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2025-2026学年九年级数学第二次中考模拟试卷
　　　　　　　　　　 （满分：120分）
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．2026的相反数是（ ）
A．2026 B． C． D．
2．若方程是二元一次方程，则m，n的值分别为（ ）
A．2， B．，0 C．3，0 D．，0
3．某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额（单位：元）为：30，50，50，60，60．若捐款最少的员工又多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，不受影响的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．以上全部
4．如图，在正方形中，对角线交于点，若，则正方形的周长为（ ）
第4题图 第5题图 第6题图
A． B．4 C． D．8
5．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤若点，在二次函数的图象上，则．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③⑤ C．①④⑤ D．①③④⑤
6．如图，是的直径，是的弦，，垂足为，若，，则的长为（ ）
A．13 B．12 C．10 D．8
7．美美和好好玩一种数字卡片的游戏，美美手持分别标有数字1，4，5的三张卡片，好好手持分别标有数字2，3，6的三张卡片．两人各随机出一张卡片，若美美出的卡片数字比好好大，美美胜，则美美获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，反比例函数的图象过点A，正方形的面积为4，则k的值是（ ）
第8题图 第9题图 第10题图
A．2 B． C． D．4
9．如图，是的直径，点，在上，，过点作的切线交的延长线于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，，以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧（两弧半径相等）交于点G，作射线，交边于点D，过点B作，垂足为F，的延长线交边于点H，交过点A平行于的直线于点E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．已知，则的值是_________．
12．如图，等边三角形的顶点在轴上，顶点在轴上，顶点在反比例函数的图象上，且轴，则_____________．
第12题图 第13题图 第14题图
13．如图所示为一张矩形纸片，点为边的中点，点在边上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与交于点，的延长线过点．若，则____．
14．砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的砖雕作品，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O．已知的长为，和的长分别为和，则该砖雕的面积为______．
15．如图，平分，在上取一点P，作，已知，的面积为，点是射线上一动点．则长度的最小值为_________．
第15题图 第16题图 第17题图 第18题图
16．如图，在菱形中，，，P为线段上一动点，以为折痕将四边形折叠得到四边形，与交于点Q，当为直角三角形时，折痕的长为______．
17．如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为16，边分别在x轴、y轴上，点D在上．连接，将四边形沿折叠得到四边形，点E恰好落在x轴上，则点D的坐标为________．
18．已知一个平面图形，其下方为一个矩形，上方为一个以矩形一边为直径的半圆（如图所示），设， ，那么这个平面图形的面积是______（用，的代数式表示）．
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）解下列各题
(1)计算：； (2)解不等式组，并写出它的所有整数解．
20．（本题6分）如图，在四边形中，，对角线平分，过点B作交的延长线于点E，过点B作，交于点G，交于点F．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若点F是的中点，，求的长．
21．（本题6分）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴的正半轴上，且的面积为24，反比例函数的图象经过的中点．
(1)求的值．
(2)若点，在反比例函数的图象上，且点，的横坐标
分别为2，6，请直接写出直线的表达式和的面积．
22．（本题6分）在平面直角坐标系中，已知点，，且a，b满足．若动点P从点A出发向x轴的负半轴方向运动，同时动点Q从点B出发向y轴正半轴方向运动，P、Q两点的运动速度之比为，运动过程中直线和交于点M．
(1)直接写出点A，点B的坐标；
(2)当点M在第二象限时，探究三角形和三角形面积之间的数量关系，并说明理由；
(3)若三角形的面积等于7，求点M的坐标．
23．（本题6分）如图，是的直径，是的弦，点D是的中点．过点D作交的延长线于点E．四边形内接于，是的直径，连接．
(1)若，求的度数；
(2)求证：是的切线；
(3)若，试探究线段之间的数量关系．
24．（本题8分）如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点C，与x轴交于点D．动直线轴，与直线，分别交于，．
(1)求k，b的值；
(2)当时，直接写出t的取值范围；
(3)在直线上有一点P，使的面积为6，求P点的坐标．
25．（本题8分）如图1，黔东南山区的茶园层层叠叠，研学小组深入茶园开展实地测量工作，并绘制了观测截面示意图如图2所示．在茶园底端平坦的观测点A处，同学们抬头测得茶园顶端B的仰角为；随后沿水平方向朝着茶园方向步行30米，抵达观测点C，在C点竖直向上搭建了一段高12米的测量平台（与地面垂直），站在平台顶端D处，再次测得茶园顶端B的仰角为．设点E是B点在地面上的投影，已知A、C、E三点在同一条水平直线上，垂直于地面．（参考数据：，，，，结果保留整数）
