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浙教版数学八（下）同步分层训练1.2 二次根式的性质（2）
一、【经典例题】
1．化简下列各式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
2．化简
（1） ；
（2） ；
（3）6 ；
3．【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：
等．
（1）【猜想】 ▲ ，并证明你的猜想；
（2）【推理证明】请你用一个正整数（为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明．
（3）【创新应用】按此规律，若（为正整数），则的值为　 　．
4． 阅读下列解题过程，按要求回答问题．
化简：
解：原式= ①
=②
=③
=④.
（1）上面的解答过程是否正确？若不正确，指出是哪一步出现错误；
（2）请写出你认为正确的解答过程．
二、【基础训练】
5．下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
6．在，，，，中，最简二次根式的个数为(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
8．已知，则的值为（　　）
A． B． C．2025 D．4050
9．将化简，正确的结果是（　　）
A．3 B．3 C．6 D．
10．下列各式计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．把化为最简二次根式，结果是　 　．
12．若与最简二次根式是同类二次根式，则　 　．
13． 阅读材料：
将等式 反过来，可得到 ． 根据这个思路，我们可以把根号外的因式 “移人”根号内， 用于根式的化简．例如： ．请你仿照上面的方法， 化简下列各式：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
14．化简 ：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
15． 如图， 等边三角形 的边长为 于点 ．
（1）求 的长．
（2）求 的面积．
16．观察下列各式，发现规律：
；；；……
（1）填空：　 　，　 　．
（2）计算（写出计算过程）：
（3）用含自然数n（）的等式把你所发现的规律表示出来．
三、【培优训练】
17． 下列各式不成立的是（　　）
A． B． C． D．
18．若是正整数，最小的正整数n是（　　）
A．6 B．3 C．48 D．2
19．已知=a，=b，则=（　　）
A． B． C． D．
20．二次根式化简结果正确的为（　　）
A． B． C． D．
21．把的根号外的适当变形后移入根号内，得（　　）
A． B． C． D．
22．设，则S最接近的数是（　　）
A．2008 B．2009 C．2010 D．2011
23．观察下列各式：①；②；③；④；…，则第7个等式是　 　．
24．观察下列等式，并回答问题：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
……
（1）请直接写出第5个等式　 　；
（2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并证明；
（3）计算：．
25．观察下列各式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；…
根据上述规律，解答下面的问题：
（1）若；则　 　，　 　．
（2）的值为　 　．
（3）请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明．
26．观察下列等式∶
第1个：；
第2个：；
第3个：；
第4个：；
…
按照以上规律，解决下列问题∶
（1）写出你猜想的第个等式　 　；（用含的等式表示）
（2）根据上面的结论计算的结果．
27． 下列式子是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
28．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
四、【课后作业】
29．下列二次根式中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
30．与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
31．化简二次根式的结果是（　　）
A． B． C． D．
32． 若是整数，则正整数的最小值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
33． 化简 　 　， 　 　，　 　， 　 　，　 　，　 　
34．已知，化简　 　．
35．已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值3×7=21.
设n为正整数，若是大于1的整数，求n的最小值和最大值
36．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为为格点三角形．
（1）求的三边的长；
（2）判断的形状，并说明理由．
37．观察下列等式及验证，解答后面的问题：
第1个等式：，验证：；
第2个等式：，验证：；
第3个等式：，验证：．
（1）请写出第4个等式，并验证；
（2）按照以上各等式反映的规律，猜想第个为正整数，且等式，并通过计算验证你的猜想．
38．阅读下面的解题过程，判断是否正确.若不正确，请写出正确的解答过程.
已知m为实数，化简
解：原式
答案解析部分
1．【答案】（1）解：=×=5×3=15.
（2）解：==×=6×100=600.
（3）解：==×=3×5=15.
（4）解：==××=2××13=
（5）解：原式==×=6
（6）解：原式===×=10-3×=
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】⑴根据及进行计算.
⑵根据作答.
⑶根据及平方差公式计算
⑷先处理被开方数符合问题，再根据及计算.
⑸先处理被开方数符合问题，再根据及计算.
⑹根据计算.
