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九年级数学试题
一、选择题（在各小题给出的四个进项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号.本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，、、表示有理数，则、、的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
2．下列立体图形的俯视图为圆的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线，若，则的度数为（ ）
A．152° B．138° C．128° D．142°
6．如图，是一个可以自由转动的转盘，转动该转盘，当转盘停止时，指针落在的区域可能性最大的是（ ）
A．红色区域 B．黑色区域 C．黄色区域 D．不能确定
7．如图，平地上，两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点，并分别找到和的中点，，测量得米，则、两点间的距离为（ ）
A．30米 B．32米 C．36米 D．48米
8．某种蓄电池的电压（单位：V）为定值，使用此电源时，电流（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示.则当时，的值是（ ）
A．2.4 B．5 C．12 D．60
9．如图，在中，以为直径的经过点，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，画射线分别交弦、于点，，连接.下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．点为弦的中点 D．点为劣弧的中点
10．已知二次函数的图象如下图所示，对称轴为直线，经过点，下列结论：①，②，③对任意实数，都有，④当时，随的增大而增大，其中，正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（请将答案写在答题卡上指定位置。本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____________.
12．化简的结果为_____________.
13．中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远，《九章算术》、《周碑算经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著.实验中学拟从这4部数学名著中选择两部作为校本课程“数学文化”的学习内容，则学校恰好选中《周髀算经》的概率为_____________.
14．已知点和是反比例函数（为常数，）图象上的两点，当时，，则的值可以是_____________.（只写一个）
15．如图，在中，，点是边的中点，连接，将沿翻折至，交于点，连接.若，则（1）的长为______________；（2）的面积为______________.
三、解答题（本题共9小题，共5分，请将答案写在答题卡上指定的位置）
16．计算：.
17．如图，在平行四边形中，，是对角线上的两点，连接，，，.若_____________，则四边形是平行四边形.有以下选项：①；②；③，请你从三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并写出证明过程.
18．如图，湖中一古亭，湖边一古柳树，某活动小组赏景之余，为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳处测得古亭位于北偏东60°，他们向南走50m到达点，测得古亭位于北偏东45°，求古亭与古柳之间的距离的长（参考数据：，，结果精确到1m）
19．2025年11月25日长征二号运载火箭成功发射，我国航天再添辉煌.实验中学为了解本校学生对航天科技的关注程度，组织八、九年级学生进行航天知识竞赛（满分100分），并分别从两个年级中随机抽取了20名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示），共分为四组，A组：； B组：；C组：；D组：，
下面给出了部分信息：
八年级20名学生的成绩为：68，69，77，84，85，86，86，86，89，90，90，94，94，94，94，97，98，99，100，100.
九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：81，86，88，88，89.
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
八年级 89 90
九年级 89 92
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：_____________；_____________，_____________；
（2）根据以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好？请说明理由；（写一条）
（3）若该校八年级有500人，九年级有600人，且得分在90分及以上为优秀，请估计这两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生人数.
20．把正整数1，2，3，4，……排成如下一个数表.
（1）2026在第_____________行，第_____________列；
（2）第行第3列的数是_____________（用含的代数式表示）
（3）嘉嘉和淇淇玩数学游戏，嘉嘉对淇淇说：“你从数表中挑一个数，按如图所示的程序计算，只要你告诉我所得的数在第几行，我就知道你挑的数在第几行.”你认为嘉嘉说得有道理吗？请说明理由.
21．如图1，内接于，点为的中点，连接，，平分交于点.
（1）求证：；
（2）如图2，若经过点，过点作的切线交的延长线于点，若，，求阴影部分的面积.
22．跨学科主题学习活动中，小明同学对小球在水平轨道上滚动距离随运动时间变化的关系开展深入探究.小明先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务.
【设计实验方案】如图1，一个黑色小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到水平木板处开始，用仪器测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：s），滚动距离（单位：cm）的数据.
【收集数据】
运动时间/s 0 2 4 6 8 10 …
滚动距离/cm 0 26 48 66 80 90 …
【建立模型】根据表格中的数值，在图2的平面直角坐标系中描点，连线，通过观察图象发现，可以用二次函数近似表示与的函数关系.
【应用模型】
（1）直接写出与的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
（2）求小球在水平木板上滚动的最大距离；
（3）若小球到达木板处的同时，在前方48cm处有一辆电动小车，以3cm小的速度匀速向右直线运动，则小球能否追上小车？请说明理由.
23．如图，在正方形中，点在边上，连接，将四边形沿直线折叠，点，的对应点分别为点，，的延长线分别与，延长线交于点，.
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若为的中点，证明：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，分别交，于点，，求.
图1 图2 图3
24．二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过，两点.
（1）如图1，求二次函数的表达式；
（2）如图2，点为该二次函数在第一象限内图象上的一点，连接与直线相交于点，连接，若，求点的坐标；
（3）定义：若点满足，则称点为“阶融合点”.例如：满足，则称点为一个“5阶融合点”.如图3，将二次函数的图象轴左侧部分沿过点且垂直于轴的直线翻折，将二次函数的图象第四象限内部分沿轴向上翻折，与二次函数在第一象限内的图象组成新的函数图象（如图中实线部分），若函数图象上有且只有2个“阶融合点”，求的取值范围.
图1 图2 图3

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