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三角函数
第一章
§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质
4．2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
学习目标 1.利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质．
2．能利用正弦、余弦函数的基本性质解决相关的问题．
一、正弦函数、余弦函数的定义域、值域和最值
函数 正弦函数v＝sin α 余弦函数u＝cos α
定义域 R
值域
最小值 当α＝时，vmin＝－1 当α＝π＋2kπ，k∈Z时，umin＝
最大值 当α＝ ，k∈Z时，umax＝1
[－1，1]
－1
2kπ
1
因为单位圆上的点的纵、横坐标都受单位圆的限制，因此，正弦函数、余弦函数均有最大值与最小值，即|sin α|≤1，|cos α|≤1.
二、正弦函数、余弦函数的单调性、周期性
函数 正弦函数v＝sin α 余弦函数u＝cos α
周期性 周期函数，最小正周期为
单调性
在区间
上单调递减 上单调递减；在区间
上单调递增


在区间[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z
[2kπ＋π，2kπ＋2π]，k∈Z
2π
三、正弦函数、余弦函数值的符号
三角
函数 象限
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
sin α ＋ ＋ － －
cos α ＋ － － ＋
1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”．
(1)正弦函数y＝sin x与余弦函数y＝cos x的定义域都是R. (　 　)
(2)函数y＝sin x在[0，π]上单调递减． (　 　)
(3)函数y＝cos x在第一、三象限的函数值为正． (　 　)
(4)函数y＝sin x的最大值为1，最小值为－1. (　 　)
√
×
×
√
C
解 析
解 析
由题意知1＋cos x≠0，即cos x≠－1.
由单位圆可知x的取值为x≠(2k＋1)π，k∈Z，
故原函数的定义域为{x|x≠(2k＋1)π，k∈Z}．
解
解
1．单位圆法是求定义域的简捷方法．
2．求正(余)弦函数定义域、值域的关注点
(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得．对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．
(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以先取特殊值，把不固定的集合写成若干个固定集合，再求交集．
(3)求正弦、余弦函数的值域或最值时应注意定义域，解题时可借助单位圆进行分析．
C
解 析
解
B
解 析
解 析
求正弦函数、余弦函数单调区间的注意点
(1)求出正(余)弦函数的全部单调区间，然后与给定区间求交集．
(2)利用单位圆及正(余)弦函数定义分析．
注意：两个单调区间之间不一定能用并集(当在并区间上仍单调时可并，否则不能并)．
[练2] 求y＝cos x，x∈[－π，π]的单调区间．
解
y＝cos x在x∈[－π，π]上的单调递增区间为[－π，0]，单调递减区间为[0，π].
B
(2)(2025·柳州高一期中)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是 (　　)
A．(－2，3] B．(－2，3)
C．[－2，3) D．[－2，3]
A
解 析
涉及正弦、余弦函数值的符号主要有两类问题
(1)由给定角判断三角函数值或三角函数式的符号．
(2)由正弦值、余弦值的符号判断角的终边的位置或求参数的范围．
[练3] 若sin α>0，cos α<0，则角α的取值集合为___________________．
解 析
D
解 析
函数u＝cos α的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，
令k＝1，得α∈[π，2π]，即为u＝cos α的一个单调递增区间．
而(π，2π) [π，2π]，故选项D正确．
2．(多选)下列三角函数值中符号为负的是 (　　)
A．sin 100° B．cos (－220°)
C．sin (－10) D．cos π
BD
解 析
答案：[－2，1]
解 析
解 析

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