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江西赣州市瑞金市2025-2026学年八年级下学期期中阶段练习数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式属于最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
2.小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（）
A. （1）处可填 B. （2）处可填
C. （3）处可填 D. （4）处可填
3.以下列各数为边长,能构成直角三角形的是( )
A. 1,2,3 B. 2,3,4 C. 3,4,5 D. 4,5,6
4.四边形是平行四边形，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
6.如图所示，把一张矩形的纸片按图示对折两次，然后剪下一部分，若得到一个钝角为的菱形，则剪口与第二次折痕所成角的度数应为（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
8.六边形内角和的度数是 ．
9.如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则_ _cm．
10.某次研学过程中，老师让同学们利用所学知识测量被池塘隔开的、两点之间的距离．小明同学想到可以在不远处选择C点，测量、的中点、的距离．如图所示，若米，则AB的距离为 ．
11.平面直角坐标系中，点到原点的距离是 ．
12.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，点P在BC上，且PB=3，以AP为腰作等腰三角形APM，使得点M落在矩形ABCD边上，则CM= .
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
13.计算：
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共10小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题7分)
如图，在中，、分别在边、上，且满足．求证：四边形是平行四边形．
15.(本小题7分)
如图，四边形是矩形，点在的延长线上，．求证：是等腰三角形．
16.(本小题7分)
如图所示，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，则船向岸边移动了多少米？
17.(本小题8分)
如图，在中，点是的中点，请仅用无刻度直尺作图（保留作图痕迹，不写画法）
(1) 在图1中，请过点作的平行线交于点．
(2) 在图2中，请过点作的平行线交于点．
18.(本小题7分)
如图，菱形花坛的边长为，沿着菱形的对角线修建了两条小路和．求：
(1) 两条小路的长度；
(2) 菱形花坛的面积．
19.(本小题8分)
如图，有一张三角形纸片，三边长分别为，，．
(1) 求证：；
(2) 将沿折叠，使点B与点A重合，求的长．
20.
(1) 【课本再现】我们前面学习过三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．请你尝试证明．
已知：如图1，是的中位线．
求证：．
(2) 【实践应用】
如图2，是的中位线，是边上的中线，与是否互相平分？请证明你的结论．
21.(本小题7分)
有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形．
(1) 求长方形木板的面积；
(2) 木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行．
22.(本小题9分)
如图，在中，点是上的任意一点（不与点、重合），过点平行于的直线分别与的外角的平分线交于点．
(1) 与相等吗？证明你的结论：
(2) 试确定点的位置，使四边形是矩形，并加以证明；
(3) 在（2）的条件下，满足什么条件，四边形是正方形？证明你的结论．
23.(本小题9分)
定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
(1) 概念理解
①你所知道的特殊四边形中，是“勾股四边形”的有 （一个即可）；
②如图（1），点在正方形网格的格点上，请你在图中画出以格点为顶点，为勾股边，且对角线相等的所有“勾股四边形”；
(2) 知识运用如图（2），是等边三角形，，且，，求证：，即四边形是“勾股四边形”．
(3) 拓展应用如图（3），菱形是“勾股四边形”，对角线、交于点，，，求四边形的面积．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】3
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2或或4
13.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
．

14.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．

15.【答案】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．

16.【答案】解：在Rt△ABC中：
因为∠CAB=90°，BC=17米，AC=8米，
所以AB===15（米），
因为CD=10（米），
所以AD===6（米），
所以BD=AB-AD=15-6=9（米），
答：船向岸边移动了9米，
17.【答案】【小题1】
解：如图所示，即为所求；
【小题2】
解：如图所示，即为所求．

18.【答案】【小题1】
解：如图所示，设与交于点O，
∵四边形是菱形，且边长为，，
∴，，
∴，则，
∴，则；
【小题2】
解：由（1）得．

19.【答案】【小题1】
证明：∵在中，，，，
∴，，，
∴，
∴为直角三角形，
即；
【小题2】
解：由折叠知：，为直角三角形，
在中，①，
设，则，
代入①式得
化简得，
解得：，
即CD的长为．

20.【答案】【小题1】
如图所示，延长到F，使得，
∵点E是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
又，
∴，
∴，且；
【小题2】
如图，连接，
∵是的中位线，是边上的中线，
∴分别为的三边中点，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴与互相平分．

21.【答案】【小题1】
解：∵长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形．
∴正方形的边长为，
∴，，
∴长方形木板的面积为；
【小题2】
解：木工乙的想法可行，理由如下：
∵要从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，
∴裁出的长方形的长为，
由（1）得长方形的长为，宽为，
，，，
∴，，
∴可以裁出所求的长方形木料，即木工乙的想法可行．

22.【答案】【小题1】
解：，证明如下：
∵直线，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴；
【小题2】
解：当点O是的中点时，四边形是矩形，证明如下：
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
【小题3】
解：当满足时，四边形是正方形，证明如下：
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∵平行四边形是矩形，
∴，
∴菱形是正方形．

23.【答案】【小题1】
解：①由勾股定理可知，矩形和正方形相邻两边的平方和等于其一条对角线的平方；
②如图所示，四边形和四边形即为所求；

【小题2】
证明：如图，连接，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴；
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，即四边形是“勾股四边形”．
【小题3】
解：∵四边形是菱形，
∴，
∵菱形是“勾股四边形”，
∴菱形的两边长的平方等于其对角线的平方，
不妨设
∴
∵四边形是菱形，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴.

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