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成都市第四十三中学校2025—2026学年度（下）半期考试试卷
八年级数学
　　　　　　　　　　班级：　　　　　姓名：
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大版2024八年级数学下册第1-4章。
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）.
1．神舟十七号发射成功并对接中国空间站，标志着中国载人航天走过空间站关键技术验证阶段和建造阶段，下列航天图标是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．若等腰三角形的一边长为，周长为，则此等腰三角形的底边长是（ ）
A．或 B． C． D．或
4．下列多项式中，能分解出因式m+1的是（　　）
A．m2﹣2m+1 B．m2+1
C．m2+m D．（m+1）2+2（m+1）+1
5．杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐米，横梁米，那么从梁上的任意一点要支一根木头顶往屋顶处，这根木头需要长度可能是（ ）米．
A． B． C． D．
6．如图，已知∠ABC，以点B为圆心，以任意长为半径作弧分别交射线BA，BC于 点M，N，分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径作弧，两弧相交于点P；在射线BC上取点H，以点H为圆心，以线段BH长为半径作弧交射线BP于点D；点E，F分别在射线BA，HD上，∠AEF＝68°，射线EF，BD交于点G，∠FDG＝39°，则∠EGB＝（　　）
A．29° B．30° C．38° D．39°
7．如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，DF交BC于点H，CH＝3cm，EF＝7cm，则阴影部分的面积为（　　）
A．16cm2 B．12cm2 C．11cm2 D．8cm2
8．如图，在中，，把绕点A逆时针旋转得到，连接，当时，的长为（ ）
A． B．10 C． D．
第Ⅱ卷（共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
9．分解因式：4ax2﹣16ay2＝　 　．
10．某校开展了“科技节”课外知识竞赛．一共有20道题，每答对一题加5分，不答不扣分，每答错一题倒扣2分．已知小明答错与不答的题数相同，最后比赛得分超过64分．设小明答错了道题，根据题意，可列出关于的不等式为 ．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x的不等式组的解集为 ．
12．如图，在的斜边上截取，过点作交于点．若，，则的长为 ．
13.如图，在中，边的中垂线，分别与、边交于点、两点，边的中垂线，分别与、边交于点、两点，连接、若的周长为，则的长为 ．
三、解答题 （本大题共5小题，其中14题12分，15-16题，每题8分，17-18题，每题10分，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
14．（12分）解不等式（组）：
(1)；
(2)，并把它的解集表示在数轴上．
15．（8分）学习了等腰三角形后，小明发现等腰三角形顶角顶点处的外角正好是其底角的两倍，于是他对“作一个角等于已知角的两倍”有了新的思路，请根据他的思路完成以下作图与推理证明填空，并注明其中蕴含的数学依据：用直尺和圆规，作线段的垂直平分线分别交于点，交于点，连接（只保留作图痕迹）．
求证：．
证明：是的垂直平分线，
①__________（依据：②____________________________），
③__________（依据：等边对等角）．
是的外角，
④__________（依据：⑤____________________________），
．
16．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
(1)将△ABC向右平移4个单位长度得到，请画出；
(2)画出△ABC关于点的中心对称图形；
(3)若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标．
17．（10分）要把二次三项式x2+4x＝5分解因式，我们可以在+4x＝5中先加上一项4，使它与x2+4x成为一个完全平方式，然后再减去4，整个式子的值不变，于是有：x2+4x＝5＝+4x+4﹣4﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+5）（x﹣1）．像这种先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，这种方法不只是用于分解因式，还用于其他如求值、方程转化等；请利用“配方法“解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣20x+91．
（2）当a，b为何值时，a2﹣2ab+2b2+4b+2025有最小值？最小值是多少？
（3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+b2+c2﹣12a﹣16b﹣20c+200＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．
18．（10分）如图，在中，，将△ABC绕点C顺时针旋转得到，与交于点O，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上，连接．
(1)求证：平分；
(2)试判断与的位置关系，并说明理由；
(3)若，，求的面积．
B卷（共50分）
一、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
19．若x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），则m﹣n的值为　 　．
20.已知，，则代数式 ______．
21.关于的不等式组恰有两个整数解，的取值范围为 ．
22．如图第一象限内有两点P（m﹣4，n），Q（m，n﹣3），将线段PQ平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 　．
23．如图，等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D是AB上一点，AD＝2，BD＝4，E是边BC上的动点，若点E绕点D逆时针旋转30°的对应点是F，连CF，则CF的最小值是　 　．
