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参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．的相反数是（　　）
A．0 B．1 C． D．
【解答】选B．
2.下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、，故选项A错误；
B、，故选项B错误；
C、，故选项C错误；
D、，故选项D正确；
故选D．
3.如图是度量衡工具汉尺、秦权、新莽铜卡尺和商鞅方升的示意图，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意．
故选：A．
4.（原创题）2025年12月19日，历经6年建设，四川攀枝花金沙江银江水电站6号机组并网.6台机组全面投产，总装机容量39万千瓦.随着银江水电站建成投产，四川水电装机容量突破1亿千瓦，成为全国首个水电装机破亿千瓦的省份,将数据39万用科学记数法表示为（ ） 攀枝花银江水电站：图片来源新闻联播
A． B． C． D．
【解答】选：C．
5．如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果∠1＝70°，那么∠2的度数是（　　）
A．20° B．25° C．30° D．45°
【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝70°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣70°＝20°，
故选：A．
6．下列说法正确的是（　　）
A．将油滴入水中，油会浮在水面上是不可能事件
B．抛出的篮球会下落是随机事件
C．了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用普查的方式
D．若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2＝2，S乙2＝2.5，则甲组数据较稳定
【解答】解：A、将油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件，故A不符合题意；
B、抛出的篮球会下落是必然事件，故B不符合题意；
C、了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用抽样调查的方式，故C不符合题意；
D、若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2＝2，S乙2＝2.5，则甲组数据较稳定，故D符合题意；
故选：D．
7．不等式组的解集在数轴上的表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：解不等式x+1≥0得x≥﹣1，
解不等式4﹣2x＞0得x＜2，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
解集在数轴上表示为：
故选：B．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，正确求得不等式组的解集是解答的关键．
8．若关于x的一元二次方程kx2+4x﹣4＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣1 B．k≤﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0
【解答】解：∵一元二次方程kx2+4x﹣4＝0有实数根，
∴42﹣4×（﹣4）k≥0，k≠0，
解得：k≥﹣1且k≠0，
故选：D．
9．如图，在菱形ABCD中，分别以C，D为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点M，N，连接MN，若直线MN恰好过点A与边CD交于点E，连接BE，则下列结论错误的是（　　）
A．∠BCD＝120° B．若AB＝3，则BE＝4
C． D．
【解答】解：连接AC．
由作法得MN垂直平分CD，
∴AD＝AC，CM＝DM，∠AED＝90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝AD，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠BCD＝120°，即A选项的结论正确，不符合题意；
当AB＝3，则CE＝DE，
∵∠D＝60°，
∴AE，∠DAE＝30°，∠BAD＝120°，
∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝120°﹣30°＝90°，
在Rt△ABE中，BE，所以B选项的结论错误，符合题意；
∵四边形ABCD是菱形，
∴．BC＝CD＝2CE，即，所以C选项的结论正确，不符合题意；
∵AB∥CD，AB＝2DE，
∴，所以D选项的结论正确，不符合题意．
故选：B．
10．（改编题）如图，一个长方体木箱沿斜面滑至如图位置时，AB＝2m，木箱高BE＝1m，斜面坡角为，则木箱端点E距地面AC的高度表示为（　　）m．
A． B． C． D．
【解答】解：过E作EN⊥AC于N，交AB于M，过B作BG⊥AC于G，BH⊥EN于H，如图所示：
则四边形BHNG是矩形，
∴HN＝BG，
在Rt△ABG中，∠BAG＝α，sin∠BAG，
∴BG＝AB sin∠BAG＝2sinα（m），
∴HN＝2sinα（m），
∵∠EBM＝∠ANM＝90°，∠BME＝∠AMN，
∴∠BEM＝∠MAN＝α，
在Rt△EHB中，∠BEM＝α，BE＝1m，
∵oos∠BEM，
