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4　匀变速直线运动规律的应用
[学习目标]　1.知道关系式-=2ax的推导、适用条件及应用。2.知道初速度为零的匀变速直线运动的比例关系及应用。
探究新知
知识点　匀变速直线运动的速度与位移的关系
1.对两条主要规律的理解
(1)速度方程和位移方程中共涉及5个物理量,有初速度v0、末速度vt、加速度a、位移x和时间t,其中v0、vt、a、x是矢量,时间t是标量。
(2)在应用两条规律解答问题时,只要已知其中3个量即可求出另外的量。
2.实际生活中的匀变速直线运动的常见事例
(1)飞机起飞过程中,若由静止开始,其加速度为a,离地速度为vt,如何确定飞机起飞跑道的长度 若飞机先通过弹射装置以某一初速度v0开始,起飞位移又为多少
(2)若起飞中的飞机因意外突发情况,在达到某速度时要求在有限距离内停下来,如何求飞机的加速度
(3)子弹射出枪管过程中,若已知枪管长度、射出速度,子弹在枪管内的加速度是多少
3.事例特点及解决方法
上述2的例子中物体的运动均涉及匀变速直线运动中的初速度v0、末速度vt、位移x和加速度a四个物理量,解答该类问题时,由速度方程vt=v0+at和位移方程 x=v0t+at2联立得-=2ax。此式为速度与位移的关系式。当问题中不涉及时间时,利用该式解决问题非常方便。
4.中间位置的瞬时速度与初、末速度的关系式
(1)关系式:=。
(2)推导:在匀变速直线运动中,某段位移x的初、末速度分别是v0和vt,加速度为a,中间位置的速度为,则根据速度与位移关系式,对前一半位移,有-=2a·,对后一半位移,有-=2a·,即-=-,所以=。
新知检测
1.思考判断
(1)方程-=2ax适用于所有的直线运动。(　×　)
(2)做匀加速直线运动的物体,位移越大,物体的末速度一定越大。(　×　)
(3)确定方程-=2ax中的四个物理量的数值时,选取的参考系应该是统一的。(　√　)
(4)匀加速直线运动中速度的二次方一定与位移x成正比。(　×　)
(5)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、末速度三个因素都有关。(　√　)
2.思维探究
如果你是机场跑道设计师,若已知飞机的加速度为a,起飞速度为v,你应该如何来设计飞机跑道的长度
提示:根据方程-=2ax得=2ax,
所以x=,
即应使飞机跑道的长度大于。
要点一　对关系式-=2ax的理解与应用
情境探究
如图所示,A、B、C三个标志牌的间距均为x,汽车做匀加速直线运动,加速度为a,已知汽车经过标志牌A的速度为vA,你能求出汽车经过标志牌B和C的速度vB和vC吗
【答案】 能。由-=2ax可得vB=,由-=2a·2x可得vC=。
要点归纳
1.对方程-=2ax的理解
(1)适用条件:该式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系,适用于匀变速直线运动。
(2)矢量性:该式中v0、vt、a、x都是矢量,应用时必须选取统一的正方向,一般选v0方向为正方向。
①物体做加速运动时,a取正值,物体做减速运动时,a取负值。
②若x>0,说明物体位移的方向与初速度方向相同;若x<0,说明物体位移的方向与初速度的方向相反。
2.两种特殊形式
(1)对初速度为零的匀加速直线运动,v0=0,则=2ax。
(2)对末速度为零的匀减速直线运动,vt=0,则-=2ax。
[例1] 如图所示为静止的航空母舰,若舰载飞机在跑道上加速时的加速度恒为5 m/s2,飞机在跑道上滑行160 m起飞。
(1)若从静止开始加速,求飞机离开滑行跑道时的速度大小;
(2)若要使飞机起飞时的速度大小达到 50 m/s,则弹射系统必须使飞机具有的最小初速度为多大
