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榆树市教育联盟4月份月考七年级数学试题
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列各数中，属于无理数的是（　　）
A．0 B． C．﹣2 D．
2．（3分）已知1.738，17.38，则a的值约为（　　）
A．525 B．5250 C．52500 D．525000
3．（3分）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若m为整数且mm+1，则m的值为（　　）
A．46 B．45 C．44 D．43
4．（3分）如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．∠B＝∠DEF＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后可用“HL”定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件是（　　）
A．BC＝EF B．∠BCA＝∠F C．BA∥EF D．AC＝DF
5．（3分）如图，△ACE≌△DBF，CD＝3，BC＝2，则AC＝（　　）
A．2 B．8 C．5 D．3
6．（3分）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合．过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线．这种方法是通过判定△MOC≌△NOC得到∠MOC＝∠NOC，其中判定△MOC≌△NOC的依据是（　　）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
7．（3分）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤尺规作图：
①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AC，∠A＝50°，则∠B的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．40°
8．（3分）如图，在△ABC中，分别延长AC，AB边上的中线BD，CE到F，G，使DF＝BD，EG＝CE，则下列说法：①GA＝AF；②GA∥BC；③GB＝AC；④四边形GBCF的面积是△ABC面积的3倍．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）已知，则a﹣20202＝　 　 ．
10．（3分）规定：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个正整数为“完美组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如2，8，18这三个数，，，，其结果都是整数，所以2，8，18三个数称为“完美组合”，其中最小算术平方根是4，最大算术平方根是12．若3，12，27三个数是“完美组合”，则其中最小算术平方根的平方根是　 　 ．
11．（3分）命题“如果a2＞b2，那么a＞b”的逆命题是 　 　 命题．（填“真”或“假”）
12．（3分）4101×0.2599＝ 　 　 ．
13．（3分）如图在△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，CD＝4，△CDE周长为12，则AC的长是 　 　 ．
14．（3分）如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别交于点A，B，点C在线b上，且CA＝CB．若∠1＝α，则∠2＝　 　 （用含α的式子表示）．
三、解答题（共78分）
15．（6分）已知am＝8，an＝16．
（1）求am+n的值；
（2）求a3m﹣2n的值．
16．（6分）计算：
（1）；
（2）（x﹣5）2﹣9＝7．
17．（8分）在学方根后，老师提出了一个问题：一个数的算术平方根为3x﹣2，平方根为±（x+2），求这个数．小明的解答过程如下，老师看完小明的解答后，说解答不正确．
解：这个数的算术平方根为3x﹣2．平方根为±（x+2），
∴3x﹣2＝x+2或3x﹣2＝﹣（x+2）．①
（i）当3x﹣2＝x+2时，解得x＝2，∴3x﹣2＝4，∴（3x﹣2）2＝16，∴这个数为16；②
（ii）当3x﹣2＝﹣（x+2）时，解得x＝0，∴3x﹣2＝﹣2，∴（3x﹣2）2＝4，∴这个数为4．③
综上所述，这个数为16或4．
（1）①②③中有问题的步骤是 　 　 ，错误原因是 　 　 ；
（2）已知一个数的算术平方根是m+4，平方根是±（3m+2），求这个数．
18．（6分）小明在计算（）100×3101时，采用了如下的解法．
（）100×3101＝（）100×3100×3＝[（）×3]100×3＝（﹣1）100×3＝3．
请你借鉴小明的解题思路，解决下列问题：
（1）若4a﹣3b+1＝0，求32×92a+1÷27b的值；
（2）已知x满足22x+4﹣22x+2＝96，求x的值．
