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2025-2026学年山东省烟台市招远市八年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　）
A. 2 B. -2 C. ±2 D.
2.下列计算正确的是（　　）
A. B. C. D.
3.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（　　）
A. 测量对角线是否相互平分 B. 测量两组对边是否分别相等
C. 测量对角线是否相等 D. 测量其中三个角是否都为直角
4.下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
5.若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（　　）
A. 2 B. 0 C. -2 D. -4
6.如图，点E、F、G、H分别是四边形边AB、BC、CD、DA的中点，如果BD=AC，四边形EFGH的面积为24，且HF=4，则线段EG的值为（　　）
A. 3
B. 6
C. 8
D. 12
7.已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|a|+的结果为（　　）
A. 1 B. -1 C. 1-2a D. 2a-1
8.如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A′处，A′D交BC于点E.将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C′处，下列结论一定正确的是（　　）
A. ∠1=45°-α
B. ∠1=α
C. ∠2=90°-α
D. ∠2=2α
9.计算的值为（　　）
A. -1 B. C. D.
10.如图，在菱形中，∠A=60°，AD=6，点E，F分别是AB，AD的中点，DE，BF相交于点G，连接BD，CG，有下列结论：①∠BGD=120°；②4FG=GC；③△ADE≌△CDG；④S△CDB=18.其中正确的结论有（　　）
A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x的值为 .
12.菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的边长为 。
13.小明在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a的值为 .
14.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a、b、c,则该三角形的面积为，现已知△ABC的三边长分别为1，，3，则△ABC的面积为 .
15.如图，将一张正方形的桌布折叠两次，就得到了一个漂亮的图案，在图3中，∠DFE的度数为 ______．
16.如图，在矩形ABCD中，AD=16，CD=10，点E，F分别在BC，CD上，BE=4，CF=6，若点G是AE的中点，H是BF的中点，连接GH，则GH的长为 .
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
（1）；
（2）.
18.(本小题8分)
解方程：
（1）x2-6x=0；
（2）2x2-8x+8=0.
19.(本小题8分)
如图，将△ABC沿射线BC平移，使点B与点C重合，得到△DCE，连接AD.F，G分别是AC，DE的中点，连接DF，CG.
（1）求证：△ADF≌△ECG；
（2）若CG=AF，求证：四边形ABCD是矩形.
20.(本小题8分)
在学习一元二次方程的解法中我们发现，用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），可以得到一元二次方程的求根公式.
（1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，它的求根公式是x=______，我们也把用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法；
（2）小明在用公式法解方程x2-6x=5时出现了错误，解答过程如表：请问，小明的解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是______.
解：∵a=1，b=-6，c=5（第一步）
∴b2-4ac=（-6）2-4×1×5=16（第二步）
∴（第三步）
∴x1=5，x2=1（第四步）
（3）请你用自己学过的方法写出此题正确的解答过程.
21.(本小题8分)
我们已经学过以下5种基本作图：
①作线段相等 ②作角相等 ③作角平分线 ④作垂直平分线 ⑤作垂线
当我们遇到新的尺规作图时，需要把问题转化为以上5种基本作图来逐步完成作图.
（1）下面三幅图都是作边长为a的正方形，作图顺序符合基本作图⑤①①⑤⑤的是______；
（2）已知∠α和线段b,求作菱形ABCD，使∠ABC=∠α，BD=b.小明的作图痕迹如图2，按作图顺序写出基本作图的序号为______；
（3）如图3，已知∠AOB和线段m,在边OA上作一点P，使点P到OB的距离等于线段m.（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法，按作图顺序写出基本作图的序号）
22.(本小题8分)
关于x的一元二次方程x2+2kx+6k-9=0.
（1）判断方程根的情况，并说明理由；
（2）若方程有一个根不小于5，求k的取值范围.
23.(本小题8分)
一道数学题往往解法众多，不同的解法承载了多角度的数学思维，请你用两种方法解决下面的题目.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC.若AC=8，请用两种方法求出四边形ABCD的面积.
24.(本小题8分)
观察下列等式，解答问题：
第1个等式：=2；
第2个等式：=3；
第3个等式：=4；…
（1）请直接写出第6个等式______（不用化简）；
（2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明；
（3）请利用（2）的结论计算：×+×.
25.(本小题8分)
【方法回顾】
（1）如图1，过正方形ABCD的顶点A作一条直线l交边BC于点P，BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F，若DF=3，BE=1，则EF的值为______.
【问题解决】
（2）如图2，菱形ABCD的边长为2，过点A作一条直线l交边BC于点P，且∠DAP=90°，点F是AP上一点，且∠BAD+∠AFD=180°，过点B作BE⊥AB，与直线l交于点E，若EF=1，求BE的长.
【思维拓展】
（3）如图3，在正方形ABCD中，点P在AD所在直线的上方，AP=2，连接PB，PD，若△PAD的面积比△PAB的面积多1，请直接写出PB2-PD2的值.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】8
12.【答案】5
13.【答案】1+
14.【答案】
15.【答案】30°
16.【答案】
17.【答案】7+2 2
18.【答案】x1=0，x2=6 x1=x2=2
19.【答案】由平移可知AD∥CE，AD=CE，DE=AC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴∠DAF=∠CEG．
∵F，G分别是AC，DE的中点，
∴AF=EG，
∴△ADF≌△ECG（SAS） 由平移可知DC∥AB，DC=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵△ADF≌△ECG，
∴CG=DF．
又∵F是AC的中点，CG=AF，
∴DF=AF=CF，
∴∠ADF=∠DAF，∠CDF=∠DCF，
∴2∠ADF+2∠CDF=180°，
∴∠ADC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形
20.【答案】 一;未将所给方程化为一般式 x2-6x=5，
x2-6x+9=5+9，
（x-3）2=14，
则x-3=，
所以
21.【答案】C ②③①④ 如图3中，点P即为所求．

22.【答案】原方程有两个实数根，理由如下：
∵Δ=（2k）2-4×1×（6k-9）
=4k2-24k+36
=（2k-6）2≥0，
∴原方程有两个实数根 k≤-1
23.【答案】32．
24.【答案】 第n个等式：，
证明：∵n为正整数，
∴
=
=
=
=，
∴ 2026
25.【答案】2 1.5 4
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