∴EH＝BE cos∠BEM＝1×cosα＝cosα（m），
∴EN＝EH+HN＝（cosα+2sinα）=（cos30+2sin30）=m，
即木箱端点E距地面AC的高度为m，
故选：C．
11．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，tanα＝tan2β，则n＝（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，
∵tanα，tanβ，tanα＝tan2β，
∴，
∴（b﹣a）2＝ab，
∴a2+b2＝3ab，
∵a2+b2＝AD2＝S正方形ABCD，（b﹣a）2＝S正方形EFGH，
∴S正方形EFGH：S正方形ABCD＝ab：3ab＝1：3，
∵S正方形EFGH：S正方形ABCD＝1：n，
∴n＝3．
故选：C．
12. 选D．
二．填空题（共4小题）
13．（原创题）请你取一个的值，说明命题是假命题，那么 ．
【解答】解：因为，则x≥0，故取x＜0即可
故答案为：　-1　．
14．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，则树高PQ＝　6　m．
【解答】解：由题意可得，
BC∥PQ，AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，
∴△ABD∽△AQP，
∴，
即，
解得QP＝6，
∴树高PQ＝6m，
故答案为：
15.答案
16．【答案】
三．解答题（共8小题）
17．计算：（﹣3）2（1）0﹣2﹣1（﹣6）．
【分析】先分别计算乘方，特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，然后在按照有理数的混合运算顺序和法则进行计算．
【解答】解：原式＝914
＝6．
【点评】本题考查有理数的混合运算，特殊角三角函数值，零指数幂及负整数指数幂，掌握运算顺序准确计算是解题关键．
18．解分式方程：．
【解答】解：，
x（x﹣1）﹣（x+1）（x﹣1）＝3（x+1），
x2﹣x﹣x2+1＝3x+3，
﹣x﹣3x＝3﹣1，
﹣4x＝2，
x．
经检验，x是原分式方程的根．
19．攀枝花三线博物馆是四川省党性教育基地、党史教育基地和统一战线中国特色社会主义教育基地.博物馆的建成，既反映了三线建设历史的全貌，宣传纪念了三线建设的巨大成就，又弘扬了三线建设的伟大精神，更充分展示了攀枝花形象，成为了攀枝花最亮丽的一张文化名片.为了解全市九年级学生对“博物馆文化”知识的了解程度，从中随机抽取了500名学生进行周查，并将其问题分为了五类，A．非常了解；B．比较了解；C．了解；D．不太了解；E．不了解，根据调查结果，绘制出如图所示的两幅不完全统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求图中a，b的值，以及E类所对应的圆心角的度数；
（2）据统计，2023年全市共有12000名九年级学生，请你估计“C．了解”的学生人数；
（3）攀枝花市文化与旅游局为了解博物馆知识在全市九年级学生中的普及程度，将每一个接受调查的对象对景点知识的了解程度，按本题中“A，B，C，D，E”五类，分别赋上对应的分数“90分，80分，70分，45分，0分”，求得平均分x，若则受调查群体获评“优秀”；若，则受调查群体获评“良好”；若则受调查群体获评“合格”；若则受调查群体为“不合格”．请根据样本数据说明，本次九年级学生对景点知识的了解程度应被评为什么等级？
【解答】解：（1）由题意得，b＝500×27%＝135，
故a＝500﹣80﹣135﹣200﹣70＝15，
E类所对应的圆心角的度数为：360°10.8°；
（2）120004800（名），
答：估计“C．了解”的学生人数大约为4800名；
（3）（80×90+135×80+200×70+70×45+15×0）＝70.3（分），
答：本次九年级学生对景点知识的了解程度应被评为“良好”等级．
20．（本小题满分8分，原创题）如图所示，等腰直角中，，顶点在直线上，.
（1）用直尺和圆规作图:过点作的垂线，垂足为. （要求：在图中标明相应字母和垂足符号，保留作图痕迹，不写作法, 确定无误之后，再用黑色中性笔加粗）;
(2)证明： (若前问未完成，可画简图完成此问).
（1）解：如图：直线CE为所画图形.
21.（本小题满分8分）在直角坐标系中，直线与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于、两点，已知点的纵坐标是．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将直线沿轴向上平移5个单位后得到直线，与反比例函数图象在第一象限内交于点，与轴交于点．
（ⅰ） ；（请用“<”或“=”或“>”填空）
（ⅱ）求△的面积．
21．（8分）
解：（1）易知，
从而；　　　　　　
（2）（ⅰ）　　　　　　　　　　　 　
（ⅱ）将直线沿轴向上平移5个单位后得到直线
∵
．
22．如图，在△ABC中，AB＝4，∠C＝64°，以AB为直径的⊙O与AC相交于点D，E为上一点，且∠ADE＝40°．
（1）求的长；
（2）若∠EAD＝76°，求证：CB为⊙O的切线．
【解答】（1）解：∵∠ADE＝40°，
∴∠AOE＝2∠ADE＝80°，
∴∠EOB＝180°﹣∠AOE＝100°，
∵AB＝4，
∴⊙O半径长是2，
∴的长；
（2）证明：∵∠EAB∠EOB＝50°，
∴∠BAC＝∠EAD﹣∠EAB＝76°﹣50°＝26°，
∵∠C＝64°，
∴∠C+∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣（∠C+∠BAC）＝90°，
∴直径AB⊥BC，
∴CB为⊙O的切线．
23．答案：任务一：方案一：；
方案二：；