19．（6分）如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC上和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，P点运动到AC上什么位置时△ABC和△APQ全等？
20．（6分）如图，DE是AC的垂直平分线，AB＝8cm，△ABD的周长为25cm，求BC的长．
21．（6分）图①、图②、图③均是6×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在给定的网格中按要求画图．要求：
（1）在图①中画一个△BCD使它与△ABC全等；
（2）在图②中画一个△ACE使它与△ABC全等；
（3）在图③中不同于（2）一个△ACE使它与△ABC全等．
22．（8分）如图，在多边形ABCDE中，BC⊥CD，BF⊥AE于点F，且BF＝BC，∠CBF＝2∠DBE，∠ABF＝∠CBD．
（1）求证：AB＝DB；
（2）若DE＝4，BF＝3，求△BDE的面积．
23．（12分）在平面直角坐标系xOy中，经过点M（0，m），且平行于x轴的直线记作直线y＝m．我们给出如下定义：点P（x，y）先关于y轴对称得到点P1，再将点P1关于直线y＝m对称得到点P2，则称点P2为点P关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”．举例：如图，P（3，1）先关于y轴对称得到点P1（﹣3，1），再将点P1关于直线y＝3对称得到点P2（﹣3，5），则称P2（﹣3，5）为点P关于y轴和直线y＝3的“青一对称点”．
（1）点A（2，5）关于y轴和直线y＝3的“青一对称点”A2的坐标是 　 　 ．
（2）点B（3m﹣n，m﹣2n）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”B2的坐标是（﹣10，8），求m和n的值．
（3）若C（3x﹣12，x+1）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”C2在第四象限，且得到关于x的取值范围内的所有整数解之和为5，求m的取值范围．
24．（14分）【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：
如图1，在△ABC中，点D是AB的中点，点E是AC的一个三等分点，且AC＝3CE，连接CD，BE交于点F，求证：CF＝FD．
①如图2，小鹏同学利用“三角形中位线的性质”的解题经验，取EB的中点G，连接DG，再通过“全等三角形的性质”解决问题；
②如图3，小亮同学利用“三角形相似的性质”的解题经验，过点C作CG∥AB，交BE的延长线于点G，再通过“全等三角形的性质”解决问题．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
（2）李老师发现之前两名同学都运用了数学的转化思想，将证明三角形线段的关系转化为我们熟悉的角度去理解．为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答：如图4，在△ABC中，点D是AB的中点，点E，G是AC的三等分点，BG，BE与CD分别交于点H，F，求HD：HF的值．
【学以致用】
（3）如图5，在△ABC中，AC＝BC，在射线AB上取点D，使BD＝2AB，连接CD，在CD上取点E，射线EB，CA相交于点F，当EB＝ED时，求BE：BF的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B B D C A B D
9．
2022．
10．
．
11．
假．
12．
16．
13．
8．
14．
180°﹣2α．
15．
解：（1）∵am＝8，an＝16，
∴am+n＝am an＝8×16＝128；
（2）∵am＝8，an＝16，
∴a3m﹣2n＝a3m÷a2n＝（am）3÷（an）2＝83÷162＝2．
16．
解：（1）原式＝﹣2+26
＝﹣6；
（2）原方程整理得：（x﹣5）2＝16，
则x﹣5＝±4，
即x﹣5＝4或x﹣5＝﹣4，
解得：x＝9或x＝1．
17．
解：（1）①②③中有问题的步骤是③，错误原因是算术平方根不能为负数．
故答案为：③，算术平方根不能为负数．
（2）当m+4＝3m+2时，解得m＝1，
∴m+4＝5＞0，
∴（m+4）2＝25，
∴这个数为25；
当m+4＝﹣（3m+2）时，解得m，
∴m+40，
∴（m+4）2，
∴这个数为．
综上，这个数为25或．
18．
解：（1）∵4a﹣3b+1＝0，
∴4a﹣3b＝﹣1，
∴32×92a+1÷27b
＝32×（32）2a+1÷（33）b
＝32×34a+2÷33b
＝34a+4﹣3b
＝34a﹣3b+4
＝3﹣1+4
＝33
＝27；
（2）∵22x+4﹣22x+2＝96，
∴22x+2+2﹣x2x+2＝96，
22x+2 22﹣x2x+2＝96，
22x+2 （22﹣1）＝96，
22x+2×3＝96，
22x+2＝32，
∴2x+2＝5，
解得：x＝1.5．
19．
解：当点P运动到AP＝BC或AP＝AC时，△ABC和△APQ全等，
理由：∵AQ⊥AC，
∴∠QAC＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠C＝∠QAC＝90°，
分两种情况：
当点P运动到AP＝BC时，△ABC和△APQ全等，
