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榆树市教育联盟4月份质量检测九年级数学试题
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）在﹣9，0，﹣2，，+100，﹣0.5中，负数的个数有几个（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（3分）下列几何体中，主视图可能是三角形的是（　　）
A．球体 B．圆柱 C．圆锥 D．长方体
3．（3分）下列说法不正确的是（　　）
A．三角形的外角可能小于它的内角
B．三角形中最多有一个钝角
C．大于劣弧的弧叫作优弧
D．多边形的内角和不可能等于1000°
4．（3分）以下是小李记录的自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），62，68，70，62，70，70，88，则下列关于小李该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（　　）
A．众数为62分钟 B．中位数为62分钟
C．平均数为70分钟 D．方差为0
5．（3分）测量跳远成绩时，要把卷尺的端点固定在落地点（脚跟处），再把卷尺拉向踏板，使卷尺与踏板前沿边线垂直，最后量出长度．其中的数学道理是（　　）
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．点到直线的距离
D．过一点有且只有一条直线
6．（3分）如图，某校数学兴趣小组在A处用仪器测得一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°，仪器与气球的水平距离BC为20米，且距地面高度AB为1.5米，则气球顶部离地面的高度EC是（　　）
A．（1.5+20sin21.8°）米 B．（1.5+20cos21.8°）米
C．（1.5+20tan21.8°）米 D．米
7．（3分）如图，已知钝角∠BAC，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，作射线AD，过点D作DC⊥AC，垂足为点C，过点D作DB∥AC，交AB于点B．若AC＝2，AD＝5，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．5
8．（3分）如图， ABCD的顶点A，B的坐标分别是（﹣1，0），（0，﹣2），顶点C，D均在函数 的图象上，AD交y轴于点E，若S四边形ABCD＝6S△ABE＝12，则k的值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．（3分）计算：2﹣1÷20＝　 　 ．
10．（3分）已知三角形的三边长分别是3，8，x，则x的取值范围是　 　 （用“＜”表示）．
11．（3分）若点A（2，y1），B（﹣1，y2）都在直线y＝﹣3x+4上，则y1与y2的大小关系是 　 　 ．
12．（3分）已知∠A与∠B的两边分别平行，其中∠A为x°，∠B的为（240﹣2x）°，则∠A＝　 　 度．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A恰好落在CD边上的点G处．则图中阴影部分的面积等于　 　 ．
14．（3分）如图，点D在等边三角形ABC的边BC上，∠ADE＝60°，若AB＝12，CD＝4，则CE的长为　 　 ．
三．解答题（共10小题，满分78分）
15．（5分）先化简，再求值：（x﹣3y）2﹣（x+3y+5）（x+3y﹣5），其中x＝﹣1，y＝2．
16．（5分）为了探索船厂历史发扬水师精神，在2011年，船营区人民政府出资建设了吉林水师营博物馆．该博物馆坐落在吉林省吉林市船营区德胜路206号，向社会免费开放．小吉与小林两名同学约定本周日从学校出发，骑行去吉林水师营博物馆参观．已知从学校到吉林水师营博物馆的骑行路线有A，B，C三条，小吉和小林各自随机选择一条骑行路线，请用画树状图法或列表法求两人恰好选择同一条路线的概率．
17．（6分）图①，图②、图③都是6×6的网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC顶点A、B、C均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺按要求作图，并保留作图痕迹．
（1）在图①中画出△ABC的BC边上的中线AD；
（2）在图②中△ABC的AC边上确定一点E，使；
