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三角函数
第一章
§5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识
5.2 余弦函数的图象与性质再认识
　
学习目标 1.会用“五点(画图)法”作余弦函数的图象．
2．理解余弦函数的性质，会求y＝A cos x＋B的单调区间及最值．(重点)
3．会利用余弦函数的单调性比较三角函数值的大小，能根据图象解简单的三角不等式．
一、余弦函数的图象
1．余弦函数y＝cos x，x∈R的图象称作余弦曲线．
2．要画出y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，可以通过描出
五个关键点，再用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象．
二、余弦函数的性质
函数 y＝cos x
定义域 R
图象
值域 [－1，1]
奇偶性 偶函数
周期性 以2kπ为周期(k∈Z，k≠0)，2π为最小正周期
函数 y＝cos x
单调性 在区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增；
在区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减
最值 当x＝2kπ，k∈Z时，最大值为1；
当x＝2kπ＋π，k∈Z时，最小值为－1
对称轴 x＝kπ，k∈Z
对称中心
(1)“y＝cos x，x∈R”不具有单调性，但有无穷多个单调区间．
(2)y＝cos x在某个象限内也不具有单调性．
√
×
×
(4)余弦函数y＝cos x在区间[0，π]上是减函数． (　 　)
提示　由余弦函数的单调性可知该说法正确．
√
D
解 析
解 析
探究一　“五点(画图)法”作余弦型函数的图象
[例1] 用“五点(画图)法”作函数y＝2cos x－1，x∈R的简图．
解
y＝2cos x－1，x∈R的周期T＝2π，列表、描点，画出在一个周期内的图象，如图所示．
x 0 π 2π
y＝2cos x 2 0 －2 0 2
y＝2cos x－1 1 －1 －3 －1 1
解
把y＝2cos x－1在[0，2π]上的图象向左右拓展，得y＝2cos x－1在R上的图象，如图所示．
ABC
解 析
解 析
解 析
求余弦型函数的值域或最大值、最小值问题的依据
(1)cos x的有界性．
(2)cos x的单调性．
(3)化为cos x＝f(y)，利用|f(y)|≤1来确定．
(4)通过换元转化为二次函数．
答案：(1)[0，2]　(2){x|x≠2kπ，k∈Z}　(－∞，－1]
解 析
探究三　余弦函数的单调性及应用
[例3] (1)函数y＝1－cos x的单调递减区间是__________________．
(2)cos 110°，sin 10°，－cos 50°的大小关系是_________________．
答案：(1)[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)　
(2)sin 10°>cos 110°>－cos 50°　
解 析
(1)设t＝cos x∈[－1，1]，则y＝1－t.
因为函数y＝1－t在[－1，1]上单调递减，所以函数y＝1－cos x的单调递减区间即函数t＝cos x的单调递增区间，
即为[2kπ－π，2kπ](k∈Z)．
(2)sin 10°＝cos 80°，
－cos 50°＝cos (180°－50°)＝cos 130°.
因为余弦函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，
所以cos 80°>cos 110°>cos 130°，
所以sin 10°>cos 110°>－cos 50°.
[变式探究]
求函数y＝3－2cos (－x)，x∈[－4，4]的单调递增区间．
解
y＝3－2cos (－x)＝3－2cos x，则y＝3－2cos x与y＝cos x的单调性相反．
由函数y＝cos x的单调递减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)，
得y＝3－2cos (－x)的单调递增区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
由[－4，4]∩[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)＝[－4，－π]∪[0，π]，
得函数y＝3－2cos (－x)，x∈[－4，4]的单调递增区间为[－4，－π]，[0，π].
1．形如y＝A cos x＋B(A≠0)的函数的单调区间
(1)当A>0时，其单调性与y＝cos x的单调性一致．
(2)当A<0时，其单调性与y＝cos x的单调性相反．
2．利用单调性比较大小的方法
(1)同名三角函数比较大小，若两角不在同一个单调区间上，应先用诱导公式化为同一个单调区间，再用单调性比较大小．
(2)非同名三角函数比较大小，利用诱导公式化为同名三角函数再比较大小．
[练3] (1)函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
(2)cos 1，cos 2，cos 3的大小关系为________________________．
答案：(1)(－π，0]　(2)cos 1>cos 2>cos 3　
解 析
B
解 析
2．函数y＝－cos x的单调递增区间是__________________________．
答案：[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z　
解 析
根据复合函数的单调性知，
函数y＝－cos x的单调递增区间即函数y＝cos x的单调递减区间．
根据余弦函数的单调性知，函数y＝cos x的单调递减区间为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z，
所以函数y＝－cos x的单调递增区间为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z.
答案：2
解 析
4．画出函数y＝－cos x＋1在区间[0，2π]上的图象．
解
选取五个关键点列表：
x 0 π 2π
y＝cos x 1 0 －1 0 1
y＝－cos x＋1 0 1 2 1 0
然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到函数y＝－cos x＋1在区间[0，2π]的图象，如图所示．
解

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