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数学试题
(全卷共四个大题全卷共四个大题，满分 150 分，考试时间 120 分钟)
注意事项：
1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色铅笔或签字笔完成；
4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为．
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为 A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．实数的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
2．剪纸是中国优秀的传统文化.下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．“随意打开九年级下册语文教科书，正好是第页”这个事件是（ ）
A．必然事件 B．随机事件 C．确定性事件 D．不可能事件
4．如图，点A，B，C在上，点是劣弧的中点，若，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
5．有黑白两种颜色的正五边形地砖，若按下图所示的规律拼成若干个图案，那么第⑧个图案中有白色地砖（ ）
① ② ③
A.17块 B. 20块 C. 23块 D. 26块
6.某劳动实践基地2026年第一季度共接待参加劳动实践人数约为人，这个数的原数是（ ）
A. B. C. D.
7. 若点，，都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8.我县电商服务中心决定改善运营方式，计划经过两年时间，营业额增加，那么这两年电商服务中心平均每年营业额的增长率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，作BF平分∠CBE交CD于点F．若AE=5，DE=7，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
10．已知两个多项式，,均位正整数，为实数．下列说法：
①若，则存在实数使得；
②若，关于的方程有唯一解，这个解为；
③若，，，则满足条件的多项式共有4个.
其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填在题中对应的横线上.
11．口袋里有除颜色外完全相同的10个球，其中有5个红球，2个白球，3个绿球．从口袋里随机摸出一个球，摸出红球的可能性大小是__________．
12．如图，直尺和带直角的三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘∥，带直角三角板中30°角的顶点在 上，直角顶点在上，三角板与直尺边缘形成的∠1＝24°，则∠2 的度数是 .
13．若，是两个连续整数，且，则的值为_______．
14．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多步，则可列方程为 ．
15．如图，BC 为⊙O的直径，点A在⊙O上，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，连接C D．已知 AC=8，，则AB的长为 ，过点D作DE∥BC，交AB的延长线于点E，则DE的长为 ．
16.一个四位正整数（互不相等且均不为零），若满足千位数字与百位数字的和的平方等于这个四位数去掉千位与百位数字后得到的两位数，则称这个四位数为“尾方数”．例如：四位数5364，因为，所以5364是“尾方数”；又如：四位数1537，因为，所以1537不是“尾方数”．最小的“尾方数”为　 　；已知为“尾方数”，去掉千位数字后所得的三位数记为，记，，在能被11整除的情况下，当取得最大值时，满足条件的“尾方数”等于______.
三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
(
①
②
)17．求不等式组： 的所有整数解．
18．学习了等腰三角形后，川川同学在用尺规作等腰三角形顶角的角平分线时，发现这条角平分线与底边的交点到两腰中点的距离相等．并与他的同伴进行了交流．现在你作为他的同伴，请根据她的思路完成以下作图与填空：
第一步：构造等腰三角形顶角的角平分线
如图，用直尺和圆规作∠BAC的平分线交BC于点D，连接DE，DF．（只保留作图痕迹）
第二步：利用三角形全等证明他的想法
已知：如图，等腰△ABC中，AB =AC，AD平分∠BAC，E，F分别是AB，AC的中点．
求证：DE=DF．
证明：∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴AE =，AF =．
∵AB =AC，
∴ ① ．
∵AD平分∠BAC，
∴ ② ．
∵AD =AD，
∴△ADE ≌ ③ （SAS）．
∴DE =DF．
川川进一步探究，发现角平分线AD上任意一点均有此特征．请你依照题意补全真命题：等腰三角形的顶角平分线上的点 ④ ．
四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．为加强暑期安全教育，由中国教育电视台制作了“暑期安全一直在行动”系列科普宣传视频内容在多媒体平台播出，广大学生家长及时选择内容进行了观看．为了解学生对暑期安全知识的学习情况，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生进行问卷测试（测试成绩为百分制，学生得分均为整数且用表示），并对测试数据（成绩）进行如下收集、整理和分析：
【收集数据】
七年级10名学生测试成绩：
75，83，76，82，75，83，95，80，68，83．
八年级的成绩整理如表：
其中分布在这一组的成绩是：85，85，86，84，85．
【整理数据】
年级
七年级 1 4 1
八年级 0 4 5 1
【分析数据】
年级 平均数 中位数 众数
七年级 80 81
八年级 80 85
【解决问题】根据以上信息，解答下面问题：
（1）填空：______，______，______；
（2））根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对安全知识的学习情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校七年级的学生有540人，八年级的学生有500人，请估计该校七、八年级安全知识学习优秀（）的共有多少人？
20．先化简，再求值：，其中.
