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江西省赣州市南康区第五中学等校2025-2026学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若二次根式有意义,则x的值可能是( )
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
2.下列二次根式计算正确的是（）
A. B. C. D.
3.依据所标数据，如图一定为平行四边形的是（）
A. B. C. D.
4.下列条件中,不能判断ABC(a、b、c为三边,A,B,C为三个内角)为直角三角形的是( )
A. A+B=C B. A:B:C=3:4:5
C. =1,=2,=3 D. a:b:c=3:4:5
5.如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，则的度数为（　　）
A. B. C. D.
6.已知如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是 ．
8.若的整数部分为a,小数部分为b,则a2+b-的值 .
9.如图，矩形的两边长分别为1和2，且，那么数轴上点A所表示的数是 ．
10.如图，四边形中，，，，点，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），点，分别为，的中点，则长度的最大值为 ．
11.如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处．则蚂蚁到达蜂蜜点的最短距离为 ．
12.已知点A(0,4),B(7,0),C(7,4),连接AC,BC得到矩形AOBC,点D在边AC上,将边OA沿OD折叠,点A的对应点为A',若点A'到矩形较长两对边的距离之比为1:3,则点A'的坐标为 .
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
13.计算：
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共10小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题8分)
已知，，求下列各式的值．
(1) 和；
(2) ．
15.(本小题7分)
如图， 为菱形 的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）
(1) 如图 ，过点 作 的垂线；
(2) 如图，点为线段的中点，过点作的平行线．
16.(本小题7分)
如图，在中，．求的长．
17.(本小题8分)
某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为83米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为米，宽为米
(1) 长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）；
(2) 除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
18.(本小题8分)
某斜拉桥的主梁垂直于桥面于点，主梁上有两根拉索分别为、，平面示意图如图所示.
(1) 若拉索⊥，、的长度分别为10米、26米，求拉索的长度；
(2) 若拉索、的长分别为13米、20米，且固定点、之间的距离为21米，求主梁在桥面以上的部分的高度．
19.(本小题8分)
如图，矩形的对角线，相交于点，．
(1) 求证：四边形是菱形；
(2) 若，，求四边形的面积．
20.(本小题7分)
【特例感知】
化简：；
解：．
(1) 请在横线上直接写出化简的结果：
① ；
② ．
(2) 【观察发现】第n个式子是（n为正整数），请求出该式子化简的结果（需要写出推理步骤）．
(3) 【拓展应用】从上述结果中找出规律，并利用这一规律计算：．
21.(本小题7分)
【课本再现】我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
下面是三角形中位线的性质及证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法：
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图1，在中，点分别是边的中点．求证：，且．
方法一：证明：如图2，延长到点，使，连接． 方法二：证明：如图3，取中点，连接并延长到点，使，连接．
(1) 【回顾证法】请你选择其中一种证法，继续完成证明过程．
(2) 【实践应用】如图4，B、C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了间的距离：先在池塘外选一点，连接，然后测出的中点、，并测出的长度为12米，则两点间的距离 米．
(3) 【深入探究】如图5，是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论．
22.(本小题8分)
如图，在中，，为钝角，作交于点．
(1) 若，则 ；
(2) 求证：；
(3) 已知，，求的值．
23.(本小题8分)
在矩形中，是对角线上的两个动点，分别从同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中．
(1) 若分别是中点，请证明四边形一定是怎样的四边形（相遇时除外）
(2) 在（1）条件下，若四边形为矩形，求的值．
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】10
8.【答案】6
9.【答案】
10.【答案】 /
11.【答案】10
12.【答案】(,3)或(,1)或(2,-2)
13.【答案】【小题1】
解：原式
．
【小题2】
解：原式
．

14.【答案】【小题1】
∵，，
∴，；
【小题2】

15.【答案】【小题1】
解：如图， 即为所求.
【小题2】
解：如图，即为所求．

16.【答案】解：如图，过点作于点，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
,
，,
，
，

17.【答案】【小题1】
解：长方形ABCD的周长（米），
答：长方形ABCD的周长是米；
【小题2】
解：通道的面积
（平方米），
购买地砖需要花费（元）．
答：购买地砖需要花费元．

18.【答案】【小题1】
∵，、的长度分别为10米、26米，
∴（米）
∴拉索的长度是24米；
【小题2】
设，由可知：
∵
∴
∴，
即
∴
∴（米）
∴主梁在桥面以上的部分的高度是12米.

19.【答案】【小题1】
证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
四边形是菱形；
【小题2】
解：四边形是菱形，，
是等边三角形，
过点作，垂足为点，
，，
，
．

20.【答案】【小题1】


【小题2】
解：，
∴的化简结果为．
【小题3】
解：
．

21.【答案】【小题1】
证明：方法一：延长到点，使，连接．
点分别是边的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
即，且；
方法二：取中点，连接并延长到点，使，连接．
点分别是边的中点，
，，
又，
，
，，，
，
点是中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
点分别是边的中点，
，
四边形是平行四边形，
，，
即，且；
【小题2】
24
【小题3】
与互相平分，证明如下：
如图，连接、，
是的中位线，
，，，，
是边上的中线，
，
，
四边形、是平行四边形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
与互相平分；

22.【答案】【小题1】
【小题2】
证明：，
．
即．
，
，
，即，
，
；
【小题3】
解：过点作的垂线，垂足为，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在中，．

23.【答案】【小题1】
解：四边形是平行四边形，理由如下：
由题意得：，
四边形是矩形，
，
，
分别是中点，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
【小题2】
解：如图1，连接，
，
，
①如图1，当四边形是矩形时，
，
，
，
；
②如图2，当四边形是矩形时，
，
，
；
综上，四边形为矩形时或.

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