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第一章
三角函数
§5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识
5.1 正弦函数的图象与性质再认识
第2课时　正弦函数的性质
　
学习目标 1.借助图象理解正弦函数在[0，2π]上的性质．(重点)
2．会求简单函数的值域．
3．能利用单调性比较三角函数值的大小．
正弦函数的性质
函数 正弦函数y＝sin x，x∈R
图象
定义域 R
值域 [－1，1]
函数 正弦函数y＝sin x，x∈R
周期性 是周期函数，2π是它的最小正周期
奇偶性 奇函数，图象关于 对称
单调性
最值
原点
函数 正弦函数y＝sin x，x∈R
对称轴
对称中心 (kπ，0)，k∈Z
1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”．
(1)正弦函数在定义域上是单调函数． (　 　)
(2)函数y＝k sin x＋1，x∈R的最大值为k＋1. (　 　)
(3)y＝sin |x|是偶函数． (　 　)
×
×
√
2．已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a的值为 (　　)
A．0 B．1 C．－1 D．±1
A
解 析
由题意，得sin (－x)－|a|＝－sin x＋|a|，所以|a|＝0.故a＝0.
3．函数y＝sin 2x的最小正周期为________．
答案：π
解 析
sin [2(x＋π)]＝sin (2x＋2π)＝sin 2x，故y＝sin 2x的最小正周期为π.
解
解
(2)作出f(x)＝|sin x|的图象，如图．
由图象易知f(x)＝|sin x|是偶函数，最小正周期为π.
1．形如y＝a sin x＋b(x∈R)的函数是周期函数，b＝0时是奇函数．
2．求正弦型函数周期性、奇偶性的注意点
(1)求正弦型函数的周期时要注意结合定义域或图象判断，不要盲目套用结论．
(2)函数为奇函数时其定义域必须关于原点对称，否则不具有奇偶性．如y＝sin x，x∈[0，2π]是非奇非偶函数．
[练1] (1)函数f(x)＝x＋sin x，x∈R (　　)
A．是奇函数，但不是偶函数
B．是偶函数，但不是奇函数
C．既是奇函数，又是偶函数
D．既不是奇函数，又不是偶函数
A
(2)函数f(x)＝lg |sin x|是 (　　)
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为2π的偶函数
C
解 析
(1)f(x)的定义域为R，关于原点对称．
又f(－x)＝－x－sin x＝－(x＋sin x)＝－f(x)．
所以f(x)是奇函数，但不是偶函数．
(2)函数f(x)＝lg |sin x|的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称．
又f(－x)＝lg |sin (－x)|＝lg |sin x|＝f(x)，
故函数f(x)为偶函数.
由f(x＋π)＝lg |sin (x＋π)|＝lg |－sin x|＝lg |sin x|＝f(x)，得f(x)的最小正周期为π.
解 析
解 析
正弦型函数单调性的判断方法
1．求与正弦函数有关的函数的单调性，注意两点：
(1)先求出定义域．
(2)利用“同增异减”得出结论．
2．形如y＝a sin x＋b的函数，当a>0时，其单调性与y＝sin x的单调性相同；当a<0时，其单调性与y＝sin x的单调性相反．
[练2] 函数y＝sin x＋1，x∈[0，2π]的单调递减区间是______________．
解 析
解
解
利用单调性比较正弦函数值大小的方法
1．先将异名化同名(本节课时需都化为正弦)，再将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到正弦函数的同一单调区间，最后利用单调性来比较大小．
2．当不能将各角转化到同一单调区间上时，可借助图象或函数值的符号进行比较．
解
解
所以sin 14°－sin 70°.
所以sin 194°>cos 160°.
解 析
解 析
解 析
1．已知下列函数：①f(x)＝x2sin x；②f(x)＝sin x，x∈[0，2π]；③f(x)＝sin x，x∈[－π，π].其中，奇函数的个数为 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．0
B
解 析
根据奇函数定义，②中x∈[0，2π]违背了定义域要关于原点对称这一要求，所以排除②.
对于①，f(－x)＝(－x)2sin (－x)＝－x2sin x＝－f(x)，是奇函数；
对于③，f(－x)＝sin (－x)＝－sin x＝－f(x)，且定义域关于原点对称，是奇函数．
2．若a＝sin 1，b＝sin 2，c＝sin 3，则 (　　)
A．a>b>c　　　　 B．c>a>b
C．a>c>b D．b>a>c
D
解 析
答案：4π
解 析
4．函数y＝4sin x，x∈[0，2π]的单调递增区间是________________，单调递减区间是________．
解 析
5．函数f(x)＝3sin x－2(x∈R)的最小值为________．
答案：－5
解 析
因为sin x∈[－1，1]，所以f(x)＝3sin x－2∈[－5，1].故最小值为－5.

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