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3　匀变速直线运动位移与时间的关系
[学习目标]　1.知道v-t图线与t轴所围“面积”表示位移,能利用v-t图像得出位移方程x=v0t+at2。2.会应用匀变速直线运动的位移方程解决实际问题。掌握匀变速直线运动的推论关系Δx=aT2,=及应用。
探究新知
知识点　匀变速直线运动的位移与时间的关系
1.位移方程:根据v-t图像与时间轴所围的面积等于位移的大小,有x=·t,结合速度公式vt=v0+at,可得x=v0t+at2。
2.两种特殊形式
(1)当v0=0时,x=at2,即由静止开始的匀加速直线运动的位移x与t2成正比。
(2)当a=0时,x=v0t,即匀速直线运动的位移与t成正比。
新知检测
1.思考判断
(1)位移公式x=v0t+at2仅适用于匀加速直线运动。(　×　)
(2)初速度越大,时间越长,匀变速直线运动物体的位移一定越大。(　×　)
(3)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关。(　√　)
(4)速度由v0变为vt的匀变速直线运动,平均速度=。(　√　)
2.思维探究
(1)物体运动的v-t图像如图所示,v-t图像与 t轴所围“面积”表示t时间内的位移,该结论对非匀变速直线运动适用吗
(2)你能定性画出初速度为零的匀加速直线运动的x-t图像吗
提示:(1)同样适用。对于非匀变速直线运动,v-t图像为曲线,可得到相同结论。
(2)能。匀变速直线运动中,当v0=0时,由位移x=at2可知x是t的二次函数,则x-t图像是顶点在坐标原点的抛物线的一部分,曲线上某点切线的斜率表示对应时刻的速度,图线的切线斜率逐渐增大,即做匀加速直线运动的质点的速度逐渐增大,其x-t图像如图所示。
要点一　对位移与时间关系式的理解及应用
情境探究
如图所示,汽车由静止以加速度a1启动,行驶一段时间t1后,又以加速度a2刹车,经时间t2后停下来。
(1)汽车加速过程及刹车过程中,加速度的方向相同吗
(2)根据位移公式求加速过程及减速过程中的位移、速度及加速度时正、负号如何确定
【答案】 (1)汽车加速时加速度方向与运动方向相同,减速时加速度方向与运动方向相反,因此两过程中加速度方向不同。
(2)根据位移公式求位移时,一般取初速度方向为正方向,加速时,加速度取正值,减速时,
加速度取负值,在全过程中速度始终取正值。
要点归纳
对位移方程的理解
(1)适用条件:只适用于匀变速直线运动。
(2)矢量性:式中x、v0、a都是矢量,应用时必须选取正方向。一般选v0的方向为正方向。
①匀加速直线运动中,a与v0同向,a取正值;匀减速直线运动中,a与v0反向,a取负值。
②若位移的计算结果为正值,说明位移方向与规定的正方向相同;若位移的计算结果为负值,说明位移方向与规定的正方向相反。
[例1] 如图,铁路两旁有很多间隔都是50 m的电线杆,某乘客想利用手机中的秒表计时功能,测量火车出站时的加速度(火车出站可看成匀加速直线运动),他经过第1根电线杆时开始计时,到第5根电线杆时用时8 s,到第9根电线杆时停止计时,共用时 12 s,求:
(1)火车的初速度大小;
(2)火车的加速度大小。
【答案】 (1) m/s　(2) m/s2
【解析】 设火车的加速度大小为a,经过第1根 电线杆时的速度大小为v0,根据运动学公式有x15=v0t1+a,x19=v0t2+a,
由题意可得50×4=8v0+a×82,
50×8=12v0+a×122,
整理可得v0= m/s,a= m/s2。
[针对训练1] 某一向右做直线运动的物体的图像如图所示,根据图像求:
(1)物体刚出发时的加速度;
(2)物体距出发点最远时的位移;
(3)前4 s内物体通过的路程。
【答案】 (1)4 m/s2,向右 (2)6 m,向右　(3)7 m
【解析】 (1)根据v-t图像的斜率表示加速度,可得物体刚出发时的加速度
a===4 m/s2,方向向右。
(2)由图像与坐标轴围成的面积表示位移,可得3 s 时物体的位移最大,
为xm=t3=×3 m=6 m,方向向右。
(3)由图像与坐标轴围成的面积可得,前4 s内物体通过的路程s=s1+s2=×3 m+×1 m=7 m。
要点二　匀变速直线运动推论式及应用
要点归纳
1.平均速度推论式
(1)做匀变速直线运动的物体,某段时间内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度,也等于始、末速度矢量和的平均值,即==。
(2)推导:由位移方程x=v0t+at2得==v0+a·,对比vt=v0+at,
则 ==v0+=。
(3)应用:用于求解匀变速直线运动中相邻相等时间在已知各自位移或该过程始、末速度的条件下求中间时刻速度的问题。
2.逐差相等推论式
(1)匀变速直线运动中,任意两个连续相等的时间间隔T内,位移之差是一个常量,