任务二：（1）需要测量，，的长度．
（2）多测两次，取其平均数，减小误差．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣1，0）和B两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式．
（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标．
（3）在（2）中△PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内是否存在一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：yx2x+2；
（2）令yx2x+2＝0，
解得：x＝4或﹣1，即点B（4，0），
∵PE∥y轴，则∠PED＝∠OCB，
则tan∠PED＝tan∠OCB＝2，则sin∠PED，cos∠PED，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：yx+2，
则PEx2x+2x﹣2（x﹣2）2+2≤2，
即PE的最大值为2，此时，点P（2，3），
则△PDE周长的最大值＝PE（1+sin∠PED+cos∠PED）＝（1）PE，
即△PDE周长的最大值为，点P（2，3）；
（3）抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，相当于向右平移2个单位向下平移1个单位，
则平移后抛物线的对称轴为x＝，
设点M（，m），点N（s，t），
由点A、P的坐标得，AP2＝18，
当AP是对角线时，由中点坐标公式和AM＝AN得：
，解得：，
即点N的坐标为：（﹣，）；
当AM或AN是对角线时，由中点坐标公式和AN＝AP或AM＝AP得：
或，
解得：（不合题意的值已舍去），
即点N的坐标为：（，）；
综上，点N的坐标为：（，﹣）或（，）或（﹣，）．考试类型： 联考 科目：数学 考试时间：2个小时
预估难度系数： 0.66 预估平均分： 98
实际难度系数： 实际平均分：
题号 题型 知识点 分值 难度 (易、中、难)
1 选择题 相反数 5 易
2 选择题 整式的运算 5 易
3 选择题 轴对称图形和中心对称图形 5 易
4 选择题 科学计数法 5 易
5 选择题 平行线的性质和三角形的内角和 5 易
6 选择题 事件的分类、普查和方差 5 易
7 选择题 解不等式组 5 易
8 选择题 一元二次方程根的判别式 5 中
9 选择题 尺规作图和菱形的性质 5 中
10 选择题 解直角三角形 5 中
11 选择题 勾股定理和三角函数 5 难
12 选择题 一次函数的实际应用 5 难
13 填空题 绝对值的含义 5 易
14 填空题 相似三角形的判定和性质（同一时刻，物高与影长成比例） 5 易
15 填空题 概率 5 中
16 填空题 平移旋转坐标应用 5 难
17 解答题 实数的运算 8 易
18 解答题 解分式方程 8 易
19 解答题 统计综合题 8 易
20 解答题 画图与三角形全等 8 易
21 解答题 一次函数与反比例函数综合 8 中
22 解答题 圆综合题 8 中
23 解答题 项目式学习探究应用活动测量旗杆的高度 10 中
24 解答题 二次函数综合题 12 难数 学（2026年中考模拟试题）
本试题卷共6页，满分150分.
注意事项：
1．考生作答前必须将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定位置上，并使用2B铅笔将考号对应数字涂黑。如需改动，先用橡皮擦干净后，再将正确考号对应数字涂黑.
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答案填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，先用橡皮擦干净后，再填涂其它答案标号.
3．答非选择题时，必须使用0.5 mm黑色墨迹签字笔作答在答题卡题目规定的位置上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5 mm黑色墨迹签字笔描绘清楚.
4．答在本试题卷上、草稿纸上的答案无效。考试结束，将本试题卷及答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．的相反数是（　　）
A．0 B．1 C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D． 3题图
3．右图是度量衡工具汉尺、秦权、新莽铜卡尺和商鞅方升的示意图，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4.（原创题）2025年12月19日，历经6年建设，四川攀枝花金沙江银江水电站6号机组并网.6台机组全面投产，总装机容量39万千瓦.随着银江水电站建成投产，四川水电装机容量突破1亿千瓦，成为全国首个水电装机破亿千瓦的省份,将数据39万用科学记数法表示为（ ） 攀枝花银江水电站：图片来源新闻联播
A． B． C． D．
5．如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，
那么的度数是（　　）
A． B． C． D．
5题图
6.下列说法正确的是（　　）
A．将油滴入水中，油会浮在水面上是不可能事件.
B．抛出的篮球会下落是随机事件 .
C．了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用普查的方式.
D．若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则甲组数据较稳定.
