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上海市杨浦区2025-2026学年高一下学期期中考试数学学科样题
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则下列选项一定成立的是 ．
A. B. C. D.
2.下列函数中在区间上是严格减函数的是 ．
A. B. C. D.
3.已知中，则下列选项不一定成立的是( )
A. B. C. D.
4.定义在上的函数，满足对任意，恒成立则下列说法正确的是
A. 函数一定是常值函数
B. 函数的函数值一定非负
C. 若函数是上的严格增函数，则它一定不存在零点
D. 若函数存在零点，则一定存在，使得．
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.小于的正整数的集合用列举法表示为 ．
6.函数的定义域为 ．
7.若，则 ．
8.指数函数与的图像关于轴对称，则 ．
9.函数的最小正周期为
10.若函数为奇函数，则 ．
11.已知扇形的周长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是 ．
12.若幂函数在时的图象位于直线的下方，则的取值范围为 ．
13.若关于的不等式的解集为空集，则的值为 ．
14.若正实数满足，则的最大值为 ．
15.某底角的斜面上有两根长为米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光．其中一根杆子的影子在水平面上，长度为米；另一根杆子的影子完全在斜面上，其影子长度为 米，结果精确到米．
16.将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像若这两个函数图像的相邻三个交点恰好形成正三角形，则 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合
若，求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知内角，，的对边分别为、、，且满足．
求角的大小；
若，求面积的最大值．
19.本小题分
设为常数，且函数为奇函数．
求的值；
判断函数的单调性，并给出证明；
若，求的取值范围．
20.本小题分
已知，函数的部分图像如图所示．
求函数的解析式
求函数的单调减区间
若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知函数的定义域为，
若，求函数的零点构成的集合；
若，且当时，求函数在上的最小值；
已知对一切恒成立，
求证：“函数存在正整数周期”的充要条件是“函数存在正整数周期”．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.或
12.
13.
14.
15.
16.或
17.解：由，可得，即，
所以故
由，可得，即
所以，解得或．

18.解：由余弦定理，．
又，所以
方法一将代入条件得，，
所以．
因为，得．
解得，当且仅当时取得等号．
所以．
故面积的最大值为，当且仅当时取得最大值．
方法二利用正弦定理，
所以，
代入面积公式得到
其中，则，
所以，当且仅当，即时取得等号．
故面积的最大值为，当且仅当时取得最大值．
19.解：函数为奇函数，则满足，
所以，解得，则．
因为，所以当时，为奇函数，满足题意．
函数在上严格递增证明如下：
当时，，
则，
又因为，所以，，，
所以，即，
故函数在上严格递增．
若，则，
令，则，
要使它小于，需，即，
所以，故结合，得
若，则，
由奇函数性质知，
于是
由于严格递增，恒成立，所以．
综上，．

20.解：由图像可知，．
最小正周期为，所以．
，所以，
因为，所以．
所以函数的解析式为
令，
解得，
所以函数的单调减区间是．
，
所以．
时，，，则，
所以实数的取值范围是
21.解：当时，
，
所以
故零点集合为
由，知，
对，有，所以，
令，则，
因此，
则，
因，故当时，取得最小值；
先证必要性：
若有正整数周期，则，
于是，
所以也有正整数周期；
再证充分性：
若有正整数周期，则，
即，
整理得，
设，则，
所以对任意整数平移都不变．
假设存在某个使，设，即，
则，，
于是对任意正整数，，
当时，，这与矛盾．
故假设不成立，即，都有，故，
所以也有正整数周期．
综上，“有正整数周期”的充要条件是“函数存在正整数周期”．

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