（3）在图③中△ABC的AB边上确定一点F，使2AF＝3BF．
18．（5分）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下“今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？”大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家．请你解决此问题．
19．（6分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点F，且BD平分∠ABC，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．
（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）若CF＝5，CD＝13，求△BDE的面积及sinE的值．
20．（9分）某果园共收获5万箱鸭梨，为估算该果园鸭梨总产量，从中随机抽取n箱进行称重，单箱净重（单位：kg，精确到0.1）分别有：9.8，9.9，10.0，10.1，10.2，根据数据，绘制了如图1和图2所示尚不完整的统计图．
根据以上信息解答问题；
（1）求n的值及α的度数，并补全条形统计图；
（2）直接写出这n箱鸭梨的单箱净重的中位数与众数；
（3）计算这n箱鸭梨的单箱净重的平均数，并估算该果园鸭梨总产量．
21．（9分）随着科技的进步，机器人的种类日益繁多，应用场景更加广泛．某机器人实验基地的科研人员对新型智能机器人进行测试．甲，乙，丙三个测试点依次分布在一条直线上，测试点乙距离甲处120m，测试点丙距离甲处320m．一款新型智能机器人某段时间内一直在甲，乙，丙三个测试点之间活动，从甲处匀速走到乙处，停留一段时间后，继续匀速走到丙处，停留8min后，从丙处匀速返回甲处．该款新型智能机器人在这段时间内离测试点甲的距离y（m）随离开测试点甲的时间x（min）变化关系图象如下．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）该智能机器人从甲处出发到回到甲处一共用了多长时间？
（2）该款新型智能机器人在乙处停留了多长时间？
（3）图中点A表示的意义是什么？
22．（9分）数学课本上有一题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．求证AE＝EF．
（1）课本中给出证法提示：取AB的中点G，连接EG．请你在图1中补全图形并证明结论；
（2）若点E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEF是等腰直角三角形，∠AEF＝90°．
①如图2，连接CF，请你求出∠DCF的大小；
②填空：如图3，连接DF，当，时，则△ADF的面积为 　 　 ．
23．（12分）△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC＝BC，△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF＝FP．
（1）如图1，直接写出AB与AP的数量关系：　 　 ，AB与AP的位置关系：　 　 ；
（2）将△EPF沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AB于点O，交AC于点Q，连接AP，BQ，求证：∠ABQ＝∠APQ；
（3）将△EPF沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ，试探究∠ABQ与∠APQ满足的数量关系，并说明理由；
（4）若AC＝BC＝1cm，AB＝cm，点P在CB的延长线上继续向左平移，当∠CBQ：∠CBA＝3：2时，请直接写出△CBQ与△CBA的面积之比．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴相交于点A（0，﹣3），与x轴相交于点B（3，0），D（d，0）．
（1）求抛物线C1的函数表达式及d的值．
（2）M是抛物线上的一点，且在第四象限内．
①如图1，当点M到x轴的距离为3时，△BDM的面积为 　 　 ．
②如图2，过点M作MN⊥AB于点N，当线段MN最大时，求此时点M的坐标．
（3）将抛物线沿x轴翻折，得到抛物线C2，点P（横坐标为x）在抛物线C2上，其最大值为m，最小值为n．若对于任意t﹣1≤x≤t+1，m﹣n≤6恒成立，请直接写出实数t的所有整数值的和．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B． C C C C C A D