二、解答题 （本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
24．（8分）灵蛇献瑞，已蛇呈祥.新年之际，探亲访友，都会提上新春礼盒，缤纷美食，满载幸福与甜蜜.重庆某百货超市计划主推两款礼盒：坚果礼盒“锦然秋鸿”和糖果礼盒“甘饴冬藏”．已知4件坚果礼盒和5件糖果礼盒进价1200元，7件坚果礼盒和2件糖果礼盒进价1290元．
(1)求每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是多少元？
(2)超市决定用不超过66600元资金购进坚果礼盒和糖果礼盒共500盒，其中坚果礼盒的数量不少于糖果礼盒数量的，且两种礼盒的进价保持不变，在运输过程中，有5件坚果礼盒外包装破损，3件糖果礼盒外包装破损，销售时每件坚果礼盒售价为175元，每件糖果礼盒售价为150元，外包装破损的产品均按售价的六折出售，若本次购进的两种礼盒全部售出，请问坚果礼盒购进多少件时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？
25．（10分）如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，．
(1)求证：；
(2)求证：是等边三角形；
(3)如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，．若点恰好也是的中点，且，求的面积．
26．（12分）【问题初探】
在数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：
（1）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点P在其内部，∠APC＝135°，PA＝1，，求PB的长；
经过同学们的观察、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将△ABP绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△ACQ，连接PQ，探究PC，PQ，CQ三边之间的数量关系，…根据以上分析过程，PB＝　 　．
【类比分析】
（2）如图2，在等边△ABC中，点P在其内部，且PA＝2，，，求∠APB的度数．
【拓展应用】
（3）①如图3，在△ABC中，BC＝4，点P在其内部，△PAC是等腰三角形，且∠APC＝120°，若，∠PBC＝60°，求AB的长．
②如图4，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点P为平面内一点，若∠APB＝90°，∠BPC＝150°，请直接写出的值．
八年级数学下学期期中数学卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）.
1 2 3 4 5 6 7 8
D B C C B A C C
第Ⅱ卷（共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
9．4a（x+2y）（x﹣2y）
10．
11．
12．3
13.14
三、解答题 （本大题共5小题，其中14题12分，15-16题，每题8分，17-18题，每题10分，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
14．【详解】（1）解：去括号，得，……………………………………1分
移项得：，……………………………………2分
合并同类项，得，……………………………………3分
系数化为1，得．……………………………………4分
（2）解不等式，得，……………………………………5分
解不等式，得，……………………………………6分
则不等式组的解集为．……………………………………7分
将不等式组的解集表示在数轴上如下：……………………………………8分
15．【详解】解：作答如图；
……………………………………3分
证明：∵是的垂直平分线
∴，（依据：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）；
∴，（依据：等边对等角）．
∵是的外角
∴（依据：三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角之和）；
∴．
故答案为：①；②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；③；④；⑤三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.…………………8分（每空1分）
16．【详解】（1）解：解：如图，即为所求作的三角形：………………………2分
；
（2）解：如图，即为所求作的三角形：
……………………………………4分
（3）解：如图，连接，，交于点，即可得到旋转中心为．…………………………6分
……………………………………8分
17．【详解】解：（1）x2﹣20x+91
＝x2﹣20x+100﹣100+91
＝（x﹣10）2﹣9
＝（x﹣10+3）（x﹣10﹣3）
＝（x﹣7）（x﹣13）；……………………………………3分
（2）a2﹣2ab+2b2+4b+2025
＝a2﹣2ab+b2+b2+4b+4﹣4+2025
＝（a﹣b）2+（b+2）2+2021，
∴当a＝b＝﹣2时，有最小值，最小值为2021；……………………………………6分
（3）a2+b2+c2﹣12a﹣16b﹣20c+200＝0，
（a2﹣12a+36）+（b2﹣16b+64）+（c2﹣20c+100）＝0，
（a﹣6）2+（b﹣8）2+（c﹣10）2＝0，
解得：a＝6，b＝8，c＝10，
∵a2+b2＝62+82＝100＝102＝c2，
∴△ABC时直角三角形．……………………………………10分
18．【详解】（1）证明：绕点顺时针旋转得到，
，，……………………………………2分
，
，
平分；……………………………………3分
（2）解：，理由如下：
，
，……………………………………4分
，，
，……………………………………6分
，
，
；……………………………………7分
（3）解：作于，
，，
，
，
是等腰直角三角形，……………………………………8分
是等腰直角三角形，
，
，
，……………………………………9分
的面积．……………………………………10分
B卷（共50分）
一、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
19．3
20.