即Δx=xⅡ-xⅠ=aT2。
(2)推导。设初速度为v0,加速度为a,相等时间为T。根据位移方程x=v0t+at2得T内位移xⅠ=v0T+aT2,相邻下一个T内位移为xⅡ=v0·2T+a(2T)2-(v0T+aT2)=v0T+aT2,其位移之差Δx=xⅡ-xⅠ=aT2。进一步则有xn+3-xn=xn+3-xn+2+xn+2-xn+1+xn+1-xn=aT2+aT2+aT2=3aT2。
(3)应用。
①判断物体是否做匀变速直线运动。
如果Δx=xⅡ-xⅠ=xⅢ-xⅡ=…=xn-xn-1=aT2成立,则a为一恒量,说明物体做匀变速直线运动。
②求加速度。
利用Δx=aT2可求得物体的加速度。
[例2] 一物体在AC间做匀变速直线运动,将AC分成时间间隔相等的两段,通过的位移分别是24 m和64 m,每一个时间间隔均为4 s,求物体的初速度大小vA、末速度大小vC及加速度大小a。
[思路点拨] (1)画出该物体的运动过程,如图所示。
(2)B是由A到C的中间时刻。
【答案】 1 m/s　21 m/s　2.5 m/s2
【解析】 连续两段时间T内的平均速度分别为===6 m/s,
===16 m/s。
由于B是A、C的中间时刻,则=,=,
又vB====11 m/s,
解得vA=1 m/s,vC=21 m/s,
由Δx=aT2,
可得a===2.5 m/s2。
(1)应用推论==的注意事项。
①推论==只适用于匀变速直线运动,且该等式为矢量式。
②当v0=0时,==;当vt=0时,==。
(2)Δx=aT2的选择及拓展。
①对于一般的匀变速直线运动问题,若出现相等的时间间隔问题,应优先考虑用Δx=aT2
求解。
②对于不相邻的两段位移,则有xm-xn=(m-n)aT2。
③此关系式常用于解决匀变速直线运动的实验中求加速度的问题。
[针对训练2] 如图所示,电动公交车做匀减速直线运动进站,连续经过R、S、T三点,已知ST间的距离是RS的2倍,RS段的平均速度是10 m/s,ST段的平均速度是 5 m/s,则公交车经过T点时的瞬时速度为(　　)
[A]3 m/s [B]2 m/s
[C]1 m/s [D]0.5 m/s
【答案】 C
【解析】 由题知,电动公交车做匀减速直线运动,设RS间的距离为x,根据题意有==,==,联立解得t2=4t1,vT=vR-10,再根据匀变速直线运动速度与时间的关系有vT=vR-a·5t1,则at1=2 m/s,其中还有=vR-a·,解得vR=11 m/s,联立解得vT=1 m/s。故选C。
要点三　刹车类问题(逆向思维法)
要点归纳
1.刹车问题:车辆刹车时可看成做匀减速直线运动直至速度变为零,所以刹车时车辆只在“刹车时间”内做匀减速运动,而速度减为零后保持静止。刹车时间取决于初速度和加速度的大小。
2.常见错误:当给定的时间大于“刹车时间”时,误认为汽车在给定的时间内一直做匀减速直线运动,简单套用速度公式vt=v0+at,得出的速度出现负值的典型错误。
3.刹车问题逆向解题法:末速度为零的匀减速直线运动是初速度为零、加速度大小相等的反向匀加速直线运动的逆向运动。设物体的初速度为v0,加速度大小为a,做匀减速直线运动至速度为零,则可将此运动逆向看成初速度为零、加速度大小为a的匀加速直线运动,末速度为v0。
4.逆向解题法的优点与注意事项:逆向之后,速度方程vt=v0+at变为vt=at,位移方程x=v0t+at2变为x=at2,不仅简化了运算,也使问题变得更加简洁。但要注意速度和位移方向的变化。
[例3] 汽车在平直公路上以某一速度行驶时,司机低头看手机时间内,车相当于处于盲开阶段,是非常危险的。某一小汽车以108 km/h的速度行驶时遇见紧急情况,紧急刹车制动加速度大小为10 m/s2,根据以上提供的信息分析计算:
(1)若司机低头看手机2 s,则处于盲开阶段的汽车行驶的距离;
(2)汽车刹车后2 s的速度大小;
(3)汽车刹车后4 s内的位移大小。
【答案】 (1)60 m　(2)10 m/s　(3)45 m
【解析】 (1)汽车的初速度v0=108 km/h=30 m/s,司机低头看手机2 s,盲开阶段汽车做匀速直线运动,则有x0=v0Δt,解得x0=60 m。
(2)利用逆向思维,汽车停止运动的时间t0=,解得t0=3 s>2 s,则汽车刹车后2 s的速度v1=v0-at1,解得v1=10 m/s。
(3)结合上述可知t0=3 s<4 s,汽车刹车后4 s时已经停止运动,利用逆向思维,根据位移方程得x=a=45 m。
刹车类问题的处理思路
实际交通工具刹车后可认为是做匀减速直线运动,当速度减小到零时,车辆就会停止。解答此类问题的思路是:
(1)先求出从刹车到停止过程的刹车时间t刹=。
