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河南洛阳市2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是( )
A. B.
C. D. 且
2.已知是虚数单位，，复数是的共轭复数，则下列结论错误的是( )
A. B. C. 为纯虚数 D.
3.下列说法正确的是( )
A. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
B. 过空间内不同的三点，有且只有一个平面
C. 棱锥的所有侧面都是三角形
D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
4.如图，儿童玩具纸风车的做法体现了数学的对称美，取一张正方形纸折出“十”字折痕，然后把四个角向中心点翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别向中线对折，把长方形短的一边沿折痕向外侧翻折，然后把立起来的部分向下翻折压平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，这样，纸风车的主体部分就完成了，如图，是一个纸风车示意图，则( )
A. B.
C. D.
5.已知圆台的上、下底面面积分别为，，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为( )
A. B. C. D.
6.在中，角，，的对边分別为，，，若，点是的重心，且，则的面积为( )
A. B. C. 或 D. 或
7.下列四个正方体图形中，，为正方体的两个顶点，，，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是( )
A. B. C. D.
8.在中，，为线段上的动点，且，则最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中错误的为( )
A. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
B. 向量不能作为平面内所有向量的一个基底
C. 已知，且，则
D. 非零向量和满足，则与的夹角为
10.在中，角、、所对的边分别为、、，且，且，则下列说法正确的是( )
A. 的外接圆的半径为
B. 若只有一个解，则的取值范围为或
C. 若为锐角，则的取值范围为
D. 面积的最大值为
11.在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是( )
A. 棱上存在一点，使得平面
B. 点在线段上，则的最小值是
C. 过且与平面平行的平面截正方体所得截面面积为
D. 过的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，已知，直角梯形是一个水平放置的四边形的直观图，且，，则四边形的周长为 ．
13.复数满足，则的最大值是 ．
14.在锐角中，，，分别为角，，所对的边，为的面积，且，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，
求圆柱的表面积；
求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积．
16.本小题分
已知向量满足与的夹角为．
求向量在向量上的投影向量；
求与的夹角．
17.本小题分
设复数，且是纯虚数．
求实数的值；
若是关于的方程的一个根，求实数，的值．
18.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，点为的内心，已知，向量，且．
求角的大小；
延长交于点，若，求的周长．
19.本小题分
如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．
求证：平面；
若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由．
20.本小题分
如图，在中，是的中点，是的重心，过点的直线与边，分别相交于点，设．
若，求的值；
求的最小值；
若是边长为的等边三角形，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设圆锥底面半径为，圆柱底面半径为，则，．
又可知圆柱母线长，圆锥母线长．
圆柱的表面积
．
剩下几何体的体积．
答：圆柱的表面积为，体积为；

16.解：与方向相同的单位向量为．
所以向量在向量上的投影向量为．
由已知得．
所以，
又因为，
所以
设与的夹角为
则，
所以．

17.解：
因为是纯虚数，所以
解得．
由知，，
因为是关于的方程的一个根，
则，
即，
所以
．

18.解：，
由正弦定理，得，
，即
．
点为的内心，为的角平分线，
而
整理得
由余弦定理，可得
将代入可得，
解得．
的周长为

19.证明：取的中点，连接，，
是的中点，
，．
又在四棱锥中，平面，平面，
平面平面，
，且，
，，
四边形是平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
解：由知平面，
取中点，连接，，
，分别为，的中点，
．
平面，平面，
平面．
，、平面，
平面平面，
是上的动点，平面，
平面，
线段上存在点，使得平面．
20.解：为中点，
又为的重心，，
．
由得，
三点共线，
又
当且仅当，即时取等号
的最小值为．
，
由知，，即．
又，
当且仅当时取等号
当时，取得最小值：
即的最小值为．

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