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2025—2026学年第二学期期中考试试卷
初二年级数学学科 2026年4月
注意事项：
1．本试卷满分100分，考试时间100分钟；
2．所有的答案均应书写在答题卷上，按照题号顺序答在相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；书写在试题卷上、草稿纸上的答案无效；
3．字体工整，笔迹清楚.保持答题纸卷面清洁.
一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项前的字母填在答题卡相应位置上.
1．矩形、菱形和正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．每一条对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直
2．关于方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根
C．方程有一个实数根 D．方程无实数根
3．下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）
A．了解一批超高音速导弹的使用寿命 B．考察全国人民保护国家安全的意识
C．了解军事训练中几个打击目标的坐标 D．了解全国小学生的身体健康状况
4．用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．2026苏超是江苏足球的“超”级盛宴，它已不只是赛事，而是江苏体育新IP，城市文化新载体，消费升级新引擎，让足球回归大众，在这个足球联赛中，参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了78场.设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，四边形ABCD中，，，，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A．2 B．2.5 C． D．4
7．如图，把放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上.已知，，，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形ABCD中，H，F分别为CD，BC上两动点（不与正方形端点重合），且满足，分别过点H，F作，，交于P点，记矩形AEPG，矩形EDHP，矩形PHCF，矩形PFBG，面积依次为S1，S2，S3，S4，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分.把答案直接填在答题卡相应位置上.
9．在中，若，=______.
10．已知方程，当m=______时，是关于x的一元二次方程.
11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分线段BO，垂足为点E，cm，则AB的长为______cm.
12．若x1，x2是一元二次方程的两个实数根，则的值为______.
13．如图，已知在平面直角坐标系中，，，直线与BC、OA分别相交，且将的面积分成相等的两部分，则k的值是______.
14．【跨学科·地理】地理实践课上，活动小组的同学在一张面积为100cm2的长方形卡片上绘制了如图1所示的河北省地形图，他们想了解该地形图的面积，经研究采取了以下办法：将长方形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录落在该地形图上的次数（球扔在地形图最外围的界线上或长方形区域外不计入试验结果）.他们将若干次有效试验结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此估计该地形图的面积大约为______cm2.
15．如图，在中，四个内角的角平分线AE，DE，BF，CF交于E，F两点，，，，则EF的长为______.
16．如图，在矩形ABCD中，，，E，F分别在BC，AB边上，连接AE，CF且，则的最小值为______.
三、解答题：本大题共10小题，共68分.请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.
17．（本题满分6分）解方程：
（1）； （2）；
18．（本题满分5分）已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1、x2是方程的两根，且，求k的值.
19．（本题满分6分）某学校为落实国家15分钟课间政策，丰富学生的课间生活，随机抽取学生开展“你最喜爱的课间活动是______”的问卷调查，要求学生必须从“A（体育竞技类）、B（轻松游戏类）、C（自由交流类）、D（艺术创作类）”四种类型中选择一项.根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图.
请你根据图中提供的信息，完成下列问题：
（1）本次调查的学生人数为______人；
（2）在扇形统计图中，“A（体育竞技类）”部分所对应扇形的圆心角的度数为______度；
（3）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（4）若该校共有2000名学生，估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生有多少人？
20．（本题满分6分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 b 295 484 601
摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
（1）求出表中a=______，b=______.
（2）估计当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）.
（3）若从口袋里再拿出去a个白球，这时从口袋里任意摸出一球是白球的概率为，求a的值.
21．（本题满分6分）如图，在四边形AECD中，，DB平分，.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，的周长为18，求菱形ABCD的面积.
22．（本题满分6分）为了丰富学生的课余生活，学校计划在校园内建造一个活动区域（长方形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27m，AB位置的墙最大可用长度为15m），另两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的HE、GF、HG三处各留0.5m、0.5m、2m宽的门（不用栅栏）.建成后栅栏总长45m.
（1）若活动区域（长方形ABCD）的一边CD长为10m，则另一边BC=______m.
（2）若活动区域（长方形ABCD）的面积为165m2，求边CD的长.
23．（本题满分7分）已知：正方形ABCD的边长为a，P是边CD上一个动点不与点C、点D重合，，以CP为一边在正方形ABCD外作正方形PCEF，连接BF、DF.
观察计算：
（1）如图1，当，时，四边形ABFD的面积为______；
（2）如图2，当，时，四边形ABFD的面积为______；
（3）如图3，当，时，四边形ABFD的面积为______；
探索发现：
（4）根据上述计算的结果，你认为四边形ABFD的面积与正方形ABCD的面积之间有怎样的关系？
24．（本题满分8分）定义：若关于x的一元二次方程的两根均为整数，则称该方程为“快乐方程”.对于“快乐方程”，定义其“快乐数”为.
现探究以下问题：
（1）“快乐方程”的“快乐数”为______；
（2）若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”.
（3）对于“快乐方程”（b、c为整数），若其“快乐数”（n为正整数），且方程的两根x1，x2满足，求该方程的“快乐数”所有可能的值.
25．（本题满分8分）如图，在四边形ABCD中，，，cm，cm，cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线向终点D运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒.
（1）PB=______，CQ=______.（用含t的式子表示）
（2）当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
（3）只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形PBCQ为菱形，则点Q的运动速度为多少？
26．（本题满分10分）综合与实践
问题情境：
数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点E，使，将点E绕点C逆时针旋转90°得到点E′，射线DE，E′B交于点F.
特例研究：
（1）精勤小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点E在对角线AC中点O处时，点F与点B重合，此时四边形EFE′C的形状为______.
探究发现：
（2）博雅小组发现，如图2，只要，四边形EFE′C的形状都是正方形，请证明：
（3）卓越小组受博雅小组的启发，进一步深入探究，如图3，取BC中点G，连接E′G，FO，AF，又发现：在点E运动过程中，FO与E′G始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由：
拓展应用：
（4）在（3）的条件下，已知，，直接写出BF的长.

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