2．【答案】（1）解：原式＝ ；
（2）解：原式＝ ＝ ；
（3）解：原式＝6× ＝2 ．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）分子、分母都乘以 ，再进一步化简可得；（2）先化简，再约分即可得；（3）先化简，再计算乘法即可得．
3．【答案】（1）解：，证明如下，
，
故答案为：；
（2）解：，证明如下，

（3）71
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（3），
，，
，
，
故答案为：．
【分析】(1)观察题目给出的“"穿墙”规律，直接猜想再通过把带分数化为假分数并配方开方来证明等式成立；
(2)从前面的例子归纳出通用规律，再将根号内的式子通分、配方，利用完成证明；
(3)把 与通用规律对比，确定a和b的值，再计算a+b。
4．【答案】（1）解：不正确，
∵y＜x＜0，
∴y-x<0，
∴=x-y，
∴②③出现错误；
（2）解：原式=
=
=-x
=
=.
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质可知（x＜0），即可求得；
（2）根据二次根式的性质化简，即可求得.
5．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A．不是最简二次根式，故A不符合题意；
B．不是最简二次根式，故B不符合题意；
C．不是最简二次根式，故C不符合题意；
D．是最简二次根式，故D符合题意．
故选：D．
【分析】根据最简二次根式的定义“被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式”逐项判断即可．
6．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】，不是最简二次根式；
的被开方数中含有分母，不是最简二次根式；
、符合最简二次根式的定义，所以它是最简二次根式；
它不是最简二次根式；
综上所述，上述二次根式中是最简二次根式的个数是2个，
故选：B.
【分析】根据二次根式的定义“二被开方数不含分母，且不含能开方的因数或因式的二次根式是最简二次根式”解答即可．
7．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：因为：A、 = ；
B、 =2 ；
D、 = |b|；
所以这三项都可化简，不是最简二次根式．
故选：C．
【分析】A选项的被开方数中含有分母；B、D选项的被开方数中含有能开得尽方的因数或因式；因此这三个选项都不是最简二次根式．
所以只有C选项符合最简二次根式的要求．
8．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；解一元一次不等式组；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，解得：，
∴，
∴
故答案为：B.
【分析】先根据有意义，求出x，再求出y，然后代入求值.
9．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
=
=3×
=6．
故选：C．
【分析】首先把8分成22×2，然后根据化简二次根式的步骤，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来，求出将化简，正确的结果是多少即可．
10．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、，本选项符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、实数范围内被开方数不能为负数，， 本选项不符合题意；
故选：A．
【分析】根据二次根式的性质逐项进行判断即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】二次根式的性质：.
12．【答案】
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：与最简二次根式是同类二次根式，
解得
故答案为：.
【分析】先化简，根据最简二次根式与同类二次根式的定义得到a+1=3，求出a的值解答即可．
13．【答案】（1）解：3==
（2）解：
（3）解：
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算
【解析】【分析】将根号外的因式 “移人”根号内，关键在于利用二次根式的性质，将根号外的因式转化成二次根式，然后结合二次根式的乘法法则“合并”成一个根式，视情况可进一步化简.
14．【答案】（1）原式=
（2）原式=
（3）原式
（4）原式=
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘法结合题意化简即可求解；
（2）根据二次根式的乘法结合题意化简即可求解；
（3）先运算减法，进而化简二次根式即可求解；
（4）先将假分数化为真分数，进而根据化简二次根式即可求解。
15．【答案】（1）解：根据条件得AB=4cm，BD=2cm.
再根据勾股定理得.
（2）解：.
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形的面积；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据正三角形的性质，结合条件得出AB、BD长，然后根据勾股定理计算出AD；
（2）根据三角形面积公式，代入BC、AD即可计算.
16．【答案】（1）；
（2）解：
；
（3）解：（自然数）
【知识点】二次根式的性质与化简；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：（1），
.
故答案为：，；
【分析】（1）根据题意中给出的算式找出规律，即可得到答案；
（2）先将被开方数进行通分计算，再根据二次根式的性质化简即可得到答案；
（3）分析所给的等式的形式进行总结，对整式进行整理，即可得到答案.
17．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、 ，成立，不符合题意；
B、 ，成立 ，不符合题意；
C、 ，不成立， 符合题意；
D、 ，成立 ，不符合题意；
故答案为：C .
【分析】将带分数转换为假分数后，判断是否能表示为 的形式，从而验证等式是否成立.
