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重庆育才中学教共体初2026届初三（下）第七次自主作业
数学试卷
（ 全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟 ）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．的倒数是（ ）
A． B．6 C． D．
2．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．手术前检查各项医疗器械是否准备妥当
B．调查某批蔬菜种子的发芽率
C．调查重庆市内一纵线车流量
D．调查2026年春节联欢晚会收视率
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．石墨烯是目前已知最薄的材料，其理论厚度仅为米，这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若的面积2，且，则的面积为（ ）
A．6 B．18 C．32 D．64
6．如图，点、、在上，，连接、．则大小为（ ）
A． B． C． D．
第5题图 第6题图
7．某客运公司规定旅客可以免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李费（元）与行李质量（）之间的函数表达式为，该函数图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．
B．
C．旅客最多可免费携带行李
D．当行李的质量超过规定时，超出部分的行李每千克需要加收元
8．如图，是的直径，点D、E是半圆的三等分点，的延长线交于点C．若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
9.如图，、分别是正方形纸片边、上的两点，连接，并将纸片沿着折叠，点B、D恰好重合于点H．过点F作FM⊥AF交AE的延长线于点M，连接CM．若，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
第8题图 第9题图
10.已知整式，其中n为自然数，为正整数，m，为整数，且．下列说法：
①若A为二次式，则m的最小值为3；
②若，则满足条件的A共有5个；
③当，时，满足关于x的二次函数与x轴有交点的A共有9个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．一个不透明的盒子中装有6个乒乓球，其中4个黄球，2个白球，这些乒乓球除颜色外无其他差别．小强同学从盒子中随机摸出1个乒乓球，则摸出的小球是黄球的概率是______．
12．若整数m满足，则m的值是______．
13．计算：______．
14．若实数、同时满足2，则________．
15. 如图，是的直径，点是上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，点为弧ACB的中点，点F是上一点，若，， ,则的值为 .
第15题图
16.我们规定：一个四位数，若M满足各个数位上的数字均不相等，且，则称这个四位数为“对称差数”.（例如：四位数4521，因为各个数位上的数字均不相等，且，所以4521是“对称差数”，按照这个规定，最小的“对称差数”是 ；一个“对称差数”，将其千位和百位数字调换位置，十位和个位数字调换位置，得到一个新的数，记，记3(其中，N的各个数位上数字之和记为.若能写成一个正整数的平方，则满足条件的正整数M为 .
三、解答题（本大题共9小题，17、18每小题8分，19-25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17． 解方程：（1） ． （2）
18．如图，在中，，，点为线段上任意一点，连接，过点作，交线段的延长线于点．
（1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：．
完成证明：
证明：∵
∴_____①_____
∵，
∴，
∴
在中，
∴_____②______
在与中
∴（____③____）
∴_____④____，
∵
∴
19．2026年4月15日是第11个全民国家安全教育日，维护国家安全是每个公民的基本义务．为增强国家安全意识，某校八、九年级部分学生参加了国家安全法知识竞赛．现从八、九年级参赛学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述、分析．成绩（用表示，单位：分）分为，，，四个等级，分别是：；；；．
下面给出了部分信息：
九年级20名学生的成绩为：
100，98，97，95，94，94，92，90，90，90，90，89，88，88，86，85，82，77，68，57；
八年级等级的学生成绩为：
89，88，88，88，88，87，83，82．
八、九年级所抽学生成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
九年级 87.5 90 100.05
八年级 87.5 88 63.25
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中，　 　 ，　 　 ，　 　 ；
（2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）抽取的九年级同学中，前4名为1名男生和3名女生，现准备在这4名学生中随机选出两人参加区级竞赛，请用画树状图或列表法求抽取的两名学生刚好是1名男生和1名女生的概率．
20．先化简，再求值：，其中．
21．某玩具车间准备用10天时间生产6000个“熊猫”套盒，计划先安排甲组工人生产4天，再安排乙组工人加入共同生产，则刚好能如期完成．已知甲组每天比乙组少生产200个套盒．
（1）求甲、乙两组每天各生产多少个套盒？
（2）实际生产过程中，甲组生产4天后，车间负责人给甲、乙两个小组分别增加2名工人，并将剩下的任务平均分给两个小组．增加人员后，甲、乙两小组每天生产的数量比为，甲小组完成剩下生产任务的天数比乙小组多2天，求增加人员前，甲组有多少名工人？（每人每天生产的数量相同）
22．如图，四边形为矩形，延长至点，连接，，，．动点沿以每秒1个单位长度的速度运动，到达点时停止运动；同时，动点沿以每秒0.5个单位长度的速度运动，到达点时停止运动．设点，的运动时间为秒，连接，，△的面积为，△和△的面积比为．
（1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（保留1位小数，误差不超过．
23．如图，一艘巡逻船在A处测得灯塔M位于A的南偏东方向上，巡逻船沿着正东方向航行30海里到达B处，测得灯塔M位于B的南偏东方向上，测得港口C位于B的东南方向．已知港口C在灯塔M的正东方向．（参考数据：）
（1）求灯塔M到巡逻船航线的距离；（结果保留根号）
（2）巡逻船位于点B处时突然接到通知，称灯塔M的设备发生故障，需要抓紧维修．巡逻船迅速采取以下行动：派出船上一名工作人员乘坐小艇沿BM方向前往灯塔M进行检查，预计检查时间为30分钟．同时，巡逻船从B处出发，先前往港口C领取维修配件（领取维修配件的时间忽略不计），之后再赶往灯塔M．已知巡逻船的速度为25海里/小时，小艇的速度为20海里/小时．请通过计算说明巡逻船能否在工作人员完成检查前，及时将维修配件送达灯塔M？（近似值精确到0.1）
24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线交 轴于点，交轴于点，已知，对称轴为直线，连接 ，过点作交抛物线于点（点异于点）。
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，再过点作于点，连接。当△的面积最大时，求出此时点的坐标；然后在轴和轴上分别取动点、，连接、、，求 △周长的最小值。
（3）如图2，在（2）的条件下，连接，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，连接，与线段交于点，点在轴上且在点的上方，满足时，请求出所有符合条件的点的坐标，并写出简要的求解过程。
图1 图2
25. 已知△ABC中，∠ABC＝45°，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE交于点F．
（1）如图1，若AE=3, AC=5,求AB的长；
（2）如图2，EG∥AC，且∠CGE＝45°，猜想线段BD，CD，CG之间有何数量关系，并证明你的猜想；
（3）若AE=，AC=，点P是AB边上一动点（点P与点E重合除外），连接FP，将△PEF绕点P顺时针旋转90°得到△PE'F'，连接BF'，CE'．当BF'最小时，直接写出的值．

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