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2025-2026学年毓英中学八年级下期中考试卷
一．选择题（共10小题）
1．使二次根式有意义的x的取值范围是（　　）
A． B． C．x≤3 D．x≤﹣3
2．下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．5，11，13
3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线平分一组对角
C．对角线互相垂直 D．两组对边分别平行
4．下列二次根式的运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（　　）
A．12 B．13 C．144 D．194
6．如图，在 ABCD中，AD＝6，E为AD上一动点，M，N分别为BE，CE的中点，则MN的长为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．不确定
7．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为EF．若CD=12,AD=18,则DE的长为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
8．如图所示，一根树在离地面5米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前（　　）米．
A．10m B．15m C．18m D．20m
9．如图，在底面周长为3米的华表上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3图，每根华表刻有雕龙部分的柱身高为12米，则石柱上的雕龙有（　　）米．
A． B．20 C．15 D．
10．如图，四边形ABCD为矩形，对角线AC与BD相交于点O，点E在边DC上，连接AE，过D作DF⊥AE，垂足为F，连接OF，若∠DAE＝30°，DE＝1，则OF的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
11．若最简二次根式与是同类二次根式，则m＝　 　 ．
12．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是 　 　 ．
13．如图，在 ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1＝23°，则∠2的度数是　 　 ．
14．如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB＝4，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．当CD＝　 　 时，四边形EGFH是菱形．
15．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠DHO＝20°，则∠CAD的度数是 　 　 ．
16．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE＝CF，连接OE，OF，EF，在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：①△OEF是等腰直角三角形；②△OEF面积的最小值是1；③四边形OECF的面积始终不变；④至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是．所有正确结论的序号是　 　 ．
17．计算：；
18．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，求证：AF＝CE．
19．先化简，再求值：，其中a＝．
20．如图，已知∠MON＝90°，A，B为射线ON上两点，且OB＜BA．
（1）求作菱形ABCD，使得点C在射线OM上；（要求；尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接AC，若OA＝8，OB＝2，OC＝4，求BD的长．
21．如图，一架长为5米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子底端距离墙ON有3米．
（1）求梯子顶端与地面的距离OA的长．
（2）若梯子顶点A下滑1米到C点，求梯子的底端向右滑到D的距离．
22．黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌，这是武侠小说中的常见描述，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也常有这种相辅相成的“对子”，如：，，它们的积中不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：，．
像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．
解决问题：
（1）4+的有理化因式是　 　 ；将分母有理化得　 　 ；
（2）计算以下式子的值：
23．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）求证：AB﹣AC＝2BF．
24．我们定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边的交点为勾股顶点．例如，在图1中，若CD是△ABC中AB边上的高，且BC2﹣CA2＝CD2，则称△ABC为勾股高三角形，点C为勾股顶点．
【特例感知】
（1）如图1，CD是△ABC中AB边上的高，已知AD＝1，BD＝2，CD＝，请通过计算说明△ABC是否是勾股高三角形．
【深入探究】
（2）如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中点C为勾股顶点，且CA＞CB，CD是AB边上的高．探究线段AD与BC的数量关系，并给予证明．
【拓展应用】
（3）如图3，△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，且CA＞CB，CD为AB边上的高，过点D作DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F．若BC：AB＝3：5，求的值．
25．如图1，已知正方形ABCD，AB＝3，E是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），连接AE，点B关于直线AE的对称点为F，连接EF并延长交CD于点G，连接AG，AF．
（1）求∠EAG的度数；
（2）如图2，连接CF，若CF∥AG，求线段BE的长；
（3）如图3，在点E运动过程中，作∠GEC的平分线EH交AG延长线于H，若S△AGE：S△EGH＝4：1，求线段BE的长．
2025-2026学年毓英中学八年级下期中考试卷
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A D C B C C C D
二．填空题（共6小题）
11. 2
12.
13. 113
14. 4
15.