18．【答案】B
【知识点】二次根式的概念；最简二次根式
【解析】【解答】解：=
∵是正整数，即是正整数，
∴最小的正整数n是3．
故答案为：B．
【分析】先将所给二次根式化为最简二次根式，然后再判断n的最小正整数值即可．
19．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
．
∵a，b，∴原式．
故答案为：D．
【分析】把0.063写成分数的形式，化简后再利用积的算术平方根的性质，写成含ab的形式．
20．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴原式
，
故答案为：．
【分析】先根据，得出，再化简．
21．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
∴，
∴；
故答案为：D．
【分析】本题考查二次根式有意义的条件和二次根式的化简，首先需确定的取值范围，再根据符号规则将根号外的式子移入根号内。由二次根式有意义的条件可知，被开方数，因此，即，由此可得；将负数移入根号时，需先将其化为（因为负数的平方开根号后需保留符号），再根据二次根式的乘法法则，原式可化为，化简后得到。
22．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【解答】设n为任意正整数，
∴
∴
，
因此与s最接近的整数是2009．
故答案为：B．
【分析】先得到，然后开方，再运用裂项相加解题即可．
23．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：，
…
第n个等式∶
当时，．
故答案为：
【分析】通过观察，归纳总结出规律为，再把n=7代入即可求解．
24．【答案】（1）
（2）证明：

（3）解：原式＝
＝
＝1
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）直接按照数式规律填写即可；
（2）按照分式的混合运算顺序先算括号内的异分母分式的减法，即先通分化异分母分式为同分母分式，再进行分式的乘法运算，最后再利用二次根式的性质把分母中的移到根号外即可；
（3）先利用对进行变形，再应用二次根式的乘法运算法则进行计算即可.
25．【答案】（1）15；64
（2）
（3）解：第n个等式为：，即.
证明：左边=右边，
∴．
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，
，
∴，，
故答案为：，；
（2）由题意可得，
，
故答案为：；
【分析】(1)观察规律，第n个等式右边是，这里右边是，对应n=8，代入左边式子即可求出a和b；
(2)把 与规律对比，确定它对应第100个等式，直接套用规律即可得出结果；
(3)先归纳出第个等式的表达式，再通过将根号内通分、因式分解、开方来完成证明。
26．【答案】（1）
（2）解：
=
=
=
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）第1个：；
第2个：；
第3个：；
第4个：；
…
第个等式，
故答案为：；
【分析】(1)观察前几个等式的结构，归纳出第n个等式的通用形式，直接写出即可；
(2)先利用第(1)问的结论，把每一项根式都转化为的形式，再通过裂项相消，合并所有中
间项，最后计算出结果。
27．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】根据二次根式的定义判断，
选项A：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，不含分母，故选项A正确；
选项B：被开方数含有分母，故不是最简二次根式，选项B错误；
选项C：被开方数含有能开方的因数4，故不是最简二次根式，选项C错误；
选项D：被开方数中含有分母，故不是最简二次根式，选项D错误；
故答案为：A.
【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因为或因式，被开方数不含分母，然后对各选项进行判断即可.
28．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A. 不能再开方，是最简二次根式，故A符合题意；
B.，故B不符合题意；
C.，故C不符合题意；
D.，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据最简二次根式的原则：被开方数不能再开方，分母不含根式，即可判断得出答案.
29．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，故本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故答案为：B
【分析】利用最简二次根式的定义对每个选项一一判断即可。
30．【答案】D
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：
与 不是同类二次根式，不符合题意；
与 不是同类二次根式，不符合题意；
与 不是同类二次根式，不符合题意；
与 是同类二次根式，符合题意；
故答案为： D.
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，再根据同类二次根式的概念判断即可.
31．【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴且，
，
故答案为：B．
【分析】首先由二次根式的被开方数不能为负数，判断出a＜0，进而根据二次根式的性质将"化简为"，最后计算乘法即可.
32．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：；
由是整数，得a最小值为6，
故答案为：C.
【分析】先将54写成平方数乘以非平方数的形式，再根据二次根式的基本性质即可确定出a的最小整数值．
33．【答案】；；；；；20
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：第1空、.
故答案为：.
第2空、.
故答案为：.
第3空、 ，.
故答案为：.
第4空、 .
故答案为：.
第5空、.
故答案为：.
第6空、.
故答案为：20.
