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2026年河北省保定市中考一模数学试题
一、单选题
1．如图，数轴上点A表示的数为，则点A表示的数的相反数是（ ）
A． B．2 C． D．
2．下列整式运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，直线分别交、于G、H，，平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限内，坐标为，且与x轴正半轴夹角的正切值为2，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，由5个大小相同的正方体搭成的几何体，其左视图为（ ）
A． B． C． D．
6．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为（　　）
A．2 B．4 C． D．16
7．如图，已知，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
8．一定质量的氧气在密闭容器中，温度保持不变，压强p（千帕）与体积V（升）成反比例函数关系．当体积为4升时，压强为100千帕．下列结论错误的是（ ）
A．函数解析式为：
B．当体积为5升时，压强为80千帕
C．体积越大，对应的压强越大
D．当压强为200千帕时，体积为2升
9．如图，是某益智小游戏的界面示意图，游戏规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向上或向下随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子M时，小红连续点击两次按钮，“”到达格子K的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，，为中点，过作于，连接交于点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，边长为8的正六边形中，一束激光从的中点P出发，照射到边上的点Q处，经镜面反射后恰好经过顶点C，则的长为（ ）
A． B． C． D．
12．我国古代“律历合一”，黄钟为十二律之首，对应冬至，是古琴定音根基．三分损益法（最早见于《管子·地员篇》）为推演十二律的核心方法，规则如下：（1）三分损一：将律管长度三等分后去一份，余长为原长的，称“下生”，得纯五度高音；（2）三分益一：将律管长度三等分后增一份，新长为原长的，称“上生”，得纯四度低音；（3）以黄钟为基准律，其管长9寸，设基准律长，按“损一→益一”交替推演：第1次得林钟，第2次得太簇，第3次得南吕，第4次得姑洗，……第7次得大吕．按上述规则推演，下列结论不正确的是（ ）
A．太簇对应的律长8寸 B．
C．大吕律长在3寸与4寸之间 D．的律长大于6寸
二、填空题
13．计算：________．
14．如图，用个完全相同的小长方形拼成一个大长方形．已知大长方形的周长为，则一个小长方形的面积为______．
15．如图，在中，，，分别以点、为圆心、的长为半径画弧，交、的延长线于点、．则图中阴影部分的面积为________．
16．平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为“整点”．整点每次平移的规则：横纵坐标之和除以5，若余数为0该点向下平移1个单位，若余数为1向右平移1个单位，若余数为2向上平移1个单位，若余数为3向左平移1个单位，若余数为4不动．已知整点满足，连续平移6次后恰好落在直线上，则点P平移前的横坐标为________．
三、解答题
17．计算、解不等式
(1)计算：
(2)解不等式：
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，在中，，是边上的高线，延长到E，使得，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
20．某校对九年级部分学生的“每周（七天）课外体育锻炼时间”进行了抽样调查．将锻炼时间记为x（单位：小时），并按范围划分为四段：A．；B．；C．；D．．
调查结果整理成如下不完整的统计图表和扇形统计图：
范围 锻炼时间（小时） 频数 频率
A段 5 0.1
B段 10 m
C段 n 0.4
D段 15 0.3
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
(1)本次调查的学生总人数________人；表中________，________；扇形统计图中“A段”所在扇形的圆心角度数为________；
(2)若该校九年级共有600名学生，请估计每周课外体育锻炼时间在小时的学生人数；
(3)请根据上述统计图表中的信息，写出一个当前该校学生体育锻炼时间分布存在的问题，并提出一条针对性的改进建议．
21．如图，中，，以上一点O为圆心过点A作，交于点D．
(1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交、于点E、F；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接，求证：是的切线；
(3)若，，求弧的长．
