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三角函数
§3　弧度制
第一章
学习目标 1.了解弧度制，能进行弧度与角度互化．(重点)
2．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系．
3．掌握并能应用弧度制下扇形的弧长公式和面积公式．
一、角度制与弧度制
1．角度制和弧度制
角度制
用周角的 作为一个单位，称为1度角，以 作为单位来度量角的单位制叫作角度制
弧度制 在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角．其单位用符号rad表示，读作 ．以 作为单位来度量角的方法，叫作弧度制
度
弧度
弧度

2.弧度数的计算
(1)“1 rad”等于长度为半径长的圆弧所对的圆心角，弧度制是十进制，角度制是六十进制．
(2)无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值．
(3)以弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”通常省略不写，但以度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不能省略．
二、弧度与角度的换算
1．弧度与角度的互化
角度化弧度 弧度化角度
360°＝ rad 2π rad＝
180°＝ rad π rad＝
2π
π
0.017 45
360°
180°
57°18′
2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度 0° 1° 30° 60°
弧度
度 120° 150° 180° 360°
弧度 π
0
45°
90°
135°
270°




三、扇形的弧长与面积公式
项目 n为角度数 α为弧度数
扇形的弧长 l＝|α|r
扇形的面积
1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”．
(1)1 rad的角和1°的角大小相等． (　 　)
(2)用弧度来表示的角都是正角． (　 　)
(3)1弧度的角的大小和所在圆的半径大小无关. (　 　)
(4)半径为1的圆弧中，60°角所对的圆弧长为60. (　 　)
×
√
×
×
B
探究一　弧度制的理解
[例1] 下列说法正确的是 (　　)
A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D．用弧度表示的角都是正角
A
解 析
根据弧度的定义知，1弧度的圆心角所对的弧长等于半径，故选项A正确；
大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故选项B错误；
只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故选项C错误；
用弧度表示的角也可以是负角或零角，故选项D错误．
1．“弧度制”的重要意义在于，可以将以角度为自变量的三角函数转化为以实数为自变量的三角函数．
2．圆心角、弧度数的关注点
(1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的．
(2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系．
[练1] 下列命题中，真命题是 (　　)
A．1弧度就是1°的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度等于半径的弧
C．1弧度是1°的弧与1°的角之和
D．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小
D
解 析
根据弧度制和角度制的定义可知选项A，B，C均错误，选项D正确．
解
ACD
解 析
探究三　用弧度表示角
[例3] 已知角α＝1 200°，将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角．
解
[变式探究]
本例条件不变，在区间[－2π，2π]上找出与α终边相同的角．
解
1．区域角的表示
(1)将区域内在[0，2π]或[－π，π]范围内的角表示出来．
(2)结合终边相同角的表达式表示区域角．
2．用弧度制表示终边相同的角的两个关键点
(1)用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍．
(2)注意角度制与弧度制不能混用，即不能出现这样的形式：30°＋2kπ，k∈Z，要保持单位制的统一性.
[练3] (1)(2025·南宁高一期中)下图所示的时钟显示的时刻为10：10，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为 (　　)
B
解 析
(2)用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合．
解
探究四　求扇形弧长、面积
[例4] 已知扇形的圆心角为α，所在圆的半径为r.
(1)若α＝60°，r＝3，求扇形的弧长．
(2)若扇形的周长为16，当α为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大面积．
解
1．弓形和扇环均与扇形相关，要结合割补方法直观想象．
2．扇形弧长、面积问题的解题思路
灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键．也可将扇形面积表示为半径的函数，转化为关于r的二次函数求最值问题．
[练4] (2025·开封高一期中)斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是以斐波那契数1，1，2，3，5，8，……为边长比例的正方形拼成矩形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如图，矩形ABCD由若干个符合上述特点的正方形拼接而成，其中AB＝16，则图中的斐波那契螺旋线的长度为 (　　)
A．11π B．12π C．15π D．16π
B
解 析
B
解 析
解 析
解 析

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