9．
．
10．
5＜x＜11．
11．
y1＜y2．
12．
80或60．
13．
9．
14．
．
15．
解：原式＝x2﹣6xy+9y2﹣[（x+3y）+5][（x+3y）﹣5]
＝x2﹣6xy+9y2﹣[（x+3y）2﹣25]
＝x2﹣6xy+9y2﹣（x2+6xy+9y2﹣25）
＝x2﹣6xy+9y2﹣x2﹣6xy﹣9y2+25
＝25﹣12xy；
当x＝﹣1，y＝2时，
原式＝25﹣12×（﹣1）×2
＝25+24
＝49．
16．
解：列表如下：
小吉 小林 A B C
A （A，A） （A，B） （A，C）
B （B，A） （B，B） （B，C）
C （C，A） （C，B） （C，C）
共有9种等可能的情况，其中两人恰好选择同一条路线（记作事件M）的情况有3种，
∴．
17．
解：（1）如图①，AD即为所求．
（2）如图②，取格点H，使CH＝3，且∠BCH＝90°，连接BH交AC于点E，
则点E即为所求．
（3）如图③，取格点M，N，使AM：BN＝3：2，且AM∥BN，连接MN交AB于点F，
则△AFM∽△BFN，
则AF：BF＝AM：BN＝3：2，
即2AF＝3BF，
则点F即为所求．
18．
解：设城中有x户人家，
根据题意得：x+＝100，
解得：x＝75，
答：城中有75户人家．
19．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）解：∵AD∥BC，点E在BC的延长线上，
∴AD∥CE，
∵DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴CE＝AD＝BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BDE＝∠BFC＝90°，
∵CF＝5，CD＝13，
∴DE＝AC＝10，CD＝BC＝CE＝BE＝13，
∴BE＝2CD＝26，
∴BD＝＝24，
∴S△BDE＝BD DE＝×24×10＝120，
∴△BDE的面积为120，
∴sinE＝＝＝．
20．
解：（1）由题意得：10.1kg所占百分比为：，
故抽取的总箱数为：5÷25%＝20（箱），
即n＝20，
10.0kg所对的箱数为：20﹣1﹣3﹣5﹣3＝8（箱），
10.0kg所对圆心角＝，
即α＝144°．
补全条形统计图如图：
（2）根据条形统计图可得：这20箱鸭梨的单箱净重的中位数是10.0kg，
众数是10.0kg．
（3）∵＝10.03（kg），
∴这20箱鸭梨的单箱净重的平均数为10.03kg，
∴该果园鸭梨总产量为：10.03×50000＝501500（kg）．
21．
解：（1）由函数图象可得：该智能机器人从甲处出发到回到甲处一共用了52min；
（2）由函数图象可得：该款新型智能机器人在乙处停留的时间为：14﹣8＝6（min）；
（3）由题意可知，点A的横坐标为24+8＝32，故点A的坐标为（32，320），
所以图中点A表示的意义是该款新型智能机器人离开测试点甲32分钟时，离测试点甲的距离为320米．
22．
（1）证明：如图，取AB的中点G，连接EG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90，
∵点E是BC的中点，点G是AB的中点，
∴，，
∴BE＝CE＝BG＝AG，
∴，
∴∠AGE＝135°，
∵CF是正方形外角平分线，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝∠BCD+∠DCF＝135°＝∠AGE，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
在△AEG和△EFC中，
，
∴△AEG≌△EFC（ASA），
∴AE＝EF；
（2）解：①如图，在AB上截取AH＝CE，连接EH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90，
∴AB﹣AH＝BC﹣CE，
即BH＝BE，
∴∠BHE＝∠BEH＝45°，
∴∠AHE＝135°，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝AF，∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
在△AEH和△EFC中，
∴△AEH≌△EFC（SAS），
∴∠ECF＝∠AHE＝135°，
∴∠DCF＝45°；
②如图，过点F作MN∥CD，分别交AD延长线于点M，BC延长线于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝∠ADC＝90°，AM∥BN，，
