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三角函数
§1　周期变化
§2　任意角
第一章
学习目标 1.了解周期性的概念和几何意义．
2．了解角的概念，了解正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义．
3．了解象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角．(重点)
一、函数的周期性
1．周期函数与周期的概念
一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D，且满足 ，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的 ．
2．最小正周期
如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个
就称作函数y＝f(x)的 ．
f(x＋T)＝f(x)
周期
最小
最小正数
最小正周期
(1)“周期函数”的三个条件：
①存在不为0的常数T；
②x必须是定义域内的任意值；
③f(x＋T)＝f(x).
(2)周期函数的周期不止一个．
二、角的概念推广
1．角的概念
如图，平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB，形成角α.
其中点O是角α的顶点，射线OA是角α的 ，射线OB是角α的 ．
始边
终边
2．角的分类
按旋转方向可将角分为如下三类：
类型 定义 图示
正角 按 形成的角
负角 按 形成的角
零角 一条射线 ，称它形成了一个零角
逆时针方向旋转
顺时针方向旋转
没有作任何旋转
(1)字母表示角时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．
(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，即箭头代表着角的正负．
三、终边相同的角
一般地，给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的 的和．
整数倍
四、象限角
将角放在一个平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴．以角的终边(除端点外)在平面直角坐标系的位置对角分类：
角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，这个角就不属于任何象限．
(1)“象限角”只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小．
(2)象限角不能比较大小．
1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”．
(1)地球上春、夏、秋、冬四季的变化是周期变化. (　 　)
(2)哈雷彗星每76年“光顾”一次地球，它的运行是周期变化． (　 　)
(3)我国每年夏季小麦的产量是周期变化的． (　 　)
√
√
×
2．(多选)下列命题正确的是 (　 　)
A．－75°是第四象限角 B．225°是第三象限角
C．475°是第二象限角 D．－615°是第一象限角
ABC
3．观察一列数：2，0，2，5，2，0，2，5，2，0，2，5，…，寻找规律，第25个数是________．
答案：2
解 析
观察可知2，0，2，5每四个数为一个循环，重复出现，具有周期性，且25＝4×6＋1，故第25个数为2.
4．与2 025°角终边相同的角可以是________________________．(填写一个即可)
答案：225°(答案不唯一)
探究一　周期变化
[例1] (多选)设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也叫取整函数，例如[2.3]＝2.令函数f(x)＝[x]－x，下列结论正确的有 (　　)
A．f(－1.7)＝－0.3
B．f(x－1)＝f(x)
C．f(x)的最大值为0，最小值为－1
D．y＝f(x)与y＝－x＋1的图象没有交点
AB
解 析
由题意得f(－1.7)＝[－1.7]－(－1.7)＝(－2)＋1.7＝－0.3，故选项A正确．
f(x－1)＝[x－1]－(x－1)＝([x]－1)－x＋1＝[x]－x＝f(x)，故选项B正确．
由选项B可知，f(x)是周期为1的周期函数．
则当x＝0时，f(0)＝[0]－0＝0；
当0当x＝1时，f(1)＝[1]－1＝1－1＝0.
解 析
1．生活中的年、月、日、时……都具有周期现象．
2．周期现象的解决思路
(1)应用周期现象中“周而复始”的规律可以达到“化繁为简”“化无限为有限”的目的．
(2)只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”，就可以把问题转化到一个周期内来解决．
[练1] (1)已知f(x)是定义在R上的函数，且f(x＋2)＝f(x)，当x∈(0，2)时，f(x)＝2x2，则f(2 025)＝ (　　)
A．－2 B．2
C．－98 D．98
B
(2)下列定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的为 (　　)
A． B．
C． D．
D
解 析
(1)函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，故函数周期为2.
则f(2 025)＝f(1 012×2＋1)＝f(1)＝2×12＝2.
(2)结合周期函数的定义可知，选项A，B，C均为周期函数，选项D不是周期函数．
探究二　任意角
[例2] 射线OA绕端点O逆时针方向旋转120°到达OB位置，由OB位置绕端点O旋转到达OC位置，得∠AOC＝－150°，则射线OB旋转的方向与角度分别为 (　　)
A．逆时针，270° B．顺时针，270°
C．逆时针，30° D．顺时针，30°
B
解 析
由题意可得∠AOB＝120°，
设∠BOC＝θ，则∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝120°＋θ＝－150°.解得θ＝－270°.