【分析】化简二次根式的步骤通常包括以下几步：
1、分解被开方数：将被开方数分解为一个完全平方数（或几个完全平方数的乘积）与另一个数的乘积；
2、提取平方根：对于分解出的每个完全平方数，其平方根可以被提取出根号；
3、简化根号下的乘积：如果被开方数是几个完全平方数的乘积，那么可以将每个平方数的根提取出来，然后相乘；
4、处理非完全平方数：对于非完全平方数的部分，如果无法进一步分解为平方数，那么就保持在根号下；
5、整理结果：将提取出的平方根与根号下的非平方数部分组合，得到化简后的二次根式.
34．【答案】a
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
又a2≥0
∴b≤0，
又∵ab<0，
∴a>0，b<0，
∴.
故答案为：a.
【分析】根据二次根式有意义及偶数次幂的非负性得到b≤0，再结合ab<0，得a>0，b<0，进而根据二次根式的性质即可得到答案.
35．【答案】解：∵，
当的值越大时，即的值越大；
此时n取值越小；
∵是整数，n为正整数，
∴时，n的值最小；
∴n的最小值为3；
当的值越小时，即的值越小；
此时，n取值越大；
又∵是大于1的整数，
∴时，n的值最大；
此时，
解得：n=75；
故n的最小值是3，最大值是75.
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0）、根据积的算术平方根性质：（a≥0，b≥0）和二次根式的性质：（a≥0）可得；结合题意即可求解.
36．【答案】（1）解：根据题意得：
，
，
（2）解：是直角三角形，
理由如下：
∵，，，
∴，
∴是直角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】(1)利用勾股定理，在方格纸中分别计算出AB、AC、BC三边的长度；
(2)通过验证，运用勾股定理的逆定理，判断△ABC为直角三角形。
37．【答案】（1）解：第4个等式：
验证：
（2）解：第个等式：
验证：
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【分析】(1)根据前3个等式的规律，直接写出第4个等式，再将根号内的带分数化为假分数，通过配方开方完成验证；
(2)从前面的例子归纳出第n个等式的通用形式，再将根号内的式子通分、变形，利用完成证
明。
38．【答案】解：不正确.正确的解答如下：
∵-m3≥0，，m≠0
∴m＜0；
原式
=
=
=
=
=0.
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】先根据根号内的表达式有意义，判断出m<0，再结合这个符号对原式中的每一项进行化简，最后合并得到正确结果。
1 / 1浙教版数学八（下）同步分层训练1.2 二次根式的性质（2）
一、【经典例题】
1．化简下列各式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】（1）解：=×=5×3=15.
（2）解：==×=6×100=600.
（3）解：==×=3×5=15.
（4）解：==××=2××13=
（5）解：原式==×=6
（6）解：原式===×=10-3×=
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】⑴根据及进行计算.
⑵根据作答.
⑶根据及平方差公式计算
⑷先处理被开方数符合问题，再根据及计算.
⑸先处理被开方数符合问题，再根据及计算.
⑹根据计算.
2．化简
（1） ；
（2） ；
（3）6 ；
【答案】（1）解：原式＝ ；
（2）解：原式＝ ＝ ；
（3）解：原式＝6× ＝2 ．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）分子、分母都乘以 ，再进一步化简可得；（2）先化简，再约分即可得；（3）先化简，再计算乘法即可得．
3．【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：
等．
（1）【猜想】 ▲ ，并证明你的猜想；
（2）【推理证明】请你用一个正整数（为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明．
（3）【创新应用】按此规律，若（为正整数），则的值为　 　．
【答案】（1）解：，证明如下，
，
故答案为：；
（2）解：，证明如下，

（3）71
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（3），
，，
，
，
故答案为：．
【分析】(1)观察题目给出的“"穿墙”规律，直接猜想再通过把带分数化为假分数并配方开方来证明等式成立；
(2)从前面的例子归纳出通用规律，再将根号内的式子通分、配方，利用完成证明；
(3)把 与通用规律对比，确定a和b的值，再计算a+b。
4． 阅读下列解题过程，按要求回答问题．
化简：
解：原式= ①
=②
=③
=④.
（1）上面的解答过程是否正确？若不正确，指出是哪一步出现错误；
（2）请写出你认为正确的解答过程．
【答案】（1）解：不正确，
∵y＜x＜0，
∴y-x<0，
∴=x-y，
∴②③出现错误；
（2）解：原式=
=
=-x
=
=.
