形ABC（即三角形的顶点都在格点上）.
（1）在图中作出△ABC关于直线l的对称图形△A1B1C1；
（2）若格点P到点A，C的距离相等（即PA=PC），则网格中满足条件的P点共有______个；
（3）在直线l上找一点Q，使QB+QC的值最小，请借助网格在图中标出点Q的位置.
20.(本小题8分)
小宇同学在练习书法时发现汉字“九”笔画间的走势十分规整，便拿出直尺和铅笔，把“九”字抽象成了几何图形.如图AB∥DE，CD∥EF，∠1=∠F.
求证：DE∥GF.
21.(本小题9分)
如图1是某车的侧面示意图，折线段ABC表示后备箱车后盖（可如图打开），过点A作地面的垂线段AO，车后盖的BC边与AO平行.如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在AB'C'处，∠ABC=∠AB'C'=140°，AC'与地面MN平行，∠C'=20°，求车后盖打开角∠BAB'的度数.
22.(本小题10分)
为巩固数学知识、提升实践操作与解决实际问题的能力，小明按如下方式测量旗杆高度AB：将旗杆顶部A处的绳子拉直至地面C点，使B，C两点间距离等于小明直立时眼睛的离地高度；在C处放置直角三角板OMN，让直角顶点O与C点重合，边OM与绳子AC重合.随后小明后退，当看到点N，O共线时（即N，O，E共线），停在D点.
（1）小明认为CD的长等于旗杆高度AB，你认同他的观点吗？请说明理由.
（2）若DE=1.7米，DB=16米，求旗杆高度AB.
23.(本小题10分)
一个不透明的盒子中装有9个形状和大小完全一样的乒乓球，分别标有1到9九个数字，小颖和小明同学进行摸球游戏.
（1）从盒子中任意摸出1个乒乓球，标有的数字是奇数的概率是多少？
（2）游戏规则：小明从盒子中任意摸出1个乒乓球，若乒乓球上标有的数字是2的倍数则小明获胜，否则小颖获胜.这个游戏公平吗？请说明理由；
（3）现将9个乒乓球分别放入甲、乙两个不透明的盒子中，甲中放入标有1到5数字的乒乓球，乙中放入标有6到9数字的乒乓球.游戏开始后，小颖从甲或乙盒子中任意摸出一个乒乓球，再将乒乓球上的数字x输入下列程序中，若输出数字大于5可获得奖励，请帮她计算选择哪个盒子获得奖励的概率更大.
24.(本小题12分)
角是常见的轴对称图形，角平分线所在直线就是它的对称轴，数学课上同学们对角平分线的作法展开了研究.
课本学习 数学工具 操作探索
图1
图2
图3
【作图步骤】
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；
②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB内相交于点C；
③作射线OC，射线OC就是∠AOB 的平分线. 【工具介绍】
仪器QDPE是一个角平分仪，其中QD=QE，DP=EP.
【操作步骤】
①将角平分仪的顶点Q与∠AOB的顶点O重合；
②调整角平分仪，使点D落在边OA上，点E落在边OB上；
③沿QP作一条射线，交AB于点L，OL即为△AOB的角平分线. 【工具介绍】
把两个全等的含∠AOB的△OEH和△OFG按如图所示放置.
【操作步骤】
①将等角∠GOF与∠HOE重合后放置在∠AOB的顶点O处，边OE，OG落在边OA上，边OH，OF落在边OB上；
②标记边HE与GF的交点为P，作射线OP，则射线OP即为∠AOB的平分线.
（1）如图1，射线OC是∠AOB的平分线的依据是______；
A.SAS
B.ASA
C.SSS
D.AAS
（2）如图2，小明使用角平分仪作△AOB的角平分线QL，过点L作LK⊥AB于点K，若LK=4，OA=6，求△QAL的面积；
（3）如图3，小明受到启发后研究了一种角平分线的作法.此时射线OP是否为∠AOB的平分线？请说明理由.
25.(本小题12分)
如图，有两个全等的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形FDE，其中△FDE的顶点D与△ABC的斜边中点重合，AB=2.将△FDE绕点D顺时针旋转，边DF与边AB交于点M，边DE与边BC交于点N，连接MN.
（1）点D到BC的距离是______；
（2）在△FDE的旋转过程中，
①请判断△DMN的形状，并说明理由；
②求△MNB面积的最大值.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】5
12.【答案】
13.【答案】60
14.【答案】4.8
15.【答案】40
16.【答案】40度．
17.【答案】0.9 270个
18.【答案】△ABC和△DEF全等．
利用如下：∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠F，
∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，
即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
19.【答案】如图，△A1B1C1即为所求 5； 如图，点Q即为所求
20.【答案】∵AB∥DE，CD∥EF，
∴∠1+∠D=180°，∠D=∠E，
∴∠1+∠E=180°，
∵∠1=∠F，
∴∠F+∠E=180°，
∴DE∥GF．
21.【答案】70度．
22.【答案】我认同小明的观点，
理由：由题意得：AB⊥DB，ED⊥BD，
∴∠ABC=∠EDC=90°，
∴∠BAC+∠ACB=90°，
∵∠ACE=90°，
∴∠ACB+∠ECD=180°-∠ACE=90°，
∴∠BAC=∠ECD，
∵BC=ED，
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴AB=CD 14.3米
23.【答案】 这个游戏不公平；理由如下：
∵1到9九个数字中有4个数为2的倍数，
∴小明获胜的概率=，
∴小颖获胜的概率=，
∵＜，
∴这个游戏不公平 乙盒
24.【答案】C 12 射线OP是∠AOB的平分线，理由如下：
∵△OEH≌△OFG，
∴OE=OF，OH=OG，∠OEH=∠OFG，
∴OE-OG=OF-OH，
即GE=HF，
又∵∠GPE=∠HPF，
∴△GPE≌△HPF（AAS），
∴PE=PF，
在△OPE和△OPF中，
，
∴△OPE≌△OPF（SSS），
∴∠POE=∠POF，
即OP是∠AOB的平分线
25.【答案】1 ①△DMN是等腰直角三角形，理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，点D是斜边AC的中点，
∴BD⊥AC，，∠DBN=∠A=45°，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADM+∠BDM=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠BDN+∠BDM=90°，
∴∠BDN=∠ADM，
∴△BDN≌△ADM（ASA），
∴DN=BM，
∴△DMN是等腰直角三角形；②
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