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定远育才学校2025-2026学年八年级（下）期中检测
数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.化简的结果是 ( )
A. B. C. D.
2.已知，那么的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
4.一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
5.用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为( )
A. B. C. D.
7.如果两个代数式，满足，且是有理数，那么我们称与是关于的“友好代数式”若与是关于的“友好代数式”，是有理数，则的值为( )
A. 或 B. 或 C. D. 或
8.三角形两边长分别为和，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是( )
A. B. 或 C. D.
9.已知，是方程的两个实数根，则( )
A. B. C. D.
10.将一个容积为的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示根据题意，列出关于的方程为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若阴影部分的周长和面积分别是和，则的值为 ．
12.根据图中的程序，当输入一元二次方程的解为时，输出的结果 ．
13.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”如图中的实线其实他们仅仅少走了 ，却踩伤了花草．
14.若关于的方程是一元二次方程，则 ．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：．
16.本小题分
计算：
17.本小题分
解方程：．
18.本小题分
如图，，，，，请你连接．
求线段的长
求四边形的面积．
19.本小题分
已知关于的方程．
求证：方程总有两个实数根；
若方程有一个不小于的根，求实数的取值范围．
20.本小题分
随着“科技兴农，智慧农业”理念的普及，农业无人机正逐渐成为现代农业的重要装备．
某品牌农业无人机年月份销售量为千架．随着春耕备耕需求激增，该品牌无人机的销售量逐月递增，月份的销售量达到千架．求从月份到月份该品牌无人机销售量的月平均增长率．
某农业科技服务公司购进一批农业无人机进行出售，进价为万元架，出售一段时间后发现：当售价为万元架时，平均每周售出架；售价每降低万元，平均每周多售出架，若该公司计划下调售价使平均每周的利润达到万元．求下调后每架无人机的售价．
21.本小题分
某工厂计划生产一批自行车，如图为自行车的实物图，图为其车架部分示意图，经测量，上管，下管，，后下又，后上又根据设计要求需保证，请判断该车架是否符合设计要求，并说明理由．
22.本小题分
像，，这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助构造完全平方的形式进行化简，如再如．
请用上述方法探索并解决下列问题：
化简： ，
若，且，，为正整数，求的值．
23.本小题分
如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”．
通过计算，判断方程是不是“倍根方程”
若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值
已知关于的一元二次方程是常数是“倍根方程”，请直接写出的值．
答 案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
11. 12.或 13. 14. 15.．
16.解：
．
17.解：移项，得，
分解因式，得，
整理，得，
或，解得，．
（一题多解）
移项，得，
展开去括号并合并同类项，得，
，，，
，
，解得，．
18.解：（1）如图．
，，，
，即．
（2），，，
，
是直角三角形，．
在中，
，
在中，
，
．
19.（1）证明：，，， ，方程总有两个实数根．
（2）由可得，， 解得，方程有一个不小于的根，，解得．
20. 解：（1）设从月份到月份该品牌无人机销售量的月平均增长率为，
由题意得：，
解得，不合题意，舍去．
答：从月份到月份该品牌无人机销售量的月平均增长率为；
（2）设每架无人机的价格下调万元，由题意得：，
化简得：，
解得：，不合题意，舍去，
万元．
答：下调后每架无人机的售价为万元．
21.解：该车架符合设计要求，理由如下：，，，．，，．是直角三角形，且．．．
22.解：（1）
（2），
，，均为正整数．或
当，时，
当，时，．
综上所述，的值为或．
23.（1），
，
或，
，方程是“倍根方程”．
（2），
或，
解得，．是“倍根方程”，
或当时，
当时，
综上所述，代数式的值为或．
（3）根据题意，设方程的两根分别为、根据根与系数的关系，
得，，
解得，或，．
的值为或．

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