请结合示意图和已知条件，解答下列问题：
(1)求茶园顶端B到水平地面的垂直高度的长；
(2)求观测点A到茶园顶端B在水平地面上投影点E
的水平距离的长．
26．（本题8分）龙东地区某中学为了解学生对“黑土文化”的了解程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果分为“比较了解”“了解一点”“不了解”三个等级，绘制了如下不完整的扇形统计图和条形统计图，请根据统计图信息解答下列问题：
(1)本次调查抽取的学生人数为________；
(2)补全条形统计图和扇形图的 %；
(3)若该校共有1200名学生，估计该校对“黑土文化”“了解一点”的学生人数；
(4)若从“了解一点”的3名男生和2名女生中随机抽取2人参加黑土文化宣传活动，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
27．（本题10分）为庆祝我市民族文化节，学校计划用无人机灯光秀呈现风雨桥的轮廓，其中一段核心灯光轨迹形成一条抛物线，其函数解析式为，已知该抛物线的对称轴为直线，它与代表表演场地水平面的x轴交于点和点B，与代表垂直高度的y轴交于点C．
(1)求这段无人机灯光轨迹对应的抛物线的函数解析式；
(2)为保障表演安全，工作人员需要在y轴上确定一个操控台，当时，求线段的长度；
(3)为调整最佳观赏视角，需限定无人机在x取值为的范围内时，抛物线的最大值为，求的值．参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B B B D B C D A
11．
12．
13．
14．140
15．
16．
17．
18．
19．（1）解：
；
（2）解：，
解①得，
解②得，
∴不等式组的解集是，
∴所有整数解有：．
20．（1）证明：，
，
，
，
，
，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵点F是的中点，
，
∵平分，
，
，，
，
，
在中，，
，
∵在矩形中，，
，
，
，
．
21．（1）解：设点，点，
的面积为24，反比例函数的图象经过的中点，
，，
，，
．
（2）解：根据题意，得反比例函数的解析式为，
当时，，
∴；
当时，，
∴；
设直线的解析式为，
根据题意，得，
解得，
∴．
如图，过点P作轴于点N，过点Q作轴于点M，令交于点G，
∴，
，
根据反比例函数的性质，得，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．（1）解：由于，
则，
解得，
，；
（2）解：三角形和三角形面积相等，理由如下：
如图，此时点M在第二象限，
根据题意，P、Q两点的运动速度之比为，
则设、，
由（1）知，，，
、，
、，
，
，
；
（3）解：分情况讨论：
①当点M在第二象限时：
如图，连接，过点作轴、轴于点、，
设，其中，
、，
由（2）知，，
，
，
即，
，
，
，
，
将代入得：
，
，
，
；
②当点M在第四象限时：
如图，连接，过点作轴、轴于点、，
设，其中，
、，
由（2）知，，
、，
，
，
，
，
，
，
，
将代入得：
，
，
，
此种情况不符合题意；
综上所述，点的坐标为．
23．（1）解：如图，连接．
∵是的直径，
∴．
∵，
∴，
则 ABC是等腰直角三角形．
∴；
（2）证明：如图，连接．
∵点D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（3）解：如图，过点G作交于点H，使．
∵，
∴，
∴，
则①．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
则②．
①与②等号左右两边分别相加得，．
则．
∵是的直径，
∴．
∵在中，，
∴，
则．
代入得，．
24．（1）解：根据题意，直线经过点，，
根据题意，得，
解得，
（2）解：由（1）可得，的解析式为，
根据题意，得，
解得，
故．
∵动直线轴，与直线，分别交于，．
∴当时，t的取值范围为；
（3）解：设P点的坐标为．
当时，，解得，
∴，
∴
∵的面积为6，
∴
即，
解得或
∴P点的坐标为或．
25．（1）解：过点D作交于点G，如图所示，
设．
、都垂直于地面，
∴四边形是矩形．
，米，．
在中，，，
．
∵在中，，，，，
，
解得（米）．
（米）．
答：茶园顶端B到水平地面的垂直高度约为42米．
（2）解：由（1）得：（米）．
答：观测点A到茶园顶端B在水平地面上投影点E的水平距离约为60米．
26．（1）解：总人数人．
（2）解：“了解一点”的人数人．
“了解一点”比例，
“比较了解”比例，
补全统计图如图：
（3）解：该校对“黑土文化”“了解一点”的学生人数人；
（4）解：列表如下，
男1 男2 男3 女1 女2
男1 男1，男2 男1，男3 男1，女1 男1，女2
男2 男2，男1 男2，男3 男2，女1 男2，女2
男3 男3，男1 男3，男2 男3，女1 男3，女2
女1 女1，男1 女1，男2 女1，男3 女1，女2
女2 女2，男1 女2，男2 女2，男3 女2，女1
共有20种情况，1男1女有12种情况，
故恰好抽到1名男生和1名女生的概率 ．
27．（1）解：∵抛物线的函数解析式为，其对称轴为直线，
∴，解得．
又∵抛物线经过点，
∴，解得．
故这段无人机灯光轨迹对应的抛物线的函数解析式为．
（2）解：当时，即，解得或．故点B的坐标为．
当时，，故点C的坐标为．
设坐标为．
在中， ，，，
∴是等腰直角三角形，．
当，存在两种情况：
①点在点的上方，如图：
此时．
在中，，即，解得．
此时点坐标为．
线段．
②点在点的下方， 如图：
此时．
在中，．即，解得．
此时点坐标为，
线段．
综上所述，线段的长度为或．
（3）解：抛物线解析式为，化为顶点式为．抛物线开口向下，顶点坐标为．
根据对称轴的位置不同，函数最大值取值有三种不同情况：
情况一：当时，即，此时函数在范围内，随增大而增大，最大值在处取得，
∴，
整理得，解得．因为，所以．
情况二：当时，即，此时函数的最大值为顶点的纵坐标．．
则，解得．此解不满足的条件，故舍去．
情况三：当时，此时函数在范围内，随增大而减小，最大值在处取得．
∴．
整理得，解得．因为，所以．
综上所述，的值为或．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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