解：
，
把，代入原式，
则原式
．
21.【答案】，
解：不等式组的解集为：，
关于的不等式组恰有两个整数解，
．
，
22．（0，3）或（﹣4，0）
23．32
二、解答题 （本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
24．【详解】（1）解：设每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是x元，y元，
根据题意得：，……………………………………1分
解得，……………………………………2分
答：每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是150元，120元；………………………3分
（2）解：设坚果礼盒购进a件，则糖果礼盒购进件，
根据题意得：，……………………………………4分
解得：，……………………………………5分
又，
解得：，
，……………………………………6分
设利润为w元，根据题意得：
，……………………………………7分
，
随a的增大而增大，
当时，w最大，最大值为，
答：坚果礼盒购进220件时．可使本次销售获得最大利润，最大利润是15740元．……………………8分
25．【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形，
∴，，，
∴，……………………………………1分
在和中，
，
∴，……………………………………2分
∴；……………………………………3分
（2）证明：∵点，分别是，的中点，
∴，，……………………………………4分
∵，
∴，
∵，
∴，……………………………………5分
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形．……………………………………6分
（3）解：∵与都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，……………………………………7分
∴，，
∵点，分别是，的中点，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，……………………………………8分
∴，
∵，且点也是的中点，
∴，
∴，……………………………………9分
∵，，
∴，
∴，
∴的面积为．……………………………………10分
26．【详解】解：（1）已知将△ABP绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△ACQ，
∴△ABP≌△ACQ，
∴AP＝AQ＝1，BP＝CQ，∠PAQ＝90°，
∴△APQ是等腰直角三角形，则∠APQ＝∠AQP＝45°，
∴在Rt△APQ中，，
∵∠APC＝135°，
∴∠CPQ＝∠APC﹣∠APQ＝135°﹣45°＝90°，
∵，∴△CPQ是等腰直角三角形，
∴，即PB＝AC＝2，
故答案为：2；……………………………………1分
（2）如图所示，将△ABP绕点A逆时针旋转60°，得△ACE，
∴△ABP≌△ACE，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，，∠APB＝∠AEC，
∴△APE是等边三角形，……………………………………2分
∴AP＝PE＝AE＝2，∠APE＝∠AEP＝∠PAE＝60°，
在△CEP中，，PE2＝22＝4，，
∴PC2＝PE2+CE2，
∴△CEP是直角三角形，∠CEP＝90°，……………………………………3分
∴∠AEC＝∠AEP+∠PEC＝60°+90°＝150°，
∴∠APB＝150°；……………………………………4分
（3）①已知△APC是等腰三角形，∠APC＝120°，
∴∠PAC＝∠PCA＝30°，如图所示，将PB绕点P顺时针旋转120°，得PQ，连接BQ，AQ，CQ，
∴∠APC+∠APQ＝∠APQ+∠BPQ，
∴∠CPQ＝∠APB，PQ＝PB，CP＝AP，
∴△CPQ≌△APB（SAS），
∴AB＝CQ，∠BPQ＝120°，BP＝CP，
∴∠PBQ＝∠PQB＝30°，且∠BPC＝60°，
∴∠QBC＝90°，……………………………………………………………………5分
过点P作PR⊥BQ于点R，在Rt△BPR中，，∠PBR＝30°，
∴，，
∴，在Rt△BCQ中，，BC＝4，
∴，
∴AB；……………………………………………………………………6分
②已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
第一种情况，如图所示，点P在△ABC外面，∠APB＝90°，∠BPC＝150°，
则∠APC＝60°，将△APC绕点A顺时针旋转120°，得△ABG，
∴∠PAG＝120°，AP＝AG，CP＝GP，
∴∠AGP＝∠APG＝30°，……………………………………7分
则∠BPG＝∠APB﹣∠APG＝90°﹣30°＝60°，
∴∠AGB＝∠APC＝∠BPG＝60°，
则∠BGP＝∠AGB﹣∠AGP＝60°﹣30°＝30°，
∴∠BGP+∠BPG＝60°+30°＝90°，
∴△BGP 是直角三角形，
即∠GBP＝90°，……………………………………8分
∴，
∴；……………………………………9分
第二种情况，如图所示，点P在△ABC内部，∠APB＝90°，∠BPC＝150°，∠BAC＝120°，AB＝AC，则∠ABC＝∠ACB＝30°，将△APC绕点A顺时针旋转120°，得△AHB，连接PH，
∴△APC≌△AHB，
∴AP＝AH，∠PAH＝120°，∠ACP＝∠ABH，CP＝BH，
∴∠AHP＝∠APH＝30°，
则∠BPH＝∠APB﹣∠APH＝90°﹣30°＝60°，……………………………………10分
∵∠BPC＝150°，
∴△BPC 中，∠PBC+∠PCB＝30°，
∴∠ABC+∠ACB﹣（∠PBC+∠PCB）＝60°﹣30°＝30°，
∴∠ABP+∠ACP＝30° 30°，
∴∠ABP+∠ABH＝∠PBH＝30°，
∴∠PBH+∠BPH＝30°+60°＝90°，
∴∠BHP＝90°，
即△BPH直角三角形，……………………………………11分
∴，
∴；
综上所述，的值为或．……………………………………12分

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