(2)比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间,最后再利用运动学公式求解。若t>t刹,不能盲目地把时间代入;若t[针对训练3] 高速公路上,为防止汽车连续下坡或转弯时刹车失灵发生事故,道路旁常建有斜向上的“缓冲坡”。如图所示,一质量为m的货车冲上缓冲坡做匀减速直线运动,已知其初速度为v0,经过时间t速度减为零。求货车:
(1)加速度大小a;
(2)最大上行距离L;
(3)冲上缓冲坡一半距离时的速度大小。
【答案】 (1)　(2)　(3)
【解析】 (1)货车减速到零的运动可看成反向匀加速直线运动,货车的加速度大小a=。
(2)货车减速到零的运动可看成反向匀加速直线运动,由L=at2得,货车最大上行距离L=。
(3)货车减速到零的运动可看成反向匀加速直线运动,由位移方程得=a,
解得t半=t,
由vt=at半,得vt=。
模型·方法·结论·拓展
生活中的追及与相遇问题
1.问题实质
追及、相遇问题,其实质就是分析讨论两物体间距离的变化和某一时刻能否到达相同的空间位置。
2.两个关系,一个条件
(1)两个关系:时间关系和位移关系。
(2)一个条件:二者的速度相等。它往往是物体间能否追上、追不上或(二者)距离最大、
最小的临界条件,也是分析判断问题的切入点。
3.常见的情况
物体A追赶物体B。可能为匀加速运动物体追匀速运动物体;匀速运动物体追匀减速运动物体;匀减速运动物体追匀减速运动物体;匀加速运动物体追匀加速运动物体。
(1)开始时,两个物体相距x0。
①物体A追上物体B时,必有xA-xB=x0,且vA≥vB。
②两物体恰好不相撞时,必有xA-xB=x0,且vA=vB。
(2)开始时两个物体处在同一位置。
①物体A追上物体B时,必有xA=xB,vA≥vB。
②物体A与物体B恰好不相撞时,必有xA=xB,vA=vB。
4.常用解答方法
(1)物理分析法:抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键,认真审题,挖掘题中的隐含条件,建立物体运动关系的图景,并画出运动情况示意图,找出位移关系。
(2)图像法:将二者的v-t图像在同一坐标系中画出,然后利用图像求解。
(3)数学极值法:设从开始至相遇时间为t,根据条件列方程,得到关于t的一元二次方程,用判别式进行讨论,若Δ>0,即有两个解,说明可以相遇两次(须要求t>0);若Δ=0,说明刚好追上或相遇;若Δ<0,说明追不上或不能相碰。
[示例] 如图甲所示,A车原来临时停在一水平路面上,B车在后面匀速向A车靠近,A车司机发现后启动A车,以A车司机发现B车为计时起点(t=0),A、B两车的v-t图像如图乙所示。已知B车在第1 s内与A车的距离缩短了x1=24 m。
(1)求B车运动的速度vB和A车的加速度 a的大小。
(2)若A、B两车不会相撞,A车司机发现B车时(t=0)两车的距离x0应满足什么条件
【答案】 (1)24 m/s　6 m/s2　(2)x0>72 m
【解析】 (1)在t=1 s时A车刚启动,两车间缩短的距离为B车的位移,可得x1=vBt1,
解得B车的速度为vB=24 m/s,
图像斜率表示加速度,可得A车的加速度大小为a=,其中t2=5 s,
解得A车的加速度大小为a=6 m/s2。
(2)当两车的速度相等时,两车的距离最小,对应于v-t图像的t2=5 s时刻,此时两车已发生的相对位移为梯形的面积,则x=vB(t1+t2),
代入数据解得x=72 m,
因此,若A、B两车不会相撞,则两车的距离x0应满足条件为x0>72 m。
科学·技术·社会·环境
行车安全距离
　　在高速公路上,有时会发生“追尾”事故——后面的汽车撞上前面的汽车。造成追尾的主要因素是驾驶员精力不集中和超速行驶。驾驶员从发现险情到引导汽车制动是有一段时间的,这段时间叫反应时间,一般情况下驾驶员的反应时间在1 s之内,若精力不集中,反应时间会达到 3 s 以上;制动过程中,汽车还会继续行驶一段才会停止运动,车速越高,减速行驶的距离越长。因此,汽车在高速行驶时,保持合适的车距和控制合理车速至关重要。
[示例] 研究表明,一般人的刹车反应时间即图甲中“反应过程”所用时间t0=0.4 s,但饮酒会导致反应时间延长。在某次实验中,志愿者少量饮酒后驾车以v0=72 km/h的速度在试验场的水平路面上匀速行驶,从发现情况到汽车停止,行驶距离L=54 m,减速过程中汽车位移x与速度v的关系曲线如图乙所示,此过程可视为匀变速直线运动。
(1)减速过程汽车加速度的大小及所用时间分别是多少
(2)饮酒使志愿者的反应时间比一般人增加了多少
(3)若该志愿者发现正前方有一辆大卡车以v=12 m/s 的速度同方向匀速行驶,为避免追尾,则志愿者发现情况时,两车间的距离至少为多少
【答案】 (1)5 m/s2　4 s　(2)0.3 s　(3)12 m
【解析】 (1)设刹车过程中加速度大小为a,由题意可知刹车初速度为v0=72 km/h=20 m/s,
末速度为0,位移为x=40 m,根据逆向思维法,有x=at2,t=,
代入数据解得a=5 m/s2,t=4 s。