7．不等式组的解集在数轴上的表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在菱形ABCD中，分别以C、D为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点M、N，连接MN，若直线恰好过点A与边CD交于点E，连接BE，则下列结论错误的是（　　）
A．∠BCD=120° B．若AB=3，则BE=4 C． D．
9题图 10题图
10．（改编题）如图，一个长方体木箱沿斜面滑至如图位置时，AB＝2m，木箱高BE＝1m，斜面坡角为，则木箱端点E距地面AC的高度表示为（　　）m．
A． B． C． D．
11．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接BE．设，若正方形与正方形的面积之比为，则（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2

11题图 12题图
12．中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段表示货车离西昌距离与时间之间的函数关系：折线表示轿车离西昌距离与时间之间的函数关系，则以下结论错误的是（ ）
A．货车出发1.8小时后与轿车相遇
B．货车从西昌到雅安的速度为
C．轿车从西昌到雅安的速度为
D．轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（原创题）请你取一个的值，说明命题是假命题，那么 ．
14．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，Q在同一水平线上，和均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB=40cm，BD=20cm,AQ=12m则树高PQ m．
14题图 15题图
15.如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，灯泡能发光的概率为 ．
16．新定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为 ．
三、解答题：本大题共8小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分8分）计算：．
18．（本小题满分8分）解分式方程：．
19．（本小题满分8分,改编题）攀枝花三线博物馆是四川省党性教育基地、党史教育基地和统一战线中国特色社会主义教育基地.博物馆的建成，既反映了三线建设历史的全貌，宣传纪念了三线建设的巨大成就，又弘扬了三线建设的伟大精神，更充分展示了攀枝花形象，成为了攀枝花最亮丽的一张文化名片.为了解全市九年级学生对“博物馆文化”知识的了解程度，从中随机抽取了500名学生进行周查，并将其问题分为了五类，A．非常了解；B．比较了解；C．了解；D．不太了解；E．不了解，根据调查结果，绘制出如图所示的两幅不完全统计图，请根据图中信息，解答下列问题：

攀枝花三线博物馆
(1)填空：a=_______，b=_______，E类所对应的圆心角的度数=_______；
(2)据统计，2023年全市共有12000名九年级学生，请你估计“C．了解”的学生人数；
(3)攀枝花市文化与旅游局为了解博物馆知识在全市九年级学生中的普及程度，将每一个接受调查的对象对景点知识的了解程度，按本题中“A，B，C，D，E”五类，分别赋上对应的分数“90分，80分，70分，45分，0分”，求得平均分x，若则受调查群体获评“优秀”；若，则受调查群体获评“良好”；若则受调查群体获评“合格”；若则受调查群体为“不合格”．请根据样本数据说明，本次九年级学生对景点知识的了解程度应被评为什么等级？
20．（本小题满分8分，原创题）如图所示，等腰直角中，，顶点在直线上，.
（1）用直尺和圆规作图:过点作的垂线，垂足为. （要求：在图中标明相应字母和垂足符号，保留作图痕迹，不写作法, 确定无误之后，再用黑色中性笔加粗）;
(2)证明： (若前问未完成，可画简图完成此问).
21.（本小题满分8分）在直角坐标系中，直线与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于、两点，已知点的纵坐标是．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将直线沿轴向上平移5个单位后得到直线，与反比例函数图象在第一象限内交于点，与轴交于点．
（ⅰ） ；（请用“<”或“=”或“>”填空）
（ⅱ）求△的面积．
22．（本小题满分8分）（本小题满分8分）如图，在△ABC中，AB＝4，∠C＝64°，以AB为直径的⊙O与AC相交于点D，E为上一点，且∠ADE＝40°．
（1）求的长；
（2）若∠EAD＝76°，求证：CB为⊙O的切线．
23．（本小题满分10分）某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
项目主题：测量旗杆高度
问题驱动：能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度？
组内探究：由于旗杆较高，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，标杆，镜子，甚至还可以利用无人机确定方法后，先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算旗杆的高度．
成果展示：下面是同学们进行交流展示时的部分测量方案：
　 方案一 方案二
测量工具 标杆，皮尺 自制直角三角板硬纸板，皮尺
测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，小明的眼睛到地面的距离，测点与，在同一水平直线上，，，之间的距离都可以直接测得，且，，，，，都在同一竖直平面内，点，，三点在同一直线上． 说明：线段表示旗杆，小明的身高，测点与在同一水平直线上，，之间的距离可以直接测得，且，，，，，，都在同一竖直平面内，点，，三点在同一直线上，点，，三点在同一直线上． 　
测量数据 ，之间的距离 ，之间的距离
，之间的距离 的长度
的长度 的长度
　
请同学们根据上述材料，完成下列任务：
任务一：
根据上述方案及数据，请你选择一个方案，求出学校旗杆的高度．（结果精确到；
任务二：
（1）小宇选择的测量工具是镜子和皮尺，图③是该方案的示意图．其中线段表示学校旗杆，请写出需要测量的线段有哪些？
（2）请写出一条利用小宇设计的方案进行测量时的注意事项．
24．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交x轴于点，B两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式.
（2）点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标.
（3）在（2）中△PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内是否存在一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．

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