理由：在Rt△ABC和Rt△QPA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；
当点P运动到与点C重合时，即AP＝AC时，△ABC和△APQ全等，
理由：在Rt△ABC和Rt△PQA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；
综上所述：当点P运动到AP＝BC或AP＝AC时，△ABC和△APQ全等．
20．
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴CD＝AD，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝25cm，
∵AB＝8cm，
∴BC＝17cm．
21．
解：（1）如图，△BCD或△BCD′即为所求；
（2）如图，△ACE即为所求；
（3）如图，△ACE即为所求．
22．
（1）证明：∵BC⊥CD，BF⊥AE，
∴∠AFB＝∠C＝90°，
在△BFA和△BCD中，
∠AFB＝∠C＝90°，∠ABF＝∠CBD，BF＝BC，
∴△BFA≌△BCD（AAS），
∴AB＝BD，
（2）解：∵∠CBF＝2∠DBE，
∴∠CBD+∠DBF+∠EFB＝2∠DBE，
即∠CBD+∠EFB＝∠DBE，
∵∠ABF＝∠CBD，
∴∠ABF+∠EFB＝∠DBE，
即∠ABE＝∠DBE，
在△ABE和△DBE中，
AB＝BD，∠ABE＝∠DBE，BE＝BE，
∴△ABE≌△DBE（SAS），
∴S△ABE＝S△DBE，AE＝DE，
∵DE＝4，BF＝3，
∴AE＝DE＝4，
∴S△ABEAE BF4×3＝6，
∴S△DBE＝6．
23．
解：（1）∵点A（2，5）关于y轴的对称点为A1（﹣2，5），点A1（﹣2，5）关于直线y＝3对称点为A2（﹣2，1），
∴点A（2，5）关于y轴和直线y＝3的“青一对称点”A2的坐标是（﹣2，1），
故答案为：（﹣2，1）．
（2）∵点B（3m﹣n，m﹣2n）关于y轴的对称点为B1（﹣3m+n，m﹣2n），点B1（﹣3m+n，m﹣2n）关于直线y＝m对称点为B2（﹣3m+n，m+2n），
∴点B（3m﹣n，m﹣2n）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”B2的坐标是（﹣3m+n，m+2n），
∴，
解得：．
（3）∵点C（3x﹣12，x+1）关于y轴的对称点为C1（﹣3x+12，x+1），点C1（﹣3x+12，x+1）关于直线y＝m对称点为C2（﹣3x+12，2m﹣x﹣1），
∴点C（3x﹣12，x+1）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”C2的坐标是（﹣3x+12，2m﹣x﹣1），
∵点C2在第四象限，
∴，
∴2m﹣1＜x＜4，
∵关于x的取值范围内的所有整数解之和为5，
∴1≤2m﹣1＜2或﹣2≤2m﹣1＜﹣1，
∴1≤m或m＜0．
24．
（1）选择小鹏同学的解题思路．
证明：如图1，取BE的中点G，连接DG．
∵点D是AB的中点，
∴DG是△ABE的中位线，
∴DG∥AE，AE＝2DG，
∴∠ECF＝∠GDF，∠CEF＝∠DGF．
∵AC＝3CE，
∴AE＝2CE，
∴CE＝DG，
∴△CFE≌△DFG（ASA），
∴CF＝FD；
选择小亮同学的解题思路．
证明：如图2，过点C作CG∥AB，交BE的延长线于点G，
∴∠CGE＝∠ABE，∠GCE＝∠BAE，
∴△CGE∽△ABE，
∴．
∵AC＝3CE，
∴AE＝2CE，
∴AB＝2CG，
∵点D是AB的中点，
∴AB＝2BD，
∴CG＝BD，
又∵∠CFG＝∠DFB，
∴△CGF≌△DBF（AAS），
∴CF＝FD；
（2）解：如图3，连接GD．
∵点E，G是AC的三等分点，
∴CE＝EG＝AG，
由（1）可知 CF＝FD，
∴EF是△CGD的中位线，
∴EF：GD＝1：2，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴DG是△ABE 的中位线，
∴DG∥BE，DG：BE＝1：2，
∴∠DGH＝∠FBH，∠GDH＝∠BFH，DG：FB＝2：3，
∴△DGH∽△FBH，
∴HD：HF＝DG：FB＝2：3；
（3）解：如图4，过点C作CG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，过点F作FM⊥DA 的延长线于点M．
∵AC＝BC，EB＝ED，
∴AG＝BG，BH＝HD．
设AG＝BG＝x，
∵BD＝2AB，
∴BH＝HD＝2x，
∴DH：DG＝2：5，
∵CG⊥AB，EH⊥BD，
∴∠CGD＝∠EHD＝90°．
又∵∠D＝∠D，
∴△CGD∽△EHD，
∴EH：CG＝DH：DG＝2：5．
设EH＝2m，则CG＝5m，
∵FM⊥BA，
∴∠FMB＝∠EHB＝90°．
又∵∠MBF＝∠EBH，
∴△FMB∽△EHB，
∴，
设MA＝y，
∴，
∴，
∵∠FMA＝∠CGA＝90°，∠MAF＝∠GAC，
∴△MAF∽△GAC，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴x＝2y，
∴BH＝4y，MB＝5y，
又∵△FMB∽△EHB，
∴BE：BF＝BH：MB，
∴BE：BF＝4：5．

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