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福建省永春玉斗中学等校2025—2026学年度八年级下学期期中综合评估数学
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列式子中，属于分式的是（）
A. B. C. D.
2.在平面直角坐标系中，点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.我国科学家基于嫦娥六号采回的月球背面月壤样品，首次研究获得月球背面月幔的水含量小于，为认识月幔水的时空演化提供了关键约束．数据0.000002用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4.一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧，这根蜡烛点燃后剩下的长度h（单位：）与点燃时间t（单位：h）之间的关系式是（ ）
A. B. C. D.
5.将分式约分，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
6.小明从家步行去书店买书，匀速走了一段时间后看到路旁有一辆共享单车，小明开锁后骑行到达书店（小明家和书店在同一条笔直的公路旁，距离为），如图所示的是小明离家的距离y与时间x的关系，则小明骑行的时间为（ ）
A. B. C. D.
7.若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
8.已知一次函数y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的自变量x与函数y的几组对应值如表：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 8 6 4 2 0 …
则下列结论正确的是（　　）
A. y的值随x值的增大而增大 B. 图象不经过第一象限
C. 当x＜2时，y＜0 D. 不等式kx+b≤0的解集是x≥2
9.如图，若x为正整数，则表示的值的点落在区间（ ）
A. B.
C. D.
10.在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共7小题，共30分。
11.若是正比例函数，则b的值是 ．
12.若关于x的分式方程无解，则k的值为 ．
13.如图，直线l1：y=x+2与直线l2：y=kx+b相交于点P（m，4），则方程组的解是 ．
14.对于实数m，n，定义两种新运算：，，则的值为 ．
15.已知的位置如图所示，其中点B，C分别在x轴、y轴上，轴．反比例函数的图象经过点A，且，则该反比例函数的表达式为 ．
16.将正方形，，按如图所示的方式放置，点，，，…与点，，，…分别在直线与x轴上，则点的纵坐标是 ．
17.下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成任务：
化简：．
解：原式…第一步
…第二步
…第三步
．…第四步
(1) 任务一：以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，其依据是 ．
(2) 第 步开始出现错误，出现错误的原因是 ．
(3) 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果： ．
三、计算题：本大题共2小题，共20分。
18.计算：．
19.解方程：．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题10分)
将直线向上平移m个单位长度，得到的直线经过点，求m的值．
21.(本小题10分)
南靖土楼作为世界文化遗产，承载着客家人的智慧和乡愁．福州市某旅行社组织游客从福州市到南靖土楼旅游．
信息一：福州市到南靖土楼的路程约为300千米；
信息二：乘坐A型车比乘坐B型车少用0.75小时；
信息三：A型车的平均速度是B型车平均速度的1.25倍．
问题解决：求B型车的平均速度．
22.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C．
(1) 求一次函数与反比例函数的表达式．
(2) 连接，求的面积．
23.(本小题10分)
某地按照城市功能特点，建设城区特色消费中心，着力发展“夜经济”，打造“夜商都”等地方夜消费品牌升级版，允许市场经营主体在规范有序的条件下，采取“店铺外摆”、“露天市场”方式进行销售．个体业主小王响应号召，采取“店铺外摆”方式销售A，B两款特价商品，两款商品的进价与售价如表所示：
类型 A型 B型
进价/（元/件） 35 5
售价/（元/件） 45 8
小王计划购进A，B两种商品共100件进行销售，设小王购进A商品x件，A，B商品全部销售完后获得的总利润为y元．
(1) 求y与x之间的函数关系式．
(2) 若B商品的进货件数不少于A商品件数的3倍，当购进A，B两种商品各多少件时，可使得A，B商品全部销售完后获得的总利润最大？并求出最大的总利润．
24.(本小题15分)
综合与实践
问题背景：若两个分式与，满足，为整数且，则称为的“差整分式”，称为“差整值”．例如：分式，，，则为的“差整分式”，“差整值”．
(1) 探究：已知三个分式，，，则下列结论中，正确的是 （填序号）．①是的“差整分式”；②是的“差整分式”；③是的“差整分式”．
(2) 探究：已知分式，（是关于的整式），若为的“差整分式”，且“差整值”，求整式．
(3) 探究：已知分式，（为整数），若为的“差整分式”，请直接写出“差整值”的值．
25.(本小题15分)
如图1，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点和点．
(1) 求一次函数的表达式．
(2) 如图2，点C在线段上．将沿折叠，点O恰好落在直线上的点D处．求线段的长．
(3) 若点P在y轴上，且是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】2
12.【答案】1
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】【小题1】
一
分式的基本性质
【小题2】
二
去括号时，括号前为负号，括号内各项未全部变号
【小题3】

18.【答案】解：
．

19.【答案】解：原方程变形为 ，
方程两边同时乘以得，
去括号得，
整理得，
解得，
检验∶ 当时，，
∴原分式方程的解为．

20.【答案】解：由题意可得，平移后得到的直线解析式为，
将点代入得，
解得．

21.【答案】解：设B型车的平均速度为千米/时，则A型车的平均速度为千米/时．
根据题意列方程得
解得
检验：当时，，
因此是原方程的解，且符合题意．
答：B型车的平均速度为千米/时．

22.【答案】【小题1】
解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，
，
．
反比例函数的表达式为；
，
将点，代入，得，
解得
一次函数的表达式为．
【小题2】
解：一次函数的图象与轴交于点，
∴当时，，
解得
点的坐标为，
∵
．

23.【答案】【小题1】
解：由题意可得：
，
∴与之间的函数关系式为；
【小题2】
解：由题意，可得：，
解得：，
∵，
∴，
∴随增大而增大，
∴当时，y有最大值，最大的总利润
此时购进B商品的件数为，
答：当购进A商品25件，B商品75件时，可使得A、B商品全部销售完后获得的利润最大，最大的总利润为475元．

24.【答案】【小题1】
③
【小题2】
解：∵为的“差整分式”，“差整值”，
∴，即，
方程两边同时乘以得：，
展开得：，
移项得：，
故整式，
【小题3】
解：根据题意，
即
通分合并分子得：
展开左边：
展开右边：
比较系数得方程组：
解得：．
答：．

25.【答案】【小题1】
解：∵一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点和点．
∴
解得
∴一次函数的表达式为；
【小题2】
解：∵和
∴
∵
∴，
∵翻折，
∴，
设，则，
∵
∴
解得
∴线段的长为；
【小题3】
解：如图：
当时，∵
∴点的纵坐标为或
∴或
当时，由于，
则，
∴此时，
综上：当是以为腰的等腰三角形，点P的坐标为或或．

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