(2)反应时间内的位移为x′=L-x=54 m-40 m=14 m,
则反应时间为t′===0.7 s,
故增加的反应时间为Δt=t′-t0=0.7 s-0.4 s=0.3 s。
(3)由于志愿者反应时间为0.7 s,若两车速度相等时恰好不追尾,则此后就不会追尾,因此当v汽=v时,汽车减速的时间为t1===1.6 s,
此时卡车行驶的距离为
x1=v(t′+t1)=12 m/s×(0.7 s+1.6 s)
=27.6 m,
汽车行驶的距离
x2=v0t′+v0t1-a
=20 m/s×0.7 s+20 m/s×1.6 s-×5 m/s2×(1.6 s)2
=39.6 m,
由x1+L0=x2,
可得两车间的距离至少为L0=12 m。
1.(多选)彩虹滑道是很有趣的游玩项目,游客坐在橡皮圈上随之一起滑下,如图所示。假设游客(视为质点)从静止开始做匀加速直线运动,第1 s内的位移是0.5 m,下列说法正确的是(　　)
[A]游客的加速度大小是2 m/s2
[B]游客在1 s末的速度是1 m/s
[C]游客在第3 s内的平均速度是2.5 m/s
[D]游客在第5 s内的位移大小是2.75 m
【答案】 BC
【解析】 游客从静止开始做匀加速直线运动,第1 s内的位移x=at2,解得游客的加速度大小是1 m/s2,故A错误;游客在1 s末的速度v=at=1 m/s,故B正确;游客在第3 s内的平均速度等于第2.5 s时的瞬时速度,v=at=2.5 m/s,故C正确;游客在第5 s内的位移大小x=a-a=4.5 m,故D错误。
2.(2024·甘肃卷)小明测得兰州地铁一号线列车从“东方红广场”到“兰州大学”站的v-t图像如图所示,此两站间的距离约为(　　)
[A]980 m [B]1 230 m
[C]1 430 m [D]1 880 m
【答案】 C
【解析】 v-t图像中图线与横轴围成的面积表示位移,故可得x=(74-25+94)×20× m=
1 430 m。故选C。
3.物体从O点由静止开始做匀加速直线运动,陆续途径A、B、C三点,已知AB=3 m,BC=4 m。若物体通过AB和BC这两段位移的时间均为1 s,则OA的距离为(　　)
[A]3 m [B] m
[C] m [D] m
【答案】 B
【解析】 根据匀变速直线运动推论可得a===1 m/s2,根据匀变速直线运动
中间时刻的速度等于该段过程的平均速度,有vB=== m/s,又 vB=a(1+tOA),
则xOA=a,代入数值得xOA= m,故选B。
4.一列货车以8 m/s的速度在平直铁路上运行,由于调度失误,在后面600 m处有一列快车以 20 m/s 的速度向它靠近。快车司机发觉后立即制动,若两车恰好不相撞(货车速度保持不变),求:
(1)快车从制动至两车恰好不相撞所用时间t;
(2)快车制动过程中的加速度a的大小;
(3)从制动至两车恰好不相撞,快车的位移x的大小。
【答案】 (1)100 s　(2)0.12 m/s2　(3)1 400 m
【解析】 (1)由题意分析可知,要使两车不相撞,它们的运动满足t=v货t+Δx,
可得快车从制动到两车恰好不相撞的时间为t=100 s。
(2)根据v快-at=v货,
解得a=0.12 m/s2。
(3)由运动学公式x=t,
从制动到两车不相撞,快车的位移为x=1 400 m。
课时作业
(分值:70分)
单选题每题4分,多选题每题6分。
1.某质点的位移随时间而变化的关系式为x=4t+2t2,x与t的单位分别是米和秒,则质点的初速度和加速度分别是(　　)
[A]4 m/s　2 m/s2 [B]0　4 m/s2
[C]4 m/s　4 m/s2 [D]4 m/s　0
【答案】 C
【解析】 匀变速直线运动的位移公式x=v0t+at2 与质点运动的位移随时间变化的关系式x=4t+2t2相对比可以得到,物体的初速度大小为4 m/s,加速度为4 m/s2。
2.(多选)冰壶是以队为单位在冰上进行的一种投掷性竞赛项目。如图所示,在某次比赛中,冰壶被投出后,如果做匀减速直线运动,用时20 s停止,最后1 s内的位移大小为0.2 m,则下列说法正确的是(　　)
[A]冰壶第1 s内的位移大小是7.8 m
[B]冰壶的加速度大小是0.4 m/s2
[C]冰壶的初速度大小是6 m/s
[D]前10 s的位移和后10 s的位移之比为 2∶1
【答案】 AB
【解析】 整个过程的逆过程是初速度为0的匀加速直线运动,最后1 s内的位移大小为0.2 m,由x1=at2,代入数据解得a=0.4 m/s2,B正确;冰壶的初速度为v0=at0=8 m/s,C错误;冰壶第1 s内的位移大小是x2=v0t-at2=7.8 m,A正确;由初速度为零的匀加速直线运动的规律可知,前10 s的位移和后10 s的位移之比为3∶1,D错误。
3.(多选)具有“主动刹车系统”的汽车与正前方静止障碍物之间的距离小于安全距离时,会立即开始主动刹车,车主可根据需要设置安全距离。某车的安全距离为15 m,若汽车正以54 km/h的速度在路面上行驶,遇紧急情况主动刹车后做匀减速直线运动,加速度大小为