所以射线OB绕端点O顺时针方向旋转270°.
1．任意角即任意大小的角，可以无限大，也可以无限小，当然也可以是0°.
2．表示角时的两个注意点
(1)要注意我们现在学习的角已经不局限于0°～360°，而是任意的角．
(2)在写角的度数时要注意角的始边和旋转的方向．
[练2] 如图，射线OA绕顶点O逆时针方向旋转45°到达OB位置，并在此基础上顺时针方向旋转120°到达OC位置，则∠AOC＝__________．
答案：－75°
解 析
由角的定义可得∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝45°＋(－120°)＝－75°.
探究三　终边相同的角的表示
[例3] (多选)与－835°终边相同的角有 (　 　)
A．－245° B．245°
C．－115° D．－475°
BCD
解 析
与－835°终边相同的角可表示为－835°＋k·360°，k∈Z.
当k＝1时，为－475°；当k＝2时，为－115°；当k＝3时，为245°.
1．终边相同的角的表示
(1)终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式．
(2)终边相同的角相差360°的整数倍．
2．区域角的表示方法
要先找到区域角的边界对应的角，再根据旋转方向写出一个周期内的区域角，最后再加上周期即可.
[练3] (1)若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为 (　　)
A．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°－135°，k∈Z}
D．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}
D
(2)(2025·百色高一期中)已知集合P＝{α|α＝k·90°，k∈Z}，则下列集合与P相等的是 (　　)
A．{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}
B．{α|α＝k·180°，k∈Z}
C．{α|α＝90°＋2k·180°，k∈Z}
D．{α|α＝k·180°或α＝90°＋k·180°，k∈Z}
D
解 析
(1)由题意知角α的终边在直线y＝－x上，
故α＝－45°＋k·360°，k∈Z，或α＝135°＋k·360°，k∈Z，
即α＝－45°＋2k·180°，k∈Z，或α＝－45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z，
所以角α的取值集合为{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}．
(2)集合P表示终边在坐标轴上的角的集合．
选项A，表示终边在y轴上的角的集合；
选项B，表示终边在x轴上的角的集合；
解 析
选项C，表示终边在y轴非负半轴上的角的集合；
选项D，表示终边在坐标轴上的角的集合．
探究四　象限角的确定
[例4] (1)(多选)下列四个角为第二象限角的是 (　　)
A．－200° B．100°
C．220° D．420°
AB
解 析
－200°＝160°－360°，故－200°为第二象限角；
100°是第二象限角；
220°是第三象限角；
420°＝60°＋360°，故420°为第一象限角．
解
解
ABD
解 析
1．下列说法正确的是 (　　)
A．锐角是第一象限角
B．终边相同的角必相等
C．小于90°的角一定在第一象限
D．第二象限角必大于第一象限角
A
解 析
锐角是指大于0°，小于90°的角，故其在第一象限，故选项A正确；
终边相同的角不一定相等，两角可以相差360°的整数倍，故选项B错误；
小于90°的角不一定在第一象限，也可以为负角，故选项C错误；
根据任意角的定义，第二象限角可以为负角，第一象限角可以为正角，此时第二象限角小于第一象限角，故选项D错误．
2．440°角的终边落在 (　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
A
解 析
因为440°＝360°＋80°，
所以440°角的终边与80°角的终边相同．
所以440°角的终边落在第一象限．
3．函数y＝f(x)是以3为周期的函数，且f(2)＝3，则f(11)＝________．
答案：3
解 析
因为函数y＝f(x)是以3为周期的函数，且f(2)＝3，
所以f(11)＝f(2＋3×3)＝f(2)＝3.
4．与－15°角终边重合的角的集合是______________________．
答案：{α|α＝－15°＋k·360°，k∈Z}
解 析
与－15°角终边重合的角的集合是{α|α＝－15°＋k·360°，k∈Z}．

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