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江苏省苏州市盛泽初中教育集团九年级中考数学
模拟练习试卷
一、选择题：本题共8小题，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的倒数是( )
A. B. C. D.
2.习近平总书记在年新年贺词中提到，中国年全年经济总量预计达到亿元人民币，数字用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
3.如果，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
4.将一把直角三角尺和一把直尺按如图所示的方式放置，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
5.九章算术之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行，则提前日到达储粮站设运输这批公粮原计划每日行，则根据题意可列出的方程是( )
A. B.
C. D.
6.如图，港口在观测站的正东方向，，某船从港口出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏东的方向，则该船航行的距离即的长为( )
A. B. C. D.
7.已知点，，在反比例函数为常数的图象上，，则下列说法中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
8.如图，长方形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，共16分。
9.若代数式有意义，则实数的取值范围是______．
10.不等式的解集是 ．
11.若，，则的值是 ．
12.圆锥的底面半径是，母线长为，则这个圆锥的侧面积是______结果保留
13.如图，已知的半径为，弦的长为，是的延长线上一点，，则等于 ．
14.如图，在正方形中，点在上，于点，于点若，，则的面积为 ．
15.若是方程的根，则代数式的值是 ．
16.如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点落在上的点处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点恰好落在上的点处，为折痕，连接并延长交于点，若，，则线段的长等于 ．
三、解答题：本题共11小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. 本小题分计算：．
18.本小题分
解不等式组：．
19.本小题分
化简：，并从，，中任取一个数作为的值，求代数式的值．
20.本小题分
甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片这四张卡片分别用字母，，，表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同，现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为 ______ ．
小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率．
21.本小题分
如图，将两块完全相同的含有角的直角三角尺、在同一平面内按如图方式摆放，其中点、、、在同一直线上，连接、．
求证：四边形是平行四边形；
若四边形是菱形，求的度数．
22.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴交于点，两点．
求一次函数和反比例函数的解析式；
若点是该反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的倍，求点的坐标．
23.本小题分
随着人工智能的快速发展，初中生使用大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间用表示，单位：进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图：
抽取的学生一周使用大模型辅助学习时间频率分布表
组别 时间 频率
合计
根据提供的信息回答问题：
请把频数分布直方图补充完整画图后标注相应数据；
调查所得数据的中位数落在______组填组别；
该校九年级共有名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数．
24.本小题分
综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知 ， ，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为．
求 的长；
求塔的高度．取，取，结果取整数
25.本小题分
如图，是的外接圆，，为圆上一点，且，两点位于异侧，连接，交于，点为延长线上一点，连接，使得．
求证：为的切线；
当点为的中点时，求证：；
在的条件下，若，，求的长．
26.本小题分
如图，在菱形 中，点 是 边上一动点且与点 、 不重合，连接 交 于点 ．
若 ， ，求 的度数；
若 ，求证 ；
过点 作 交 于点 ，记 为 ， 为 ， ，
求证： ；
求 与 之间的函数关系式．
27.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点．
求抛物线的解析式；
作直线，点是直线上方抛物线上的一动点，连接与直线交于点，求的最大值及此时点的坐标；
将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线，点是抛物线上一个动点，作以点为中点的线段，且轴，设点的横坐标为，若线段与抛物线有交点，求的取值范围．江苏省苏州市盛泽初中教育集团九年级中考数学
一、选择题：本题共 8小题，共 16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 3的倒数是( )
1 1
A. 3 B. C. 3 D.
3 3
2.习近平总书记在2026年新年贺词中提到，中国2025年全年经济总量预计达到1400000亿元人民币，数字
1400000用科学记数法可表示为( )
A. 14 × 105 B. 1.4 × 106 C. 1.4 × 107 D. 0.14 × 107
3.如果 > ，则下列结论正确的是( )
A. | | > | | B. 2 > 2 C. 2 > 2 D. 1 < 1
4.将一把直角三角尺和一把直尺按如图所示的方式放置，若∠ = 44°，则∠ 的度数为( )
A. 44° B. 45° C. 46° D. 54°
5.《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地420
的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行10 ，则提前1日到达储粮站.设运输这批公粮原计划每日行
，则根据题意可列出的方程是( )
420 420 420 420
A. = + 1 B. + 1 =
+10 +10
420 420 420 420
C. = + 1 D. + 1 =
10 10
6.如图，港口 在观测站 的正东方向， = 4 ，某船从港口 出发，
沿北偏东15°方向航行一段距离后到达 处，此时从观测站 处测得该船
位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即 的长)为( )
A. 4 B. 2√ 3 C. 2√ 2 D. (√ 3 + 1)
模拟练习试卷
2
+1
7.已知点( 1, 1)，( 2, 2)，( 3, 3)在反比例函数 = ( 为常数)的图象上， < < ，则下列说法 1 2 3
中正确的是( )
A. 若 1 2 > 0，则 1 < 3 B. 若 1 2 < 0，则 1 < 3
C. 若 2 3 > 0，则 1 > 3 D. 若 2 3 < 0，则 1 > 3
11
8.如图，长方形 的边 = ， = 3， 为 上一点，且 = 1， 为 边上的一个动点，连接
2
，若以 为边向右侧作等腰直角三角形 ， = ，连接 ，则 的最小值为( )
5
A. 5 B. C. 3 D. 8
2
二、填空题：本题共 8小题，共 16分。
5
9.若代数式 有意义，则实数 的取值范围是______．
2
10.不等式2 1 ≥ 3的解集是 ．
11.若 = 5， = 3，则 2 2的值是 ．
12.圆锥的底面半径是4 ，母线长为5 ，则这个圆锥的侧面积是______ 2. (结果保留 )
13.如图，已知⊙ 的半径为5，弦 的长为8， 是 的延长线上一点， = 2，则 等于 ．
14.如图，在正方形 中，点 在 上， ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 .若 = 5， = 4，则△
的面积为 ．
1
15.若 是方程 2 + 1 = 0的根，则代数式2025 + 2 + 2的值是 ．
16.如图，在矩形纸片 中，将 沿 翻折，使点 落在 上的点 处， 为折痕，连接 ；再将
沿 翻折，使点 恰好落在 上的点 处， 为折痕，连接 并延长交 于点 ，若 = 8， =
5，则线段 的长等于 ．
三、解答题：本题共 11小题，共 98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
3 1 1
17. (本小题6分)计算：(2 )0 + √ 8 + ( ) ．
2
18.(本小题6分)
+2
解不等式组：{ > 3 ．
5 3 < 5 +
19.(本小题6分)
3 +1
化简：( + 1) ÷ 2 ，并从 1，1，2中任取一个数作为 的值，求代数式的值． 2 4
20.(本小题8分)
甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明
在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片(这四张卡片分别用字母 ， ， ， 表示，正面文字依次
是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同)，现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．