6 m/s2。下列说法正确的是(　　)
[A]汽车刹车时间为3 s
[B]汽车不能安全停下
[C]汽车开始“主动刹车”后第1 s末的速度为10 m/s
[D]汽车开始“主动刹车”后第3 s内的平均速度为0.75 m/s
【答案】 BD
【解析】 已知v0=54 km/h=15 m/s,则汽车刹车时间为t0==2.5 s,故A错误;汽车刹车过程中的位移为x停==18.75 m>15 m,则汽车不能安全停下,故B正确;汽车开始“主动刹车”后第1 s末的速度为v1=v0-at1=15 m/s-6 m/s2×1 s=9 m/s,故C错误;由A选项分析可知汽车开始“主动刹车”后2.5 s停止,则汽车第3 s内的位移x=at2=×6 m/s2×(0.5 s)2=0.75 m,第3 s内的平均速度为===0.75 m/s,故D正确。
4.(多选)水平路面上有甲、乙两辆车,它们同时从同一位置开始沿同一方向行驶,甲车匀减速滑行,乙车由静止开始匀加速运动,如图所示的vt图像中仅仅画出了两车前10.0 s的情况。下列说法正确的是(　　)
[A]甲车的加速度大小为2.0 m/s2
[B]乙车的加速度大小为1.2 m/s2
[C]0～10.0 s内,两车间最大距离为100 m
[D]在10.0 s时,两车间的距离为60 m
【答案】 BD
【解析】 由于vt图线斜率表示加速度,可得甲、乙的加速度分别为a甲==-1.6 m/s2,
a乙==1.2 m/s2,A错误,B正确;由于甲、乙两辆车,同时从同一位置开始沿同一方向
行驶,两车速度相等时其间相距最远,由速度方程得a乙t共=v0甲+a甲t共,则t共==
= s,两车间最大距离为Δxmax=×20× m≈71 m,C错误;10.0 s 时,两车间距离Δx=×10 m- m=60 m,D正确。
5.汽车以20 m/s的速度做匀速直线运动,刹车后的加速度大小为5 m/s2,那么开始刹车后
2 s内与开始刹车后6 s内汽车通过的位移之比为(　　)
[A]1∶1 [B]1∶3
[C]3∶4 [D]4∶3
【答案】 C
【解析】 汽车从刹车到停止用时t刹===4 s,故刹车后2 s和6 s内汽车的位移分别为x1=v0t-at2=20 m/s×2 s-×5 m/s2×(2 s)2=30 m,x2=v0t刹-a=20 m/s×4 s-×5 m/s2×(4 s)2=
40 m,x1∶x2=3∶4,故C正确。
6.(多选)一漂流艇(可视为质点)从玻璃直滑道的斜面顶端由静止匀加速滑下,示意图如图所示,依次经过斜面上的A、B、C三点,已知AB=6 m,BC=8 m,漂流艇通过这两段位移的时间都是2 s,g取10 m/s2,则(　　)
[A]漂流艇在B点的速度为7 m/s
[B]漂流艇加速度大小为1 m/s2
[C]A点距斜面顶端6.25 m
[D]漂流艇在C点的速度大小为4.5 m/s
【答案】 CD
【解析】 根据匀变速直线运动中间时刻的速度等于该段过程的平均速度,则漂流艇在B点的速度大小为vB==3.5 m/s,故A错误;根据匀变速直线运动推论可得,漂流艇加速度大小为a==0.5 m/s2,故B错误;B点距斜面顶端O的距离为OB==12.25 m,A点距斜面顶端的距离为OA=OB-AB=6.25 m,故C正确;漂流艇在C点的速度大小为vC=vB+
aT=4.5 m/s,故D正确。
7.一汽车沿平直公路做匀加速直线运动,途经A、B、C三点。汽车经过AB、BC两段所用的时间分别为t、3t,AB段和BC段的长度分别为x1和x2,则汽车的加速度大小为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 由匀变速直线运动规律可知===,故AB段中间时刻的瞬时速度为该段的平均速度,故AB段中间时刻的瞬时速度为v1=,同理BC段中间时刻的瞬时速度为v2=,故加速度a===,故A正确,B、C、D错误。
8.(多选)质点做直线运动的位移x随时间t变化、速度v随时间t变化的图像如图所示,其中能反映质点在0～4 s内的平均速度为2 m/s的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 BC
【解析】 由题图A可知,质点在0～4 s内的位移为x=-4 m-4 m=-8 m,则平均速度为==-2 m/s,故A错误;由题图B可知,质点在0～4 s内的位移为x=8 m-0=8 m,则平均速度为==2 m/s,故B正确;根据vt 图像面积表示位移,由题图C可知,质点在0～4 s内的位移为x=×4×4 m=8 m,则平均速度为==2 m/s,故C正确;根据vt图像面积表示位移,由题图D可知,质点在0～4 s内的位移为x=×(2+4)×4 m=12 m,则平均速度为==3 m/s,故D错误。