21．列方程解下列问题：
重庆小面是重庆的特色美食，某小店推出两款重庆小面，一款是“经典哨子面”，另一款是“特色黄牛面”．已知2份“经典哨子面”和3份“特色黄牛面”需44元；4份“经典哨子面”和5份“特色黄牛面”需78元．
（1）求“经典哨子面”和“特色黄牛面”的单价；
（2）面粉是制作面条的原材料，该小店老板发现今年第三季度平均每千克面粉的价格比第二季度上涨了20%，第三季度花600元买到的面粉数量比第二季度花同样的钱买到的面粉数量少了10千克，求第三季度面粉的单价．
22．如图，在△ABC中，，，，点是的中点，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿→→运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿→运动，连接，，设运动时间为秒（），若的面积为，长的与的长之比为．
（1）请直接写出，关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差步超过0.2）．
23．秀秀和西西游览一处景点，如图，两人同时从景区大门A 出发，秀秀沿正东方向步行 60 米到小山B 处，再沿着BC 前往凤凰阁C 处，在B 处测得亭台D在北偏东15°方向上，而凤凰阁C在B的北偏东30°方向上，西西沿着A的东北方向上步行一段时间到达亭台D 处，再步行至正东方向的凤凰阁C 处.
（1）求小山B 与亭台D 之间的距离；（结果保留根号）
（2）若两人步行速度一样，谁先到达凤凰阁C 处．
（结果精确到个位，参考数据： ≈ 1.41， ≈ 1.73， ≈ 2.45）
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A和点B（2，0）两点，与轴交于点，连接.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点是直线上方抛物线上一动点，过点作∥交于点，过点作∥交轴于点，为轴上一动点，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值；
（3）将抛物线沿方向平移个单位长度，，得到新抛物，新抛物与原抛物线交于点，连接，点是新抛物上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程.
25．如图，在△ABC中，A.
（1）如图1，若，将绕点顺时针旋转得到线段，连接.,求的度数；
（2）如图2，若，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，,点是的中点，连接交于点，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，若，将绕点旋转得到线段，连接,当取最大值时，在直线上取一点，连接，将沿翻折到所在的平面内，得到，连接.当取最小值时，直接写出的值.2026年九年级模拟考试数学参考答案
一、选择题
1-5：DDBCD;6-10:BBBCB
二、填空题
11. 12. 36° 13. 7
14.或（等价即可）
15. 6, 16. 1425, 2781
三、解答题
17.
解：由不等式①得：
由不等式②得：
通过画数轴得不等式解集为：，由此得出整数解： 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1,0
18.解：（1） 如图
（2）
① AE=AF
②
③ △ADF
④ 到两腰中点的距离相等
四、解答题
19.解：
（1）a=4, b=83, c=84.5 （3分）
（2）我认为八年级学生对安全知识学习情况更好。理由如下：因为七年级学生对安全知识学习成绩中位数为81，小于八年级学生安全知识学习成绩的中位数84.5，所以八年级学生对安全知识学习掌握的更好。（用众数也可以）（4分）
（3）（人） （3分）
答：估计该校七八年级安全知识学习优秀（x>80）的学生共有570人
20. 解：原式=
=2
=
=
= （7分）
∵ =1+= （9分）
∴ 原式 =
= （10分）
21.解:（1）设“经典哨子面”的单价是x元，“特色牛肉面”的单价是y元.
由题意，得. 解，得．
答：“经典哨子面”的单价是10元，“特色牛肉面”的单价是12元；
（2）设第二季度面粉的单价是m元，则第三季度面粉的单价是（1+20%）m元．
由题意，得．解，得m＝10．
经检验，m＝10是所列方程的解．
∴（1+20%）m＝（1+20%）×10＝12．
答：第三季度面粉的单价是12元．
22.解：(1)
（2）如图
的性质：当时，随增大而增大；当时，随增大而减小；
23.解：（1）如图;做BE⊥AD于点E,
由题意得∠A=45°，∠ABD=105°
∴∠D=180°-（∠A-∠ABD）=30°
在RT△ABE中，AB=60°,∠A=45°
∴BE=AE=AB=30
在RT△BDE中，∠D=30°
∴BD=2BE=(米）
答：小山B与亭台D之间的距离为60米. （ 5分）
（2）作DF⊥AB于E交线为F，作CG⊥A于E，交线于G
由（1）得在RT△BDE中，∠BED=90°，∠BDE=90°，
∴DE=BE=30
∴AD=30+30
在RT△ADF中,∠A=45° ∴ AF=DF=AD=30+30
在RT△CBG中,由已知得∠BCG=30°，CG=DF=30+30
∴ BG=10+30 ∴ BC=2BG=20+60 ,DC=60-20
∴ =AB+BC=20+20+60=120+20≈154.6（米）
=AD+CD=30+30+60-20≈141.2 （米）
∵ 141.2＜154.6且两人速度一致，同时出发.
∴西西先到
答：西西先到凤凰阁C处 （10分）
24.解：（1）抛物线与轴交于A,B(2,0)两点与轴交于C（0,6）
∴ ∴
∴ 抛物线的解析式为
(2)∵
∴ 当时，解得∴ A(-6,0)
∵C（0,6） ∴直线AC解析式为
过M作MFz⊥轴于F交AC于G,过D做DH⊥MF于H,
MD∥BC,ME∥AC
∴，，
∴
则
设，∴，∴
∵当时，最大，此时
在第一象限作,过点作，交轴于点.则有：
过点作轴于，则,∴
∴,
∴
(3)平移后
由得
①当在上方时，解析式为
由得
②①当在下方时，解析式为
由得
综上得：，
25.解：(1)如图1
在中，
是等腰三角形，
又因绕点顺时针旋转得到线段，
（2），，之间的数量关系为：
证明：过作交于点，则
由（1）得
是的中点，
(3)

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