22．保定高新区某新能源材料公司生产锂电池电解液，需将甲、乙两种原料液按一定比例混合配制．已知每毫升甲、乙两种原料液的生产成本之比为．若使用20毫升甲原料液和30毫升乙原料液进行配制，总成本为360元．
(1)设每毫升甲原料液的成本为a元，用含a的代数式表示：①每毫升乙原料液的成本为________；②取用x毫升甲原料液、y毫升乙原料液时的总生产成本为________．
(2)求甲、乙两种原料液每毫升的成本各是多少元．
(3)按照生产标准配制电解液150毫升时，要求甲原料液用量不少于40毫升，且乙原料液用量y满足．设甲原料液用量为x毫升，总成本为w元．
①求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②当甲、乙两种原料液各取用多少毫升时，总成本最低？最低总成本是多少元？
23．在科技节无人机编队表演中，其中两架无人机同时从地面起飞．设飞行时间为x（单位：秒），飞行高度为y（单位：米）．如图，无人机甲的飞行高度是x的二次函数，其图像经过点和点，且最高点M的坐标为；无人机乙起飞秒后上升至最高点A，此时高度为米，然后开始下降，最后与无人机甲同时落地．
(1)求无人机甲高度关于飞行时间x的函数解析式；
(2)在无人机乙下降过程中，两架无人机何时达到相同高度（不含落地时）？并求出此时飞行的高度．
(3)在飞机整个飞行过程中，求两架无人机的最大垂直距离（垂直距离为同一时刻两机纵坐标之差的绝对值）；
(4)在无人机乙下降的过程中，我们定义：最优垂直距离为“使得两架无人机的最大垂直距离尽可能小的那个距离值”．调整抛物线参数，使其经过点和，且最高点纵坐标不变，t满足，在两无人机首次与第二次处于同一高度的时段内，直接写出t为何值时，两架无人机达到最优垂直距离，并写出该最优垂直距离的值．
24．综合与实践：
数学活动课上，老师开展了闯关比赛活动．如图1，将矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，．点在边或边上运动，将沿直线折叠，点的对应点为，连接，与交于点．
请完成以下闯关任务：
(1)第一关·初试锋芒
如图2，当点在边上且点恰好落在边上时，完成基础探究：
①直接写出：________，________；
②此时与的位置关系是________．
(2)第二关·解锁规律
①当点为边上任意一点时，与在（1）中的位置关系还存在吗？请说明理由．
②如图3，取的中点，连接，当点从点运动到点时，求点的运动路径长．（参考数据：，，）
(3)第三关·终极挑战
当到的距离为时，直接写出所有满足条件的点的坐标．
参考答案
1．B
解：∵数轴上点表示的数为，
∴点A表示的数的相反数是2．
2．D
解：对于选项A：与不是同类项，不能合并，故A错误；
对于选项B：，故B错误；
对于选项C：，故C错误；
对于选项D：，故D正确．
3．A
解：，
．
，
．
平分，
．
4．A
解：过点作轴于点，如图，
根据点在第一象限内，其坐标是，
∴，，
∵与轴正半轴的夹角的正切值为2，
∴，
∴，
∴点，
∴，
∴．
5．C
解：由图可知， 该几何体的结构为：底层共4个正方体，排成前后2行、左右2列，上层1个正方体放在后排靠左的位置，
从左侧观察时：左侧一列2个正方形上下排列，右侧一列仅下方有1个正方形，
故选：C．
6．B
解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴
即
解得，
故选：B．
7．D
解：∵，，
∴，
∵，
∴当时，可以判定；
当时，则，可以判定；
当时，可以判定；
当时，无法判定.
8．C
解：∵p与V成反比例函数关系
∴设
将，代入得 ，解得，
∴函数解析式为；
当时，千帕，
∵，且体积
∴p随V的增大而减小，即体积越大，压强越小；
当时，，解得；
综上，只有选项C错误.
9．C
解：由题意，小红连续点击两次按钮，共有4种等可能的结果，其中到达格子K的结果只有1种，
故.
10．B
解：，
，
∵，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，即点是的中点，
∴为的中位线，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
11．A
解：延长、交于点，作于点，于点，如图所示：
则，
在正六边形中，，则，
由反射光线的性质可知，
，即，
，
，
，
设，则，
，
六边形为正六边形，
，
，
是中点，
，
在中，，，
，
在正六边形中，，，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
过点作，如图所示：
由等腰三角形三线合一性质可知平分，且是边上的中线，
在中，，
，，
，
，则，
解得，
，
．
12．C
解：根据规则，第次推演，为奇数时本次为损一，长度乘以，为偶数时本次为益一，长度乘以，
已知，依次计算得：
∵，，
∴选项A正确；
∵，，
∴，选项B正确；
∵，
∴ 选项D正确；
计算得：
，，，
∵，即不在寸与寸之间，
∴选项C错误．
13．2
解：
14．
解：设小长方形的长为，宽为，
由图可得，，
解得，
∴一个小长方形的面积为．
15．
解：如图，过点作于点，
，，
，．
．
．
．
．
，
．
16．8
解：由题意得，记第次平移后点的坐标为，为横纵坐标之和，
则，，
∴余数为，
∴第次向右平移个单位，
∴；
∴，余数为，
∴第次向上平移个单位，
∴；
∴，余数为，
∴第次向左平移个单位，
∴；
