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江西赣州市蓉江新区2025—2026学年下学期期中考试九年级数学试题卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2026的相反数是（）
A. 2026 B. C. D.
2.下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
3.如图是一个由相同立方块搭成的几何体，则下列说法正确的是（）
A. 主视图的面积最大 B. 俯视图的面积最大
C. 左视图的面积最大 D. 三个视图的面积一样大
4.按一定规律排列的单项式：，，，，，…，则第n个单项式是（ ）
A. B. C. D.
5.如图,用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中,然后匀速向上提起,使铁块完全露出水面, 并上升一定高度, 则下列能反映弹簧测力计的读数y(单位:N)与铁块被提起的时间x(单位:s)之间的函数关系的大致图象是( )
A. B.
C. D.
6.如图，在矩形的对称轴上找点，使得，均为直角三角形，则符合条件的点的个数是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
8.截至2月24日，《哪吒2》总票房超137亿元，登顶中国影史票房冠军，数据137亿用科学记数法可表示为 ．
9.已知一元二次方程的两个根为，，则 ．
10.文化情境·数学文化《九章算术》是中国古代一部重要的数学典籍．其中有这样一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数，金价各几何？其大意是假设合伙买金，每人出400钱，还剩余3400钱；每人出300钱，还剩余100钱．问人数，金价各是多少？如果设有x个人，根据题意所列方程为 ．
11.如图，点E是矩形边BC上一点，将沿着翻折得到，交于点F，若，，则 ．
12.如图，在，，，，点P在菱形的边上（除去）运动，，当点P到中的两个顶点的距离相等时，则点P到这两个顶点所在直线的距离是 ．
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
计算及几何计算：
(1) 计算：；
(2) 如图，，平分交于点E，若，求的度数．
14.(本小题4分)
先化简，然后从0，1，2三个数中选一个合适的数代入求值．
15.(本小题6分)
2025年春节期间，各种富有现实教育意义的电影轮番上映，如A—《哪吒之魔童闹海》、B—《蛟龙行动》、C—《唐探1900》、D—《射雕英雄：侠之大者》，某音乐老师要求甲、乙两同学分别从中选择一部电影作为学校电影节的放映内容．
(1) 事件“《封神第二部：战火西岐》被选择作为放映内容”是 事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”）
(2) 请用树状图或列表法求甲、乙两同学选择同一部电影的概率．
16.(本小题6分)
如图，的网格中，的三个顶点都在格点上，请用无刻度直尺按下列要求完成画图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1) 在图1中，画，使得与全等（不与重合）；
(2) 在图2中，设，将绕点A逆时针旋转得，画出．
17.(本小题8分)
已知反比例函数与一次函数交于A，B两点，点B的纵坐标为．
(1) 求一次函数解析式及与y轴交点C的坐标；
(2) 若点B与点D关于原点对称，求的面积．
18.(本小题8分)
为响应阳光体育运动的号召，某中学从体育用品商店购买了一批足球和篮球，具体信息如下：
信息一
商品 单价（单位：元） 购买总金额（单位：元）
足球 x 1800
篮球 1500
信息二
购买足球的数量是购买篮球数量2倍．
(1) 求购买一个足球和篮球各需要花费多少元；
(2) 该中学决定再次购进足球和篮球共60个，且篮球的数量不小于足球数量的，则在此次购买方案中最少费用是多少元？
19.(本小题8分)
如图，点A，B，C，D在上，，平分，交延长线于点E．
(1) 求证：是的切线；
(2) 若，．
①求的长；
②的长为________．（结果保留）
20.(本小题8分)
“赣州之眼”摩天轮坐落于赣州蓉江新区十里花溪公园旁，是赣州最大的屋顶摩天轮，游客乘坐该摩天轮可以从高处俯瞰四周美景．据工作人员介绍，该摩天轮总高度约为65米，转盘直径约为50米，设有32个座舱，游客先坐直升电梯到入口（入口在摩天轮距地面的最低点P）处等待，当座舱到达最低点P时有序进入座舱．（结果保留小数点后一位）
(1) 若，求点Q距离地面的高度；
(2) 游客甲从点P处进入座舱后，又有3个座舱经过，游客乙进入第4个座舱，求甲乙距离地面的距离相等时，距离地面的高度．（参考数据：，，，）
21.(本小题10分)
为进一步推进安全教育，切实增强广大学生的安全防范意识和自护自救能力，某校举行了安全知识竞赛活动，测试满分100分．为了解八、九年级学生此次竞赛的情况，分别在八、九年级中各随机抽取了20名参赛学生的成绩进行整理和分析，已知所有参赛学生成绩都不低于60分，根据成绩分成四个等级：A等：， B等：， C等：， D等：．下面给出了部分信息：
八年级20名学生的成绩：60 60 65 65 70 70 70 75 75 80 80 80 80 80 80 85 85 90 95 95．
九年级20名学生的成绩在C等级的数据：70 70 70 75 75 75．
八、九年级抽取的学生成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
八年级 77 80 a 101
九年级 77 b 85 116
根据以上信息，请你完成下列问题：
(1) 上述图表中， ， ，扇形统计图中的C等级对应的扇形的圆心角度数为 ；
(2) 根据以上数据，你认为该校八、九年级哪个年级学生安全知识竞赛成绩较好？请判断并说明理由；
(3) 该校八、九年级共有1800人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩获A等级的学生人数．
22.(本小题8分)
定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，它的顶点为，若，，三个点的横坐标和纵坐标都为整数，我们把这样的抛物线叫作“极美抛物线”．
(1) 下列抛物线是“极美抛物线”的是 （填序号）；①；②；③；④．
(2) 求证：无论取何整数，抛物线总是“极美抛物线”；
(3) 某种商品每件的进价为元，在某段时间内，若以每件元出售，可卖出件，（为常数，且），获得利润为元．
①直接写出关于的函数表达式；
②若①中的函数图象为“极美抛物线”，且利润达到最大值，求此时的值．
23.(本小题12分)
如图1，在矩形中，，过对角线上的点E作，分别交边于点F，G．
(1) 特例感知
图2中，若E是的中点，，以下结论中正确的序号有 ；①四边形是矩形；②矩形与四边形位似；③；④．
(2) 探究发现在图1中，探究与的数量关系时，爱思考的小亮对旋转解题特别感兴趣．他发现与垂直，便尝试将射线绕着点E逆时针旋转交的延长线于点K，从而构造两相似三角形求解与的数量关系，请你顺着小亮的思路继续完成求解过程；
(3) 类比运用若将矩形改为，，如图3，过对角线上的点E作，分别交边于点F，G，．试探究与之间的数量关系并说明理由．
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】-2025
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】或或
13.【答案】【小题1】
解：原式
；
【小题2】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．