9.“科技让生活更美好”,目前自动驾驶汽车呈现出实用化的趋势。某次测试自动驾驶汽车,汽车直线运动的vt图像如图所示。关于此次测试,下列说法正确的是(　　)
[A]汽车3 s末速度方向发生改变
[B]汽车在匀加速阶段与匀减速阶段的加速度大小之比为3∶4
[C]汽车全程的平均速度为20 m/s
[D]汽车匀加速阶段与匀减速阶段的平均速度相同
【答案】 D
【解析】 由vt图像可知,速度一直为正值,速度方向不变,故A错误;由vt图像的斜率得汽车在匀加速阶段的加速度大小为a1== m/s2,汽车在匀减速阶段的加速度大小为a2===10 m/s2,则a1∶a2=4∶3,故B错误;汽车全程的位移x=×40 m=260 m,汽车全程的平均速度为===26 m/s,故C错误;汽车匀加速阶段平均速度==20 m/s,匀减速阶段的平均速度= =20 m/s,即 =,故D正确。
10.(12分)一辆值勤的警车停在足够长的平直公路边(刹车但未关闭发动机),当警员发现他旁边以大小v0=16 m/s的速度沿平直公路匀速行驶的货车严重超载时,决定前去追赶,经过t0=0.5 s 后警车松开刹车,并以大小a=2 m/s2的加速度匀加速行驶。已知警车行驶的最大速度vm=20 m/s,警车的速度达到最大值后以该速度匀速行驶。两车均视为质点。
(1)求在警车追赶货车的过程中,两车间的最大距离smax;
(2)通过计算判断警车在加速阶段还是在匀速阶段追上货车;
(3)求从警员发现货车到警车追上货车的时间。
【答案】 (1)72 m　(2)见解析　(3)27.5 s
【解析】 (1)设警车开始行驶后经过时间t1与货车共速,此时两车距离最大,则at1=v0,
解得t1=8 s,
两车间的最大距离smax=v0(t1+t0)-t1=72 m。
(2)当警车达到最大速度时,用时t2==10 s,
警车的位移x1=t2=100 m,
此时货车的位移x2=v0(t0+t2)=168 m,
可知警车追上货车在警车匀速阶段。
(3)警车达到最大速度后追上货车还需时间t3==17 s,
从警员发现货车到警车追上货车的时间t=t0+t2+t3=0.5 s+10 s+17 s=27.5 s。
11.(12分)汽车以10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶,刹车后经2 s速度变为 6 m/s,汽车刹车后的运动可认为是匀减速直线运动。求:
(1)刹车过程中的加速度大小;
(2)刹车后前进9 m所用的时间;
(3)刹车后8 s时的速度大小及8 s内前进的位移大小。
【答案】 (1)2 m/s2　(2)1 s　(3)0　25 m
【解析】 (1)根据匀变速直线运动的速度时间公式v=v0+at得,
加速度a==-2 m/s2,
即刹车过程中加速度大小为2 m/s2。
(2)汽车从刹车到停止的时间为t0===5 s,
根据x=v0t+at2,
代入数据解得t=1 s或者t=9 s>t0(不合实际,舍去)。
(3)根据(2)可知汽车经5 s停下,所以刹车后8 s时的速度为0,刹车后8 s内前进的位移即汽车刹车后5 s内前进的位移,由逆向思维法可得x=×2 m/s2×(5 s)2=25 m。(共61张PPT)
3　匀变速直线运动位移与
时间的关系
[学习目标]　
探究·必备知识
「探究新知」
知识点　匀变速直线运动的位移与时间的关系
2.两种特殊形式
(1)当v0=0时,x= ,即由静止开始的匀加速直线运动的位移x与t2成正比。
(2)当a=0时,x= ,即匀速直线运动的位移与t成正比。
v0t
(2)初速度越大,时间越长,匀变速直线运动物体的位移一定越大。(　　)
(3)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关。(　　)
「新知检测」
1.思考判断
√
×
×
√
2.思维探究
(1)物体运动的v-t图像如图所示,v-t图像与 t轴所围“面积”表示t时间内的位移,该结论对非匀变速直线运动适用吗
提示:(1)同样适用。对于非匀变速直线运动,v-t图像为曲线,可得到相同结论。
(2)你能定性画出初速度为零的匀加速直线运动的x-t图像吗
突破·关键能力
要点一　对位移与时间关系式的理解及应用
「情境探究」
如图所示,汽车由静止以加速度a1启动,行驶一段时间t1后,又以加速度a2刹车,经时间t2后停下来。
(1)汽车加速过程及刹车过程中,加速度的方向相同吗
【答案】 (1)汽车加速时加速度方向与运动方向相同,减速时加速度方向与运动方向相反,因此两过程中加速度方向不同。
(2)根据位移公式求加速过程及减速过程中的位移、速度及加速度时正、负号如何确定
【答案】 (2)根据位移公式求位移时,一般取初速度方向为正方向,加速时,加速度取正值,减速时,加速度取负值,在全过程中速度始终取正值。
「要点归纳」
对位移方程的理解
(1)适用条件:只适用于匀变速直线运动。