(1)小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为 ______ ．
(2)小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两
人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率．
21.(本小题8分)
如图，将两块完全相同的含有30°角的直角三角尺 、 在同一平面内按如图方式摆放，其中点 、
、 、 在同一直线上，连接 、 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若四边形 是菱形，求∠ 的度数．
22.(本小题8分)

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 = 1 + 的图象与反比例函数 =
2的图象交于 ( , 1)，

2
( , 3)两点，与 轴、 轴交于点 ， 两点．
3
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若点 是该反比例函数图象上的一点，△ 的面积是△ 的面积的2倍，求点 的坐标．
23.( 10分)
随着人工智能的快速发展，初中生使用 大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势.某研究性学习小
组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用 大模型辅助学习的时间(用 表示，单位： )
进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图：
抽取的学生一周使用 大模型辅助学习时间频率分布表
组别 时间 ( ) 频率
20 ≤ < 40 0.16
40 ≤ < 60 0.24
60 ≤ < 80 0.30
80 ≤ < 100 0.20
100 ≤ ≤ 120 0.10
合计 1
根据提供的信息回答问题：
(1)请把频数分布直方图补充完整(画图后标注相应数据)；
(2)调查所得数据的中位数落在______组(填组别)；
(3)该校九年级共有750名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用 大模型辅助学习的时
间不少于60 的学生人数．
本小题
24.( 10分)
综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔 前有一座高为 的观景台，已知 =
6 ，∠ = 30 ，点 ， ， 在同一条水平直线上．某学习小组在观景台 处测得塔顶部 的仰角为
45°，在观景台 处测得塔顶部 的仰角为27°．
(1)求 的长；
(2)求塔 的高度．(tan27 取0.5，√ 3取1.7，结果取整数)
25.(本小题12分)
如图，⊙ 是 △ 的外接圆，∠ = 90°， 为圆上一点，且 ， 两点位于 异侧，连接 ，交
于 ，点 为 延长线上一点，连接 ，使得∠ = ∠ ．
(1)求证： 为⊙ 的切线；
(2)当点 为 的中点时，求证： 2 = ；
1
(3)在(2)的条件下，若sin∠ = ， = 2√ 6，求 的长．
3
本小题
26.( 12分)
如图，在菱形 中，点 是 边上一动点(且与点 、 不重合)，连接 交 于点 ．
(1)若 ⊥ ，∠ = 18 ，求∠ 的度数；
(2)若 = ，求证 2 2 = ；