∴四边形CNMD是矩形，
∴DM＝CN，，∠M＝∠N＝90°，
由①可知∠DCF＝45°，
∴△CNF是等腰直角三角形，
∴CN＝FN，，
设FN＝CN＝DM＝x，则，，
∵，
∴DF＝2x，
在Rt△DMF中，，
∴x＝1，
∴，
∴，
故答案为：．
23．
（1）解：∵AC⊥BC，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
同理可得，∠FEP＝∠FPE＝45°，
∴∠CBA＝∠FPE，∠CAB+∠FEP＝90°，
∴AB＝AP，AB⊥AP；
故答案为：AB＝AP，AB⊥AP；
（2）证明：∵∠FPE＝45°，∠ACP＝90°，
∴∠CQP＝∠CPQ＝45°，
∴CQ＝CP，
在△BCQ和△ACP中，
，
∴△BCQ≌△ACP（ SAS），
∴∠CBQ＝∠CAP，
∵∠ABC＝45°＝∠ABQ+∠CBQ，
而∠CAP+∠APQ＝90°﹣∠CPQ＝45°，
∴∠APQ＝∠ABQ．
（3）解：∠APQ+∠ABQ＝180°，
理由如下：
∵∠CPQ＝∠FPE＝45°，∠PCQ＝90°，
∴∠CPQ＝∠CQP＝45°，
∴CQ＝CP，
在△BCQ和△ACP中，
，
∴△BCQ≌△ACP（ SAS），
∴∠BQC＝∠APC，
∴∠APQ＝∠APC+∠QPC＝∠APC+45°＝∠BQC+45°，
而∠ABQ＝∠ABC+∠QBC＝45°+∠QBC，
∴∠APQ+∠ABQ＝∠BQC+45°+45°+∠QBC＝180°．
（4）∵∠CBQ：∠CBA＝3：2，∠CBA＝45°，
∴∠CBQ＝67.5°，
如图，
在CQ上截取CG＝CB＝1，而AC⊥BC，
∴∠CBG＝∠CGB＝45°，，
∴∠GBQ＝67.5°﹣45°＝22.5°，
而∠BQC＝90°﹣∠CBQ＝22.5°，
∴，，
∴．
24．
解：（1）把A（0，﹣3），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，得：
，
解得：，
∴抛物线C1的函数表达式y＝x2﹣2x﹣3，
把D（d，0）代入y＝x2﹣2x﹣3，得：
y＝x2﹣2x﹣3，
解得：d1＝﹣1，d2＝3（不合题意，舍去），
∴D（﹣1，0），
∴d＝﹣1；
（2）①∵B（3，0），D（﹣1，0），
∴BD＝3﹣（﹣1）＝4，
∵当点M到x轴的距离为3时，
∴，
故答案为：6；
②过点M作MP⊥x于P，连接MA，MB，如图2，
∵A（0，﹣3），B（3，0），
∴，
设点M（x，x2﹣2x﹣3），
∵点M在第四象限内，
∴MP＝﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+2x+3，OP＝x，BP＝3﹣x，
∴AB MN＝S△ABM＝S梯形OAMP+S△MPB﹣S△AOB，
∴×MN＝+﹣，
∴MN＝＝，
∵，
∴当时，MN有最大值，
∴当时，x2﹣2x﹣3＝＝，
∴当线段MN最大时，此时点M的坐标为；
（3）实数t的所有整数值的和为3；理由如下：
∵抛物线C1：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4沿x轴翻折，得到抛物线C2，
∴抛物线C2：y＝﹣（x﹣1）2+4，
∵﹣1＜0，
∴抛物线C2：y＝﹣（x﹣1）2+4开口向下，当x＜1时，y随x增大而增大，当x＞1时，y随x增大而减小，当x＝1时，y 有最大值4；
当t+1≤1，即t≤0时，
在t﹣1≤x≤t+1时，最大值m＝﹣（t+1﹣1）2+4＝﹣t2+4，
最小值n＝﹣（t﹣1﹣1）2+4＝﹣t2+4t，
∵m﹣n≤6，
∴（﹣t2+4）﹣（﹣t2+4t）≤6，
解得：，
∴，
∴t的整数值为0；
②当t﹣1＜1 且t+1＞1，即0＜t＜2时，
在t﹣1≤x≤t+1时，
i）当0＜t≤1时，最大值m＝﹣（t+1﹣1）2+4＝﹣t2+4，
最小值n＝﹣（t﹣1﹣1）2+4＝﹣t2+4t，
∵m﹣n≤6，
∴（﹣t2+4）﹣（﹣t2+4t）≤6，
解得：，
∴，
∴t的整数解为1；
ii）当1＜t＜2时，
∴t无整数解；
③当t﹣1≥1，即t≥2时，最大值m＝﹣（t﹣1﹣1）2+4＝﹣t2+4t，
最小值n＝﹣（t﹣1﹣1）2+4＝﹣t2+4，
∵m﹣n≤6，
∴（﹣t2+4t）﹣（﹣t2+4）≤6，
解得：，
∴，
∴t的整数解为2；
综上，若对于任意t﹣1≤x≤t+1，m﹣n≤6恒成立，实数t的所有整数值的和为0+1+2＝3．

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