(2)矢量性:式中x、v0、a都是矢量,应用时必须选取正方向。一般选v0的方向为正方向。
①匀加速直线运动中,a与v0同向,a取正值;匀减速直线运动中,a与v0反向,a取负值。
②若位移的计算结果为正值,说明位移方向与规定的正方向相同;若位移的计算结果为负值,说明位移方向与规定的正方向相反。
[例1] 如图,铁路两旁有很多间隔都是50 m的电线杆,某乘客想利用手机中的秒表计时功能,测量火车出站时的加速度(火车出站可看成匀加速直线运动),他经过第1根电线杆时开始计时,到第5根电线杆时用时8 s,到第9根电线杆时停止计时,共用时 12 s,求:
(1)火车的初速度大小;
(2)火车的加速度大小。
[针对训练1] 某一向右做直线运动的物体的图像如图所示,根据图像求:
(1)物体刚出发时的加速度;
【答案】 (1)4 m/s2,向右
(2)物体距出发点最远时的位移;
【答案】 (2)6 m,向右
(3)前4 s内物体通过的路程。
【答案】 (3)7 m
要点二　匀变速直线运动推论式及应用
「要点归纳」
1.平均速度推论式
(3)应用:用于求解匀变速直线运动中相邻相等时间在已知各自位移或该过程始、末速度的条件下求中间时刻速度的问题。
2.逐差相等推论式
(1)匀变速直线运动中,任意两个连续相等的时间间隔T内,位移之差是一个常量,即Δx=xⅡ-xⅠ=aT2。
(3)应用。
①判断物体是否做匀变速直线运动。
如果Δx=xⅡ-xⅠ=xⅢ-xⅡ=…=xn-xn-1=aT2成立,则a为一恒量,说明物体做匀变速直线运动。
②求加速度。
利用Δx=aT2可求得物体的加速度。
[例2] 一物体在AC间做匀变速直线运动,将AC分成时间间隔相等的两段,通过的位移分别是24 m和64 m,每一个时间间隔均为4 s,求物体的初速度大小vA、末速度大小vC及加速度大小a。
[思路点拨] (1)画出该物体的运动过程,如图所示。
(2)B是由A到C的中间时刻。
【答案】 1 m/s　21 m/s　2.5 m/s2
·规律方法·
·规律方法·
(2)Δx=aT2的选择及拓展。
①对于一般的匀变速直线运动问题,若出现相等的时间间隔问题,应优先考虑用Δx=aT2求解。
②对于不相邻的两段位移,则有xm-xn=(m-n)aT2。
③此关系式常用于解决匀变速直线运动的实验中求加速度的问题。
[针对训练2] 如图所示,电动公交车做匀减速直线运动进站,连续经过R、S、T三点,已知ST间的距离是RS的2倍,RS段的平均速度是10 m/s,ST段的平均速度是 5 m/s,则公交车经过T点时的瞬时速度为(　　)
[A]3 m/s [B]2 m/s
[C]1 m/s [D]0.5 m/s
C
要点三　刹车类问题(逆向思维法)
「要点归纳」
1.刹车问题:车辆刹车时可看成做匀减速直线运动直至速度变为零,所以刹车时车辆只在“刹车时间”内做匀减速运动,而速度减为零后保持静止。刹车时间取决于初速度和加速度的大小。
2.常见错误:当给定的时间大于“刹车时间”时,误认为汽车在给定的时间内一直做匀减速直线运动,简单套用速度公式vt=v0+at,得出的速度出现负值的典型错误。
3.刹车问题逆向解题法:末速度为零的匀减速直线运动是初速度为零、加速度大小相等的反向匀加速直线运动的逆向运动。设物体的初速度为v0,加速度大小为a,做匀减速直线运动至速度为零,则可将此运动逆向看成初速度为零、加速度大小为a的匀加速直线运动,末速度为v0。
[例3] 汽车在平直公路上以某一速度行驶时,司机低头看手机时间内,车相当于处于盲开阶段,是非常危险的。某一小汽车以108 km/h的速度行驶时遇见紧急情况,紧急刹车制动加速度大小为10 m/s2,根据以上提供的信息分析计算:
(1)若司机低头看手机2 s,则处于盲开阶段的汽车行驶的距离;
【答案】 (1)60 m
【解析】 (1)汽车的初速度v0=108 km/h=30 m/s,司机低头看手机2 s,盲开阶段汽车做匀速直线运动,则有x0=v0Δt,解得x0=60 m。
(2)汽车刹车后2 s的速度大小;
【答案】 (2)10 m/s
(3)汽车刹车后4 s内的位移大小。
【答案】 (3)45 m
刹车类问题的处理思路
实际交通工具刹车后可认为是做匀减速直线运动,当速度减小到零时,车辆就会停止。解答此类问题的思路是:
·规律方法·
(2)比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间,最后再利用运动学公式求解。若t>t刹,不能盲目地把时间代入;若t[针对训练3] 高速公路上,为防止汽车连续下坡或转弯时刹车失灵发生事故,道路旁常建有斜向上的“缓冲坡”。如图所示,一质量为m的货车冲上缓冲坡做匀减速直线运动,已知其初速度为v0,经过时间t速度减为零。求货车:
(1)加速度大小a;
(2)最大上行距离L;
(3)冲上缓冲坡一半距离时的速度大小。
提升·核心素养
「模型·方法·结论·拓展」
生活中的追及与相遇问题
1.问题实质