∴，余数为，
∴第次向上平移个单位，
∴；
∴，余数为，
∴第次向左平移个单位，
∴；
∴，余数为，
∴第次向上平移个单位，
∴，
∵平移次后点落在直线上，
∴满足，
∴代入得：
，
联立得，
∴两式相加得
解得．
17．(1)
(2)
（1）解：
；
（2）解：
解得．
18．，
解：
，
当时，原式．
19．(1)见解析
(2)96
【详解】（1）证明：∵，是边上的高线，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵是边上的高线，即，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴菱形的面积．
20．(1)50，，20，
(2)估计每周课外体育锻炼时间在小时的学生人数约有420人；
(3)见解析
（1）解：（人），
，
（人），
；
（2）解：（人），
答：估计每周课外体育锻炼时间在小时的学生人数约有420人；
（3）解：存在的问题：该校学生平均每周运动不足4小时的人数不到一半．
建议：增加学生的课外活动时间，组织学生及时参加体育锻炼（答案不唯一）．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)
（1）解：如图，直线即为所求：
（2）证明：连接，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
是直角三角形，，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（3）解：，
，
，
，
，
，
的长为．
22．(1)①元；②元
(2)甲原料液成本：元毫升；乙原料液成本：8元毫升
(3)①；②甲取75毫升，乙取毫升时，总成本最低，为元
（1）解：①∵甲、乙每毫升成本比为，甲为元毫升，
∴乙的成本为元毫升；
②∵取用毫升甲、毫升乙，
∴总成本为；
（2）解：由题意得，
解得，
∴甲原料液成本：元毫升；乙原料液成本：元毫升；
（3）解：①∵甲用量为毫升，
∴乙用量毫升，
∴总成本
，
∵甲用量不少于40毫升，即；，即，
∴
解得，
解得，
∴的取值范围：，函数关系式为；
②∵在函数中，，
∴随的增大而减小，
∵要使总成本最低，
∴取的最大值，
此时，甲用量：75毫升；乙用量：毫升，
最低总成本：元．
23．(1)
(2)在无人机乙下降过程中，两架无人机在5秒时达到相同高度，相同高度为15米．
(3)
(4)当秒时，最优垂直距离为米．
（1）解：由题意可知：无人机甲的飞行高度为二次函数，已知顶点，
设顶点式．
代入点得：，解得：．
所以，即．
（2）解：由题意可知：无人机乙下降过程是一次函数，且经过顶点，
设无人机乙下降过程的函数解析式为：，
，解得：，
∴无人机乙下降过程的函数解析式为：，
联立，解得：或（不合题意，舍去）；
∴在无人机乙下降过程中，两架无人机在5秒时达到相同高度，相同高度为15米．
（3）解：垂直距离，分两段讨论：
① 乙起飞段：时，易得：，
，
∴对称轴为，
令，解得：或，
如图，当时，随的增大而增大，
∴时，；
∴的最大值为．
② 乙下降段：时，
令，解得：或，
∴对称轴为，
如图：当时，；
当时，；
当时，；
则当时，时，；
综上，两架无人机的最大垂直距离．
（4）解：由乙无人机过和，最高点纵坐标不变20，
∴，
设，顶点横坐标，代入顶点：
，解得：，
∴．
令，
，解得：
∵“最优垂直距离”指在时间x的取值范围为，最大垂直距离的最小值，且，
∴，
∵，
∴两架无人机的最大垂直距离，
∴抛物线开口方向向上，对称轴为，即当时，随t的增大而增大，
∵，
∴当时，有最小值，
∴当秒时，最优垂直距离为米．
24．(1)，；垂直
(2)存在，理由见解析；
(3)点的坐标为或或或
（1）解：四边形是矩形，
，，，
由折叠可知，，，
在中，，
，
设，则，
在中，，
即，解得，
即；
由折叠可知，是的对称轴，即垂直平分，
；
（2）解：存在，仍然成立；
理由：由折叠可知，点与点关于直线对称，
根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对应点的连线，
垂直平分，
；
由知，，
，
是的中点，
，
，
，是定值，
点的运动轨迹为以为圆心，半径为的一段圆弧，
当点在点时，点与点重合；当点运动到点时，如图所示，
此时，
，
，
点的运动路径长为；
（3）解：当点在边上，在上方时，如图所示，过点作交于，交于，作于，则四边形、、是矩形，
当到的距离为时，即，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
即，解得，
即，
，
；
当点在边上，到下方时，如图所示，过点作交于，交于，作于，则四边形、、是矩形，
当到的距离为时，即，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
即，解得，
即，
，
；
当点在边上，如图所示，过点作轴交轴于，作轴于，过点作于，则四边形、、是矩形，
如图，当点在第三象限时，
当到的距离为时，即，
，
，
，
设，则，
，，
在中，，
即，解得，
，
；
如图，当点在第二象限时，
当到的距离为时，即，
，
，
，
设，则，
，，
在中，，
即，
解得，
，
；
综上，满足条件的点的坐标为或或或．

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