(3)在(2)的前提下,求飞机在甲板上滑行的时间。
【答案】 (1)40 m/s　(2)30 m/s　(3)4 s
【解析】 (1)若从静止开始加速,飞机离开滑行跑道时的速度满足=2ax,解得vt=40 m/s。
(2)根据速度与位移关系式有vt′2-=2ax,
弹射系统必须使飞机具有的最小初速度为v0=30 m/s。
(3)根据速度方程,飞机在甲板上滑行的时间为t==4 s。
公式-=2ax的应用
(1)当物体做匀变速直线运动时,如果不涉及时间一般用速度与位移公式较方便。
(2)刹车问题由于末速度为零,应用此公式往往较方便且能避免机械套用位移公式而出现解答错误。
[针对训练1] 若有一个小孩从滑梯上由静止开始沿直线匀加速下滑。当他下滑距离为L时,速度为v,当它的速度是时,它沿斜面下滑的距离是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 设小孩下滑的加速度为a,由于v0=0,根据-=2ax有v2=2aL,得a=;速度变为时,有 ()2=2ax,则x=,选项C正确。
要点二　初速度为零的匀变速直线运动的比例关系
要点归纳
1.等分运动时间(以T为时间单位)的情况
(1)1T末、2T末、3T末……瞬时速度之比:
v1∶v2∶v3∶…∶vn=1∶2∶3∶…∶n。
(2)1T内、2T内、3T内……位移之比:
x1∶x2∶x3∶…∶xn=1∶4∶9∶…∶n2。
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内……位移之比:xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN=1∶3∶5∶…∶(2N-1)。
2.等分位移(以x为单位)的情况
(1)通过x处、2x处、3x处……的速度之比:
v1∶v2∶v3∶…∶vn=1∶∶∶…∶。
(2)通过x、2x、3x…所用时间之比:
t1∶t2∶t3∶…∶tn=1∶∶∶…∶。
(3)通过第一个x、第二个x、第三个x……所用时间之比:
t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′=1∶(-1)∶(-)∶…∶(-)。
[例2] 汽车刹车过程可以看成匀减速直线运动,已知刹车3 s后停下,下列说法正确的是(　　)
[A]前1 s内、前2 s内、前3 s内的位移之比为 1∶4∶9　
[B]第1 s末、第2 s末、第3 s末的速度之比为 3∶2∶1　
[C]第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度之比为1∶3∶5
[D]这连续三个1 s内的速度改变量之比为1∶1∶1　
【答案】 D
【解析】 根据题意,采用逆向思维,由x=at2可知,1 s内、2 s内、3 s内的位移之比为1∶4∶9,则第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比为1∶3∶5,则刹车过程连续三个1 s内的位移之比为5∶3∶1,前1 s内、前2 s内、前3 s内的位移之比为5∶8∶9,由公式=可得,第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度之比为5∶3∶1,故A、C错误;由于第3 s末的速度为零,所以第1 s末、第 2 s 末的速度之比为2∶1,故B错误;根据Δv=aΔt可知,这连续三个
1 s内的速度改变量之比为1∶1∶1,故D正确。
应用初速度为零的匀加速直线运动几个比例式的技巧
(1)比例式适用于初速度为零的匀加速直线运动,但应用逆向思维的方法也可以用来求解匀减速直线运动减速到速度为零的运动。