(3) 过点 作 // 交 于点 ，记 为 1 ， 四边形 为 2 ， = ，
1 =
2
1 1 1
①求证： + = ；

②求 与 之间的函数关系式．
本小题
27.( 12分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 = 2 + + 经过 ( 1,0)， (3,0)， (0,3)三点．
(1)求抛物线的解析式；

(2)作直线 ，点 是直线 上方抛物线上的一动点，连接 与直线 交于点 ，求 的最大值及此时点

的坐标；
(3)将抛物线 = 2 + + 先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线 ′，点 是抛物线 =
2 + + 上一个动点，作以点 为中点的线段 ，且 // 轴， = 2.设点 的横坐标为 ，若线段
与抛物线 ′有交点，求 的取值范围．
本小题答案与解析
1.【答案】
【解析】解：的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义即若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数，即可得出答案．
此题考查了倒数，倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．
2.【答案】
【解析】解：
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3.【答案】
【解析】解：、，不一定大于，比如，，原结论错误；
B、，不一定大于，比如，，原结论错误；
C、，则，原结论错误；
D、，则，原结论正确．
故选：．
根据不等式的性质，逐一进行判断即可．
本题考查不等式的性质，绝对值，掌握不等式的性质，绝对值的性质是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：如图所示，
因为直尺的对边平行，
所以．
又因为，且，
所以．
故选：．
根据平行线的性质进行计算即可．
本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据题意可知：实际运送天数原计划运送天数，然后列出相应的分式方程即可．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，根据题意列出方程是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：如图，过点作于．
由题意，知，，
在中，，，，
．
在中，，，
，
．
即该船航行的距离即的长为．
故选：．
过点作于先解，得出，再由是等腰直角三角形，得出，则．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：点，，在反比例函数为常数的图象上，，
，
图象在第一、三象限，在每个象限随增大而减小，
A、若，则点，在同一象限，
如果点，，都在第一象限，则，故不合题意；
B、若，则点在第三象限，，在第一象限，则，故符合题意；
C、若，则，在同一象限，
如果点在第三象限，点，都在第一象限，则，故不合题意；
D、若，则点，在第三象限，在第一象限，，故不合题意．故选：．
由可得反比例函数图象在第一、三象限，根据选项一一分析即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，过点作，得长方形和长方形，
四边形是长方形，
，
，
，，
，
又，
≌，
，
点在平行于且到距离为的直线上运动，
当最大时，最小，此时和重合，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
的最小值．
9.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为零是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：；
故答案为：．
根据解一元一次不等式的方法可以求出不等式的解集．
本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
11.【答案】
【解析】此题主要考查了提公因式法分解因式，代数式的值，运用整体代入法，关键是正确分解因式．
首先提公因式进行分解，再代入，即可．
【详解】解：，，
，
故答案为．
12.【答案】
【解析】解：底面圆的半径为，则底面周长，
侧面面积，
故答案为：．
侧面积底面周长母线长．
此题考查的是圆锥的计算，掌握圆的周长公式和扇形面积公式求解．
13.【答案】
【解析】解：过作于，则，
由条件可知，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
过作于，根据垂径定理求出、，根据勾股定理求出，根据勾股定理求出即可．
本题主要考查了勾股定理和垂径定理的应用，能灵活运用垂径定理进行推理是解此题的关键，
14.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
≌，
，，
同理可得，
又，
∽，
，即，
，