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质可知（x＜0），即可求得；
（2）根据二次根式的性质化简，即可求得.
二、【基础训练】
5．下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A．不是最简二次根式，故A不符合题意；
B．不是最简二次根式，故B不符合题意；
C．不是最简二次根式，故C不符合题意；
D．是最简二次根式，故D符合题意．
故选：D．
【分析】根据最简二次根式的定义“被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式”逐项判断即可．
6．在，，，，中，最简二次根式的个数为(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】，不是最简二次根式；
的被开方数中含有分母，不是最简二次根式；
、符合最简二次根式的定义，所以它是最简二次根式；
它不是最简二次根式；
综上所述，上述二次根式中是最简二次根式的个数是2个，
故选：B.
【分析】根据二次根式的定义“二被开方数不含分母，且不含能开方的因数或因式的二次根式是最简二次根式”解答即可．
7．下列根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：因为：A、 = ；
B、 =2 ；
D、 = |b|；
所以这三项都可化简，不是最简二次根式．
故选：C．
【分析】A选项的被开方数中含有分母；B、D选项的被开方数中含有能开得尽方的因数或因式；因此这三个选项都不是最简二次根式．
所以只有C选项符合最简二次根式的要求．
8．已知，则的值为（　　）
A． B． C．2025 D．4050
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；解一元一次不等式组；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，解得：，
∴，
∴
故答案为：B.
【分析】先根据有意义，求出x，再求出y，然后代入求值.
9．将化简，正确的结果是（　　）
A．3 B．3 C．6 D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
=
=3×
=6．
故选：C．
【分析】首先把8分成22×2，然后根据化简二次根式的步骤，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来，求出将化简，正确的结果是多少即可．
10．下列各式计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、，本选项符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、实数范围内被开方数不能为负数，， 本选项不符合题意；
故选：A．
【分析】根据二次根式的性质逐项进行判断即可求出答案.
11．把化为最简二次根式，结果是　 　．
【答案】
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】二次根式的性质：.
12．若与最简二次根式是同类二次根式，则　 　．
【答案】
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：与最简二次根式是同类二次根式，
解得
故答案为：.
【分析】先化简，根据最简二次根式与同类二次根式的定义得到a+1=3，求出a的值解答即可．
13． 阅读材料：
将等式 反过来，可得到 ． 根据这个思路，我们可以把根号外的因式 “移人”根号内， 用于根式的化简．例如： ．请你仿照上面的方法， 化简下列各式：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
【答案】（1）解：3==
（2）解：
（3）解：
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算
【解析】【分析】将根号外的因式 “移人”根号内，关键在于利用二次根式的性质，将根号外的因式转化成二次根式，然后结合二次根式的乘法法则“合并”成一个根式，视情况可进一步化简.
14．化简 ：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
【答案】（1）原式=
（2）原式=
（3）原式
（4）原式=
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘法结合题意化简即可求解；
（2）根据二次根式的乘法结合题意化简即可求解；
（3）先运算减法，进而化简二次根式即可求解；
（4）先将假分数化为真分数，进而根据化简二次根式即可求解。
15． 如图， 等边三角形 的边长为 于点 ．
（1）求 的长．
（2）求 的面积．
【答案】（1）解：根据条件得AB=4cm，BD=2cm.
再根据勾股定理得.
（2）解：.
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形的面积；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据正三角形的性质，结合条件得出AB、BD长，然后根据勾股定理计算出AD；
（2）根据三角形面积公式，代入BC、AD即可计算.
16．观察下列各式，发现规律：
；；；……
（1）填空：　 　，　 　．
（2）计算（写出计算过程）：
（3）用含自然数n（）的等式把你所发现的规律表示出来．
【答案】（1）；
（2）解：
；
（3）解：（自然数）
【知识点】二次根式的性质与化简；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：（1），
.
故答案为：，；
【分析】（1）根据题意中给出的算式找出规律，即可得到答案；
（2）先将被开方数进行通分计算，再根据二次根式的性质化简即可得到答案；
（3）分析所给的等式的形式进行总结，对整式进行整理，即可得到答案.