(2)匀变速直线运动中,若这些比例式成立,则该运动的初速度或末速度一定为零。
[针对训练2] (多选)如图所示,伽利略做了小球在斜面上运动的实验。一个黄铜小球(可视为质点)从阻力很小、倾角为θ的斜槽上的最高点A由静止滚下,若在斜槽上取A、B、C、D、E五个等间距的点,则(　　)
[A]AC段的平均速度大小与CE段的平均速度大小之比为(-1)∶1
[B]小球通过B、C、D、E点所用的时间之比为1∶4∶9∶16
[C]小球通过B、C、D、E点时的速度大小之比为1∶∶∶2
[D]小球通过C点的瞬时速度等于AE段的平均速度
【答案】 AC
【解析】 由初速度为0的匀变速直线运动相邻相等位移的时间之比的规律可知tAC∶tCE=
1∶(-1),根据平均速度定义式有 =,=,其中 xAC=xCE,解得 ∶=
(-1)∶1,故A正确;A、B、C、D、E五个等间距的点,根据位移公式有x=at2,可以解得tAB∶tAC∶tAD∶tAE=1∶∶∶2,故B错误;A、B、C、D、E五个等间距的点,根据位移与速度的关系式有v2=2ax,可以解得vB∶vC∶vD∶vE=1∶∶∶2,故C正确;C点为AE段的中间位置,根据初速度为0的匀变速直线运动相邻相等时间内的位移之比等于连续奇数之比可知,B点处为AE段的中间时刻,则小球通过B点的瞬时速度等于AE段的平均速度,故D错误。
模型·方法·结论·拓展
在物理众多力学实验中,匀变速直线运动的推论与打点纸带类问题,例如通过打点纸带求物体某位置的速度、物体加速度,占据了很大比重。利用匀变速直线运动的推论关系==,Δx=aT2是我们需要掌握的重要技能。求解可按以下方法进行。
1.计数点的选取与测量
选择一条点迹清晰的纸带,不考虑开头一些过于密集的点,找一个便于测量的点作为计时起点(0点)。可选择相隔0.1 s的若干计数点进行测量,即依次每五个点取一个计数点,并标明0、1、2、3、4、…,相邻两计数点间的时间间隔(T=0.1 s )作为一个时间单位。
如图所示,用毫米刻度尺测量每个计数点之间的距离x1、x2、x3…并记录填入下表中。
位置编号 0 1 2 3 4 5 6 …
时间t/s 0 …
xn/m 0 …
vn/(m·s-1) — …
2.加速度的计算
(1)若x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1=常数,则小车做匀变速运动。
(2)由Δx=aT2可得出a1=,a2=,a3=,则a=求小车加速度。
3.瞬时速度的计算和记录
由于各计数点之间的时间间隔比较短,可以利用包含某计数点在内的平均速度代表该计数点的瞬时速度,一般运用v1=,v2=,v3=,…,vn=计算,然后将对应的时刻和瞬时速度填入设计的表格中。
4.图像法分析数据
(1)建坐标系。
①以速度v为纵轴、时间t为横轴建立直角坐标系。
②定标度、描点:坐标轴的标度选取要合理,并根据表格中的数据在坐标系中描点。
(2)连线:通过所描的点作图线,让这条图线通过尽可能多的点,不在线上的点大致均匀分布在图线的两侧。如图所示。
5.实验结论
若所作v-t图像是一条倾斜的直线,则图线斜率不变,小车加速度恒定不变,求出的直线斜率即为小车的加速度。
[示例] 某同学用如图甲所示的装置,打出的一条纸带如图乙所示,其中A、B、C、D、E为计数点,相邻两个计数点之间还有4个点未画出,已知打点计时器的电源频率是50 Hz
(周期为0.02 s)。
(1)实验时该纸带的　　　　(选填“左”或“右”)端是和小车相连的。
(2)打点计时器打下C点时小车的瞬时速度大小为　　　　 m/s(结果保留2位有效数字)。
(3)由纸带上所示数据可算得小车运动的加速度大小为　　 　　 m/s2(结果保留 2位有效数字)。
【答案】 (1)左　(2)0.30　(3)0.40