追及、相遇问题,其实质就是分析讨论两物体间距离的变化和某一时刻能否到达相同的空间位置。
2.两个关系,一个条件
(1)两个关系:时间关系和位移关系。
(2)一个条件:二者的速度相等。它往往是物体间能否追上、追不上或(二者)距离最大、最小的临界条件,也是分析判断问题的切入点。
3.常见的情况
物体A追赶物体B。可能为匀加速运动物体追匀速运动物体;匀速运动物体追匀减速运动物体;匀减速运动物体追匀减速运动物体;匀加速运动物体追匀加速运动物体。
(1)开始时,两个物体相距x0。
①物体A追上物体B时,必有xA-xB=x0,且vA≥vB。
②两物体恰好不相撞时,必有xA-xB=x0,且vA=vB。
(2)开始时两个物体处在同一位置。
①物体A追上物体B时,必有xA=xB,vA≥vB。
②物体A与物体B恰好不相撞时,必有xA=xB,vA=vB。
4.常用解答方法
(1)物理分析法:抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键,认真审题,挖掘题中的隐含条件,建立物体运动关系的图景,并画出运动情况示意图,找出位移关系。
(2)图像法:将二者的v-t图像在同一坐标系中画出,然后利用图像求解。
(3)数学极值法:设从开始至相遇时间为t,根据条件列方程,得到关于t的一元二次方程,用判别式进行讨论,若Δ>0,即有两个解,说明可以相遇两次(须要求t>0);若Δ=0,说明刚好追上或相遇;若Δ<0,说明追不上或不能相碰。
[示例] 如图甲所示,A车原来临时停在一水平路面上,B车在后面匀速向A车靠近,A车司机发现后启动A车,以A车司机发现B车为计时起点(t=0),A、B两车的v-t图像如图乙所示。已知B车在第1 s内与A车的距离缩短了x1=24 m。
(1)求B车运动的速度vB和A车的加速度 a的大小。
【答案】 (1)24 m/s　6 m/s2　
(2)若A、B两车不会相撞,A车司机发现B车时(t=0)两车的距离x0应满足什么条件
【答案】 (2)x0>72 m
「科学·技术·社会·环境」
行车安全距离
在高速公路上,有时会发生“追尾”事故——后面的汽车撞上前面的汽车。造成追尾的主要因素是驾驶员精力不集中和超速行驶。驾驶员从发现险情到引导汽车制动是有一段时间的,这段时间叫反应时间,一般情况下驾驶员的反应时间在1 s之内,若精力不集中,反应时间会达到 3 s 以上;制动过程中,汽车还会继续行驶一段才会停止运动,车速越高,减速行驶的距离越长。因此,汽车在高速行驶时,保持合适的车距和控制合理车速至关重要。
[示例] 研究表明,一般人的刹车反应时间即图甲中“反应过程”所用时间t0=0.4 s,但饮酒会导致反应时间延长。在某次实验中,志愿者少量饮酒后驾车以v0=72 km/h的速度在试验场的水平路面上匀速行驶,从发现情况到汽车停止,行驶距离L=54 m,减速过程中汽车位移x与速度v的关系曲线如图乙所示,此过程可视为匀变速直线运动。
(1)减速过程汽车加速度的大小及所用时间分别是多少
【答案】 (1)5 m/s2　4 s　
(2)饮酒使志愿者的反应时间比一般人增加了多少
【答案】 (2)0.3 s
(3)若该志愿者发现正前方有一辆大卡车以v=12 m/s 的速度同方向匀速行驶,为避免追尾,则志愿者发现情况时,两车间的距离至少为多少
【答案】 (3)12 m
检测·学习效果
1.(多选)彩虹滑道是很有趣的游玩项目,游客坐在橡皮圈上随之一起滑下,如图所示。假设游客(视为质点)从静止开始做匀加速直线运动,第1 s内的位移是0.5 m,下列说法正确的是(　 　)
[A]游客的加速度大小是2 m/s2
[B]游客在1 s末的速度是1 m/s
[C]游客在第3 s内的平均速度是2.5 m/s
[D]游客在第5 s内的位移大小是2.75 m
BC
2.(2024·甘肃卷)小明测得兰州地铁一号线列车从“东方红广场”到“兰州大学”站的v-t图像如图所示,此两站间的距离约为(　　)
[A]980 m [B]1 230 m
[C]1 430 m [D]1 880 m
C
3.物体从O点由静止开始做匀加速直线运动,陆续途径A、B、C三点,已知AB=3 m,BC=4 m。若物体通过AB和BC这两段位移的时间均为1 s,则OA的距离为(　　)
B
4.一列货车以8 m/s的速度在平直铁路上运行,由于调度失误,在后面600 m处有一列快车以 20 m/s 的速度向它靠近。快车司机发觉后立即制动,若两车恰好不相撞(货车速度保持不变),求:
(1)快车从制动至两车恰好不相撞所用时间t;
【答案】 (1)100 s
(2)快车制动过程中的加速度a的大小;
【答案】 (2)0.12 m/s2
【解析】 (2)根据v快-at=v货,
解得a=0.12 m/s2。
(3)从制动至两车恰好不相撞,快车的位移x的大小。
【答案】 (3)1 400 m
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