三、【培优训练】
17． 下列各式不成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、 ，成立，不符合题意；
B、 ，成立 ，不符合题意；
C、 ，不成立， 符合题意；
D、 ，成立 ，不符合题意；
故答案为：C .
【分析】将带分数转换为假分数后，判断是否能表示为 的形式，从而验证等式是否成立.
18．若是正整数，最小的正整数n是（　　）
A．6 B．3 C．48 D．2
【答案】B
【知识点】二次根式的概念；最简二次根式
【解析】【解答】解：=
∵是正整数，即是正整数，
∴最小的正整数n是3．
故答案为：B．
【分析】先将所给二次根式化为最简二次根式，然后再判断n的最小正整数值即可．
19．已知=a，=b，则=（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
．
∵a，b，∴原式．
故答案为：D．
【分析】把0.063写成分数的形式，化简后再利用积的算术平方根的性质，写成含ab的形式．
20．二次根式化简结果正确的为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴原式
，
故答案为：．
【分析】先根据，得出，再化简．
21．把的根号外的适当变形后移入根号内，得（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
∴，
∴；
故答案为：D．
【分析】本题考查二次根式有意义的条件和二次根式的化简，首先需确定的取值范围，再根据符号规则将根号外的式子移入根号内。由二次根式有意义的条件可知，被开方数，因此，即，由此可得；将负数移入根号时，需先将其化为（因为负数的平方开根号后需保留符号），再根据二次根式的乘法法则，原式可化为，化简后得到。
22．设，则S最接近的数是（　　）
A．2008 B．2009 C．2010 D．2011
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【解答】设n为任意正整数，
∴
∴
，
因此与s最接近的整数是2009．
故答案为：B．
【分析】先得到，然后开方，再运用裂项相加解题即可．
23．观察下列各式：①；②；③；④；…，则第7个等式是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：，
…
第n个等式∶
当时，．
故答案为：
【分析】通过观察，归纳总结出规律为，再把n=7代入即可求解．
24．观察下列等式，并回答问题：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
……
（1）请直接写出第5个等式　 　；
（2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并证明；
（3）计算：．
【答案】（1）
（2）证明：

（3）解：原式＝
＝
＝1
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）直接按照数式规律填写即可；
（2）按照分式的混合运算顺序先算括号内的异分母分式的减法，即先通分化异分母分式为同分母分式，再进行分式的乘法运算，最后再利用二次根式的性质把分母中的移到根号外即可；
（3）先利用对进行变形，再应用二次根式的乘法运算法则进行计算即可.
25．观察下列各式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；…
根据上述规律，解答下面的问题：
（1）若；则　 　，　 　．
（2）的值为　 　．
（3）请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明．
【答案】（1）15；64
（2）
（3）解：第n个等式为：，即.
证明：左边=右边，
∴．
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，
，
∴，，
故答案为：，；
（2）由题意可得，
，
故答案为：；
【分析】(1)观察规律，第n个等式右边是，这里右边是，对应n=8，代入左边式子即可求出a和b；
(2)把 与规律对比，确定它对应第100个等式，直接套用规律即可得出结果；
(3)先归纳出第个等式的表达式，再通过将根号内通分、因式分解、开方来完成证明。
26．观察下列等式∶
第1个：；
第2个：；
第3个：；
第4个：；
…
按照以上规律，解决下列问题∶
（1）写出你猜想的第个等式　 　；（用含的等式表示）
（2）根据上面的结论计算的结果．
【答案】（1）
（2）解：
=
=
=
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）第1个：；
第2个：；
第3个：；
第4个：；
…
第个等式，
故答案为：；
【分析】(1)观察前几个等式的结构，归纳出第n个等式的通用形式，直接写出即可；
(2)先利用第(1)问的结论，把每一项根式都转化为的形式，再通过裂项相消，合并所有中
间项，最后计算出结果。
27． 下列式子是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】根据二次根式的定义判断，
选项A：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，不含分母，故选项A正确；
选项B：被开方数含有分母，故不是最简二次根式，选项B错误；
选项C：被开方数含有能开方的因数4，故不是最简二次根式，选项C错误；
选项D：被开方数中含有分母，故不是最简二次根式，选项D错误；
故答案为：A.
【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因为或因式，被开方数不含分母，然后对各选项进行判断即可.