【解析】 (1)因为小车做匀加速直线运动,相同的时间内发生的位移越来越大,先打的点迹会密一些,A为先打的点,故左端是和小车相连的。
(2)已知相邻两个计数点之间还有4个点未画出,打点计时器的电源频率是50 Hz,
因此T=5×0.02 s=0.1 s,打点计时器打下C点时小车的瞬时速度大小为vC===0.30 m/s。
(3)由逐差法可算得小车运动的加速度大小为
a=
=
=0.40 m/s2。
科学·技术·社会·环境
航母舰载机的起飞
　　航母舰载机的起飞一般有三种方式:滑跃式、弹射式和垂直式。弹射起飞需要在航母上安装弹射器。电磁弹射器的工作原理与电磁炮类似。用强迫储能装置代替常规电源,它能在极短时间内释放所储存的电能;由弹射器使飞机获得足够的速度,从而实现短距离起飞。舰载机的起飞速度约为300 km/h(约83 m/s)。
[示例] 已知某型号的舰载战斗机在处于静止状态的航空母舰跑道上加速时可产生的最大加速度为5 m/s2,当战斗机速度达到50 m/s时,即可离开航空母舰起飞。问:
(1)如果采用滑跃式起飞(可看作直线运动),则该航空母舰的飞行甲板长度至少为多少
(2)如果采用电磁弹射起飞,要求该飞机滑行 160 m 起飞,电磁弹射系统必须使飞机具有多大的初速度
【答案】 (1)250 m　(2)30 m/s
【解析】 (1)采用滑跃式起飞时,v0=0,vt=50 m/s,amax=5 m/s2,由速度与位移的关系式有-=2amaxxmin,解得xmin=250 m。
(2)采用电磁弹射起飞时,位移x=160 m,vt=50 m/s,电磁弹射系统使飞机获得的速度为v0′,根据速度与位移的关系式有-v0′2=2amaxx,
解得v0′=30 m/s。
1.一个做匀速直线运动的物体,从某时刻起做匀减速运动经3 s停止,设这3 s内连续通过两段位移的时间分别是2 s、1 s,这两段位移的大小之比和这两段位移上的平均速度之比分别是(　　)
[A]4∶1,2∶1 [B]8∶1,4∶1
[C]3∶1,2∶1 [D]4∶5,2∶5
【答案】 B
【解析】 根据逆向思维,匀减速运动到零反向看成初速度为零的匀加速运动,则连续通过相同时间的位移之比为1∶3∶5∶…,已知匀减速运动连续通过两段位移的时间分别是
2 s、1 s,则这两段位移的大小之比为x1∶x2=(5+3)∶1=8∶1,根据平均速度=可知,平均速度之比为4∶1。故选B。
2.(多选)如图所示,木块A、B、C并排固定在水平地面上,可视为质点的子弹以水平速度v0射入木块A,子弹在木块A、B、C中运动的时间相等,在木块中运动时加速度恒定。若子弹刚好射出木块C,下列说法正确的是(　　)
[A]子弹刚射出木块A时的速度大小为
[B]木块A、B、C的长度之比为3∶2∶1
[C]子弹在木块A中运动的平均速度是在木块C中运动的平均速度的3倍
[D]若子弹射入木块A的初速度变为,则子弹将停留在木块A中
【答案】 AD
【解析】 将子弹穿过三个木块的逆过程看成是初速度为零的匀加速运动,设总时间为3t,v0=3at,则子弹刚射出木块A时的速度大小为v1=a×2t=,选项A正确;根据相等时间的位移关系可知,木块A、B、C的长度之比为5∶3∶1,选项B错误;子弹在木块A中运动的平均速度与在木块 C中运动的平均速度之比 ∶=∶=5∶1,选项C错误;根据=2a·(5+3+1)l,若子弹射入木块A的初速度变为,则(v0)2=2a·x,解得x=4l<5l,即子弹将停留在木块A中,选项D正确。
3.(多选)一个做匀加速直线运动的物体,先后经过a、b两点时的速度分别为v和7v,通过ab段的时间是t,则下列说法正确的是(　　)
[A]经过ab中间时刻的速度是4v
[B]前时间通过的位移与后时间通过的位移之比为5∶11