14.【答案】解：原式
，
∵，，，
∴x只能取0．
∴当时，原式．

15.【答案】【小题1】
不可能
【小题2】
解：画出树状图如下：
总共有16种等可能性结果，其中甲、乙两同学选择同一部电影的情况有4种，
∴P（甲、乙选择同一部电影）．

16.【答案】【小题1】
解：如图1，为所求；
【小题2】
解：如图2，为所求．

17.【答案】【小题1】
解：把代入中，得，
把代入中，得，
∴，
∴一次函数解析式为，
当时，，
∴；
【小题2】
解：∵点B与点D关于原点对称，
∴，
∴．

18.【答案】【小题1】
解：根据题意，得，
解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴（元）．
答：购买一个足球需要花费45元，购买一个篮球需要75元；
【小题2】
解：设该中学购买m个篮球，则购买个足球，
依据题意：得，
解得．
设购买费用为w元，则，
∵，w随m的增大而增大，
∴当时，w取得最小值，最小值．
答：在此购买方案中，最少费用是3420元．

19.【答案】【小题1】
证明：连接，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半圆O的半径，
∴是的切线．
【小题2】
解：①连接，如图；
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵C为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②2π；
由①知，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，且，
∴的长的长．

20.【答案】【小题1】
解：过点Q作交延长线于点A，
∵，
∴．
∴（米）．
∴点Q距离地面的高度（米）
【小题2】
解：当甲、乙分别在图中M，N处，且垂直地面时，甲乙距离地面的距离相等，连接，则于点B，

（米）
∴甲乙距离地面的高度（米）

21.【答案】【小题1】
80
75

【小题2】
解：我认为该校八年级学生安全知识竞赛成绩较好．
理由：八年级学生成绩的中位数高于九年级的学生．
【小题3】
解：抽取的八、九年级40名学生中，八年级有3人获A等级，
九年级有（人）获 A等级，
因此该校参加此次竞赛活动的八、九年级1800人中，成绩获A等级的学生约有（人）．

22.【答案】【小题1】
②③④
【小题2】
证明：令，得，
解得：，，
∵为整数，
∴，都是整数，
∴抛物线与轴的交点坐标为，都是整数，
∵原抛物线的对称轴为，
∴将代入解析式得，
∴抛物线的顶点坐标为，横纵坐标都是整数，
∴无论取何整数，抛物线总是“极美抛物线”；
【小题3】
解：①，
②要使得①中的抛物线为“极美抛物线”，则其对称轴必须为整数，
∵，
∴或，
当时，对称轴为，此时利润的最大值，
当时，对称轴为，此时利润的最大值，
综上可知，当时，利润达到最大值．

23.【答案】【小题1】
①②④
【小题2】
解：∵，
∴．
∵，
∴．
如图，将射线绕着点E逆时针旋转交的延长线于点K，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
【小题3】
解：．理由如下：
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
如图，在上取点H，使，得，

∴．
∴，．
∵，
∴．
∴．
又∵，
∴，即．

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