16．①③④
三．解答题（共8小题）
17．
18．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，求证：AF＝CE．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴CF＝CD，AE＝BC，
∴CF＝AE，CF∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝CE．
19．先化简，再求值：，其中a＝．
解：原式＝（﹣）
＝
＝，
当a＝+2时，原式＝＝．
20．解：（1）如图，菱形ABCD为所求作的图形．
（2）如图所示，
∵OA＝8，，
∴BC＝AB＝AO﹣BO＝8﹣2＝6，
∵＝BC2，
∴△BOC是直角三角形，且∠O＝90°，
在Rt△ACO中，．
S菱形ABCD=ABAC
∴BD
21．解：（1）AO＝＝4米；
（2）OD＝＝4米，BD＝OD﹣OB＝4﹣3＝1米．
22．解：（1）由题意可得，
4+的有理化因式是4﹣，
＝＝＝，
故答案为：4﹣，；
（2）原式=
23．
证明：（1）延长CE交AB于点G，
∵AE⊥CE，
∴∠AEG＝∠AEC＝90°，
∵AE平分∠BAC，
∴GAE＝∠CAE，
在△AEG和△AEC中，
，
∴△AGE≌△ACE（ASA）．
∴GE＝EC，
∵点D是边BC的中点，
∴DE为△CGB的中位线，
∴DE∥AB，
∵EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形；
（2）由（1）可知，四边形BDEF是平行四边形，
∴BF＝DE，
∵D、E分别是BC、GC的中点，
∴BF＝DE＝BG．
∵△AGE≌△ACE，
∴AG＝AC，
∴BF＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC），
∴AB﹣AC＝2BF．
24．解：（1）∵CD是△ABC中AB边上的高，AD＝1，BD＝2，，
∴BC2﹣AC2＝BD2+CD2﹣CD2﹣AD2＝4﹣1＝3，，
∴BC2﹣AC2＝CD2，
∴△ABC是勾股高三角形．
（2）AD＝BC，理由如下：
由CA2﹣CB2＝CD2可得：CA2﹣CD2＝CB2，
而CA2﹣CD2＝AD2，
∴AD2＝CB2，即AD＝BC；
（3）∵BC：AB＝3：5，
设BC＝3x，则AB＝5x，
结合（2）得：AD＝BC＝3x，
∴BD＝5x﹣3x＝2x，
∵CD⊥AB，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
25．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，点B关于AE对称，
∴AB＝AF＝AD，∠BAE＝∠EAF＝∠BAF，∠B＝∠AFE＝∠D＝90°，
∵AG＝AG，
∴Rt△AFG≌Rt△ADG（HL），
∴∠FAG＝∠DAG＝∠FAD，
∴∠EAG＝∠EAF+∠GAF＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝45°．
（2）∵CF∥AG，
∴∠AGF＝∠CFG，∠AGD＝∠FCG，
∵△AFG≌△ADG，
∴∠AGF＝∠AGD，
∴∠GFC＝∠FCG，
∴FG＝DG＝CG＝1.5，
设BE＝x，则EG＝x+1.5，EC＝3﹣x，
∵EC2+CG2＝EG2，
∴（3﹣x）2+1.52＝（x+1.5）2，
∴x＝1，
即BE＝1．
（3）过点H作HM⊥EG，交EG的延长线于点M，HN⊥BC，交BC的延长线于点N，
∵点B关于直线AE的对称点为F，
∴AB＝AF，∠AEB＝∠AEF，
∵EH平分∠CEG，
∴∠CEH＝∠GEH，
∴∠AEH＝∠BEC＝90°，
∵∠EAH＝45°，
∴∠EAH＝∠AHE，
∴AE＝EH，
∵∠AEB+∠HEN＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠HEN，
∵∠ABE＝∠ENH＝90°，
∴△ABE≌△ENH（AAS），
∴BE＝HN，
∵EH平分∠CEG，HM⊥EG，HN⊥BC，
∴MH＝HN，
∵，，
∴，
∴，
∵AB＝3，
∴BE＝．

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