[C]前时间通过的位移比后时间通过的位移少1.5vt
[D]经过ab中间位置的速度是4.5v
【答案】 ABC
【解析】 匀变速直线运动中,在某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度。所以经过ab中间时刻的速度是v′==4v,故A正确;中间时刻的速度为4v,前的时间通过的位移x1=·=vt,后时间通过的位移x2=·=vt,前时间通过的位移比后时间通过的位移少1.5vt,前时间通过的位移与后时间通过的位移之比为5∶11,故B、C正确,设中间位置的速度为v1,则-v2=2a×,(7v)2-=2a×,联立解得v1=5v,故D错误。
4.为激发飞行学员的职业荣誉感,空军曾派出运-20飞机运送新录取飞行学员到空军航空大学报到。假设运-20飞机沿直线跑道由静止开始以最大加速度匀加速起飞,经过时间t1=20 s达到起飞速度vt=60 m/s。
(1)求飞机起飞时的加速度大小a1和发生的位移大小x1;
(2)跑道上有一个航线临界点,如图所示,超过临界点就必须起飞,如果放弃起飞飞机将可能冲出跑道,已知跑道长度L=1 200 m,飞机减速的最大加速度大小a2=2 m/s2,求临界点与跑道起点的距离x0。
【答案】 (1)3 m/s2　600 m　(2)480 m
【解析】 (1)根据速度与时间的关系式得,飞机起飞时的加速度大小
a1===3 m/s2,
飞机起飞时发生的位移大小为x1= t1=×t1=×20 s=600 m。
(2)假如飞机加速至临界点,则飞机以最大加速度a2减速能恰好到达跑道的末端。设此过程中飞机的最大速度为vm,则加速过程有=2a1x0,
减速过程有=2a2(L-x0),
联立解得x0=480 m。
课时作业
(分值:60分)
单选题每题4分,多选题每题6分。
1.列车在某一路段做匀加速直线运动,速度由 10 m/s 增加到20 m/s时的位移为x,接着列车再运动4x的位移时,列车的速度是(　　)
[A]30 m/s [B]40 m/s
[C]50 m/s [D]60 m/s
【答案】 B
【解析】 设列车的加速度为a,根据-=2ax,有x=,当列车接着运动4x的位移时,设末速度为v2,根据-=2a·4x,则4x=,把v0=10 m/s,v1=20 m/s代入,联立解得v2=40 m/s,故B正确,A、C、D错误。
2.4个完全相同的水球紧挨在一起水平排列,如图所示。子弹(可视为质点)在水球中沿水平方向做匀变速直线运动,恰好穿出第 4个水球。已知子弹穿过第4个水球用时1 s,则子弹穿过第1个水球用时(　　)
[A](2-) s [B] s
[C] s [D]2 s
【答案】 A
【解析】 由于子弹恰好穿出第4个水球,可知子弹的末速度为零,可反向看成初速度为零的匀加速直线运动,即从静止开始,子弹依次穿过连续4个水球所用时间的比值t1∶t2∶t3∶t4=(2-)∶(-)∶(-1)∶1,子弹穿过第4个水球用时1 s,则子弹穿过
第1个水球用时(2-) s,故选A。
3.一个做匀加速直线运动的物体,当它的速度由v增至2v时,发生的位移为x1;当它的速度由2v增至3v时,发生的位移为x2,则x1∶x2等于(　　)
[A]1∶2 [B]2∶3
[C]3∶5 [D]1∶5
【答案】 C
【解析】 当速度由v增至2v时,发生的位移为x1,根据速度与位移关系式,可得(2v)2-v2=2ax1;当速度由2v增至3v时,发生的位移为x2,可得(3v)2-(2v)2=2ax2,联立解得x1∶x2=3∶5,故C正确,A、B、D错误。
4.我国航空母舰“福建舰”采用平直飞行甲板,配置电磁弹射和阻拦装置。现有一舰载机借助弹射装置获得一个大小为v0的初速度,然后以大小为a的加速度做匀加速直线运动,正好成功起飞。已知航母始终静止,跑道的长度为L。下列说法正确的是(　　)