28．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A. 不能再开方，是最简二次根式，故A符合题意；
B.，故B不符合题意；
C.，故C不符合题意；
D.，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据最简二次根式的原则：被开方数不能再开方，分母不含根式，即可判断得出答案.
四、【课后作业】
29．下列二次根式中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，故本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故答案为：B
【分析】利用最简二次根式的定义对每个选项一一判断即可。
30．与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：
与 不是同类二次根式，不符合题意；
与 不是同类二次根式，不符合题意；
与 不是同类二次根式，不符合题意；
与 是同类二次根式，符合题意；
故答案为： D.
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，再根据同类二次根式的概念判断即可.
31．化简二次根式的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴且，
，
故答案为：B．
【分析】首先由二次根式的被开方数不能为负数，判断出a＜0，进而根据二次根式的性质将"化简为"，最后计算乘法即可.
32． 若是整数，则正整数的最小值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：；
由是整数，得a最小值为6，
故答案为：C.
【分析】先将54写成平方数乘以非平方数的形式，再根据二次根式的基本性质即可确定出a的最小整数值．
33． 化简 　 　， 　 　，　 　， 　 　，　 　，　 　
【答案】；；；；；20
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：第1空、.
故答案为：.
第2空、.
故答案为：.
第3空、 ，.
故答案为：.
第4空、 .
故答案为：.
第5空、.
故答案为：.
第6空、.
故答案为：20.
【分析】化简二次根式的步骤通常包括以下几步：
1、分解被开方数：将被开方数分解为一个完全平方数（或几个完全平方数的乘积）与另一个数的乘积；
2、提取平方根：对于分解出的每个完全平方数，其平方根可以被提取出根号；
3、简化根号下的乘积：如果被开方数是几个完全平方数的乘积，那么可以将每个平方数的根提取出来，然后相乘；
4、处理非完全平方数：对于非完全平方数的部分，如果无法进一步分解为平方数，那么就保持在根号下；
5、整理结果：将提取出的平方根与根号下的非平方数部分组合，得到化简后的二次根式.
34．已知，化简　 　．
【答案】a
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
又a2≥0
∴b≤0，
又∵ab<0，
∴a>0，b<0，
∴.
故答案为：a.
【分析】根据二次根式有意义及偶数次幂的非负性得到b≤0，再结合ab<0，得a>0，b<0，进而根据二次根式的性质即可得到答案.
35．已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值3×7=21.
设n为正整数，若是大于1的整数，求n的最小值和最大值
【答案】解：∵，
当的值越大时，即的值越大；
此时n取值越小；
∵是整数，n为正整数，
∴时，n的值最小；
∴n的最小值为3；
当的值越小时，即的值越小；
此时，n取值越大；
又∵是大于1的整数，
∴时，n的值最大；
此时，
解得：n=75；
故n的最小值是3，最大值是75.
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0）、根据积的算术平方根性质：（a≥0，b≥0）和二次根式的性质：（a≥0）可得；结合题意即可求解.
36．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为为格点三角形．
（1）求的三边的长；
（2）判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：根据题意得：
，
，
（2）解：是直角三角形，
理由如下：
∵，，，
∴，
∴是直角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】(1)利用勾股定理，在方格纸中分别计算出AB、AC、BC三边的长度；
(2)通过验证，运用勾股定理的逆定理，判断△ABC为直角三角形。
37．观察下列等式及验证，解答后面的问题：
第1个等式：，验证：；
第2个等式：，验证：；
第3个等式：，验证：．
（1）请写出第4个等式，并验证；
（2）按照以上各等式反映的规律，猜想第个为正整数，且等式，并通过计算验证你的猜想．
【答案】（1）解：第4个等式：
验证：
（2）解：第个等式：
验证：
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【分析】(1)根据前3个等式的规律，直接写出第4个等式，再将根号内的带分数化为假分数，通过配方开方完成验证；
(2)从前面的例子归纳出第n个等式的通用形式，再将根号内的式子通分、变形，利用完成证
明。
38．阅读下面的解题过程，判断是否正确.若不正确，请写出正确的解答过程.
已知m为实数，化简
解：原式
【答案】解：不正确.正确的解答如下：
∵-m3≥0，，m≠0
∴m＜0；
原式
=
=
=
=
=0.
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】先根据根号内的表达式有意义，判断出m<0，再结合这个符号对原式中的每一项进行化简，最后合并得到正确结果。
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