故答案为：．
要求的面积，需要知道和的边长，先证≌，再证∽即可求解．
本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
15.【答案】
【解析】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义、整体代入法求代数式值、分式的混合运算等知识，根据题中所给代数式的结构特征，结合已知条件，恒等变形代值求解即可得到答案，熟练掌握分式混合运算法则化简求值是解决问题的关键．
【详解】解：是方程的根，
，即，
，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查轴对称的性质，矩形、正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识．
根据折叠可得四边形是正方形，，，，可求出三角形的三边为，，，在中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证∽，三边之比为：：，设未知数，通过，列方程求出待定系数，进而求出的长，然后求的长．
【解答】
解：过点作，，垂足为、，
由折叠得：四边形是正方形，，
，，，
，
在中，，
，
在中，设，则，由勾股定理得，
，解得：，
，，
，
又，
∽，
：：：：：：，
设，则，，
，，
解得：，
，
，
故答案为．
17.【答案】解：．
【解析】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，先化简各式，然后再进行加减计算即可解答．
18.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：．
【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
19.【答案】，．
【解析】解：
，
由题意得，，，
则，，
，
当时，原式．
原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则计算得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：；
画树状图如解图

由树状图知，共有种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有种，
则两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率为．
【解析】因为四张卡片中只有一张卡片上的文字是“文”，根据概率公式，随机抽取一张卡片上的文字是“文”的概率为，
故答案为：；
见答案．
直接利用概率公式计算即可；
通过画树状图，可得共有种等可能结果，其中，两名同学抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有种，再根据概率公式求解即可．
此题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，；
21.【答案】见解析；

【解析】证明：将两块完全相同的含有角的直角三角尺、在同一平面内按如图方式摆放，
≌，
，，
，
四边形是平行四边形；
解：若四边形是菱形，则，
，
，
．
由题意得：≌，推出，，得，即可求证；
由题意得，推出，即可求解；
本题考查了平行四边形的证明，菱形的性质等知识点，熟记相关结论是解题关键．
22.【答案】，；
或
【解析】由条件可得，
解得，
反比例函数的表达式为；
点在反比例函数的图象上，
，解得，
点，在一次函数的图象上，
，
解得，
；
由得，一次函数的解析式为，
令，则；
令，则，，
，，
，，
，
，
，解得，
当时，，当时，，
或．
根据点的坐标代入，，求得，进而可得，待定系数法求解析式即可求解；
根据一次函数解析式分别令，，得出，，根据，列出方程，即可求解．
本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点问题，三角形的面积问题，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键．
23.【答案】解：样本容量为：，
“”的频数为：，
把频数分布直方图补充完整如下：
；
，
人．
答：该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数约为人．
【解析】见答案；
由统计图可知，把个数据从小到大排列，排在第和个数均落在组，
所以调查所得数据的中位数落在组，
故答案为：；
见答案．
用“”的频数除以其频率可得样本容量，进而得出“”的频数，再把频数分布直方图补充完整即可；
根据中位数的定义解答即可；
利用样本估计总体即可．
本题考查频数分布直方图，用样本估计总体，频数分布表以及中位数；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
24.【答案】【小题】
解：在 中， ，
．
即 的长为 ．
【小题】
设，
在中，，
．
在中，由，，，
则．
．
即的长为．
如图，过点作，垂足为．

根据题意，，
四边形是矩形．
，．
可得．
在中，，，
即．
．
答：塔的高度约为．

【解析】 根据含度角的直角三角形的性质求解即可；

设，分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，过点作，垂足为可证明四边形是矩形，得到，在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可．
25.【答案】证明：连接．
是直径，
，
，
，，
，
，
，
为的切线．
证明：，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
．
解：过点作于．
是直径，
，
，
可以假设，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，，
，，
．
26.【答案】【小题】
根据题意可得 ， ，
，
四边形 是菱形，
，
．
【小题】
证明： ，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
．
【小题】
证明： ， ，
，
， ，
， ，
两式相加得 ，
即 ，
．
， ，
， ，
，
，
，
四边形 是菱形，
，
，
， ，
， ，
，
又 ，
，
，
， ，
，
，
，
．

27.【答案】【小题】
解：抛物线经过，，三点，
设抛物线的解析式为，
将代入得，
解得，
抛物线的解析式为．
【小题】
解：如图，过作交于，
设直线的解析式为，将代入解析式得，
，解得
直线的解析式为，
设，
，
，
，
，
，
当时，最大，最大值为，
，
．
【小题】
解：将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线，
，
顶点坐标为：，
如图，
设，
当顶点在线段上时，
，
解得：，舍去，
如图，当在上时，
，
解得：，
综上：线段与抛物线有交点，的取值范围为．

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