[A]舰载机起飞时的速度大小为2
[B]舰载机在跑道上做匀加速直线运动的时间为
[C]舰载机在跑道处的速度大小为
[D]舰载机在跑道上运动的中间时刻的速度大小为
【答案】 C
【解析】 根据速度与位移的关系式,有-=2aL,解得vt=,由速度与时间的关系式得t==,选项A、B错误;根据vt′2-=2a·,解得vt′=,选项C正确;根据匀变速直线运动的推论可知,==,选项D错误。
5.(多选)对于一个初速度为零的匀加速直线运动的物体,从零时刻开始,下列说法正确的是(　　)
[A]第1 s内、第2 s内、第3 s内通过的位移之比为1∶4∶9
[B]第1 s内、第2 s内、第3 s内通过的位移之比为1∶2∶3
[C]1 s末、2 s末、3 s末的速度大小之比为 1∶2∶3
[D]1 s末、3 s末、5 s末的速度大小之比为 1∶3∶5
【答案】 CD
【解析】 对于一个初速度为零的匀加速直线运动的物体,根据x=at2,推导可知,从零时刻开始,第1 s内、第2 s内、第3 s内通过的位移之比为1∶3∶5,故A、B错误;对于一个
初速度为零的匀加速直线运动的物体,根据v=at,推导可知,从零时刻开始,1 s末、2 s末、
3 s末、5 s末的速度大小之比为1∶2∶3∶5,故C、D正确。
6.目前我国大力提倡发展新能源,国家对购买和使用新能源车提供了很多优惠政策,人们购买新能源车的热情不减。如图所示是一次在平直公路上检测某新能源汽车的刹车性能时得到的整个刹车过程中位移与速度平方之间的关系图像,下列说法正确的是(　　)
[A]新能源车的初速度为40 m/s
[B]刹车过程新能源车的加速度大小为10 m/s2
[C]刹车过程经过6 s时新能源车的位移为30 m
[D]刹车过程持续的时间为4 s
【答案】 D
【解析】 根据速度与位移的关系式得v2-=2ax,可得v2=+2ax,结合题中图像有2a==-10 m/s2,=400 m2/s2,解得a=-5 m/s2,v0=20 m/s,故A、B错误;刹车过程持续时间为t===4 s,而刹车距离为40 m,则刹车过程经过6 s时的位移为40 m,故C错误,D正确。
7.(多选)一个做匀变速直线运动的物体先后经过A、B两点的速度分别为v1和v2,物体经过AB段的位移中点的速度为v3,物体经过AB段的中间时刻的速度为v4,全程平均速度为v5,则下列结论正确的是(　　)
[A]v3=v5
[B]v4=
[C]若为匀减速直线运动,则v3[D]在匀变速直线运动中一定有v3>v4=v5
【答案】 BD
【解析】 设A到B位移为2x,由-=2ax,-=2ax,联立解得经过位移中点的速度v3=,设A到B总时间为2t,由v2=v4+at,v4=v1+at,联立解得中间时刻的速度v4=,全程的平均速度v5=。不论匀加速直线运动还是匀减速直线运动,都有v3>v4=v5,若物体做匀加速直线运动,则v1v2。故A、C错误,B、D
正确。
8.酒后驾驶是一种违法行为。酒后驾驶会导致许多安全隐患,是因为驾驶员的反应时间变长,反应时间是指驾驶员从发现情况到采取制动的时间。下表中“思考距离”是指驾驶员从发现情况到采取制动的时间内汽车行驶的距离,“制动距离”是指驾驶员从发现情况到汽车停止行驶的距离(假设汽车制动时的加速度大小都相等)。
速度/ (m·s-1) 思考距离/m 制动距离/m
正常 酒后 正常 酒后
15 7.5 15.0 22.5 30.0
20 10.0 20.0 36.7 46.7
25 12.5 25.0 M N
分析上表可知,下列说法错误的是(　　)
[A]驾驶员酒后反应时间比正常情况下多 0.5 s,故严禁酒后驾车
[B]若汽车以20 m/s的速度行驶时,发现前方 40 m 处有险情,酒后驾驶不能安全停车
