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山东威海乳山市（五四制）2025-2026学年八年级下学期期中数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
2.下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（）
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
3.下列说法正确的是（）
A. 对角线相等的平行四边形是正方形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 有一组邻边互相垂直的矩形是正方形
4.一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定
5.设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
6.如图,在 ABCD中,AE,CF分别是BAD和BCD的平分线,添加一个条件,仍无法判断四边形AECF为菱形的是（ ）
A. AE=AF B. EFAC
C. B= D. AC是EAF的平分线
7.实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，是等腰直角三角形，点D是斜边上一点，于点E，于点F，，M是的中点，则最小值是（ ）
A. B. C. D. 2
9.我国南宋著名数学家秦九韶在他著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边分别为a，b，c，S为面积，则该三角形的面积公式为S＝，已知三角形ABC的三边分别是3，和，则三角形ABC的面积是（ ）．
A. B. C. 2 D. 3
10.如图，在正方形中，点在边上，，垂足为．若，，则的面积为（ ）．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
11.若式子有意义，则的取值范围是 ．
12.已知关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为 ．
13.已知一元二次方程ax2+bx+c=0，若4a+2b+c=0，则该方程一定有一个根为 ．
14.已知如图，正方形边长为4，E、F分别是和的中点，与交于点M，则的长是 ．
15.将一张矩形纸片按如图方式折叠，使点落在边上的处，折痕为，点落在点处，交于点．若，，，则
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
16.计算、解方程
(1) 计算：
(2) 解方程∶．
四、解答题：本题共7小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知的整数部分为a，小数部分为b，求的值
18.(本小题10分)
关于x 的一元二次方程的一个根是，且a，b满足，用配方法解关于y的方程.
19.(本小题10分)
关于y的方程有两个相等的实数根，求n和方程的根分别是多少？
20.(本小题10分)
已知，以点A为圆心，任意长为半径画弧，交于点M，交于点N．分别以、为圆心，以大于线段长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．分别以点A和D为圆心，以大于线段长为半径画弧，两弧分别交于点G和点H．作直线，交于点E，交于点F．连接、，试判断四边形的形状并证明．
21.(本小题10分)
菱形的两边与位于四边形上，其中，四边形对角线相交于点O，，，，求四边形的面积？
22.(本小题15分)
阅读下面材料，完成问题．
在二次根式运算中，部分代数式结构复杂，直接计算难度较大，我们可以通过观察结构、因式分解、倒数转化等方法化繁为简．
（1）因式分解
合理分组
提取公因式
整体分解
（2）倒数转化
求代数式的值时，若原式不宜计算，可先求其倒数，再取倒数得结果．
已知，求代数式的值．
解：先求倒数：
代入：
所以
（3）灵活运用
请运用上述方法，解答下列问题
(1) 问题1：因式分解：
(2) 问题2：已知，求代数式的值．
(3) 问题3：化简：
23.(本小题15分)
在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”．
(1) 【几何直观】如图1，中，，，在内部取一点D，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，，则与的数量关系是 ；与的数量关系是 ；
(2) 【类比推理】如图2，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形；
(3) 【深度探究】在矩形中，与交于点O点，E为边上的一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若，，
①当，与的位置关系是_________；
②求的最小值．
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】且
12.【答案】
13.【答案】2
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：，
整理得，
因式分解得，
∴，，
解得，．

17.【答案】解：
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的整数部分为a，小数部分为b，
，
．

18.【答案】解：∵关于x 的一元二次方程的一个根是，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴方程可化为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，.

19.【答案】解：，，，
∵有两个相等的实数根，
∴，
解得：，，
∵，
∴，
∴，
整理得，
∴．

20.【答案】解：四边形是菱形．
根据作图痕迹可知：平分，垂直平分线段，
如图，连接，
∴，，．
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴四边形是菱形．

21.【答案】解：∵菱形，
∴，，，，
∴．
∴．
∴．
∵，．
∴．
∴．
∵，．
∴是平行四边形．
∵
∴四边形是矩形．
∴四边形的面积．

22.【答案】【小题1】
【小题2】
解：∵，
∴，
即，
∴．
∵或0（舍去），
∴；
【小题3】
解：，
设：，，
则原式，
，
．

23.【答案】【小题1】


【小题2】
解：正方形，
，，
由旋转的性质可知，，，
，即，
在和中，
，
，
，
，
∴四边形是矩形，
又，
四边形是正方形；
【小题3】
①解：矩形，
，，，
，，
，
，
是等边三角形，
，
∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
同理可证
∴，
∴，
∴；
②解：如图，连接、，
是等边三角形，
，
由旋转的性质可知，，，
，
，即，
又，，
，
，
点在射线上运动，且，
当时，有最小值，
，
，
，
在中，，
即的最小值为．

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