[C]汽车制动时,加速度大小约为7.5 m/s2
[D]表中M为64.2,N为76.7
【答案】 D
【解析】 在思考距离内汽车是匀速运动的,驾驶员正常情况下反应时间为t=,代入题目中给的速度和正常思考距离,可以解出正常情况下的反应时间t==0.5 s;酒后反应时间t1==1 s,所以驾驶员酒后反应时间比正常情况下多0.5 s,故A的说法正确;由题表中数据可知,速度为20 m/s时,酒后制动距离为 46.7 m>40 m,所以若汽车以20 m/s的速度行驶时,发现前方40 m 处有险情,酒后驾驶不能安全停车,故B的说法正确;汽车制动时的加速度大小a都相同,按速度为15 m/s时计算,减速过程汽车的位移x1=15 m,根据位移与速度的关系-=2ax,有a=7.5 m/s2,故C的说法正确;根据位移与速度的关系-=2ax,解得减速过程位移x2≈41.7 m,有N=41.7 m+25 m=66.7 m,M=41.7 m+12.5 m=54.2 m,故D的说法错误。
9.(多选)图像能够直观描述物理过程,能形象表述物理规律,能有效处理实验数据。如图所示为物体做直线运动的图像,下列说法正确的是(　　)
[A]图甲为A、B、C三个物体做直线运动的xt图像,0～t1时间内三个物体的平均速度不相等
[B]图乙中,x1～2x1过程中物体的加速度大小为
[C]图丙中,阴影面积表示t1～t2时间内物体的速度变化量的大小
[D]图丁中所描述的物体正在做匀加速直线运动,则该物体的加速度为4 m/s2
【答案】 CD
【解析】 题图甲为A、B、C三个物体做直线运动的xt图像,0～t1时间内三个物体的位移相同,则三个物体的平均速度相等,故A错误;题图乙中,根据匀变速直线运动速度与位移关系式-=2ax,可得x1～2x1过程中物体的加速度大小为a==,故B错误;题图丙中,根据Δv=at可知,阴影面积表示t1～t2时间内物体的速度变化量的大小,故C正确;根据匀变速直线运动位移时间公式x=v0t+at2,可得=v0+at,可知题图丁中所描述的物体正在做匀加速直线运动,t图像的斜率为k=a= m/s2,解得加速度为a=4 m/s2,故D正确。
10.(8分)如图所示,某冰壶项目运动员在一次训练中将冰壶以v0=3 m/s的速度推出,冰壶先做匀减速直线运动一段距离后,其队友开始在冰壶滑行的前方利用冰壶刷持续摩擦冰面,使后一阶段匀减速直线运动的加速度变为前一阶段的一半,冰壶在后一阶段运动中的最后2 s内滑行0.2 m,已知两个阶段冰壶一共滑行30 m。求:
(1)最后2 s内的加速度大小;
(2)后一阶段运动的初速度v1的大小。
【答案】 (1)0.1 m/s2　(2) m/s
【解析】 (1)依题意,冰壶做匀减速直线运动,其末速度为零,采用逆向思维可视为反向初速度为0的匀加速直线运动,可得x1=a1,
解得a1=0.1 m/s2。
(2)依题意,前一阶段的加速度大小为a=2a1=0.2 m/s2,
根据匀变速直线运动位移与速度的关系式,可得+=x,解得v1= m/s。
11.(10分)一个做匀加速直线运动的物体,在前4 s内经过的位移为24 m,在第2个4 s内经过的位移是60 m,求这个物体的加速度和初速度各是多少
【答案】 2.25 m/s2　1.5 m/s
【解析】 方法一　物体在前4 s内的位移x1=v0t+at2,
在第2个4 s内的位移x2=v0·2t+a(2t)2-(v0t+at2),
将x1=24 m,x2=60 m,t=4 s代入上式,
解得a=2.25 m/s2,v0=1.5 m/s。
方法二　物体在8 s内的平均速度等于中间时刻(即第4 s末)的瞬时速度,
则v4==10.5 m/s,
且v4=v0+4 s×a,
物体在前4 s内的平均速度等于第2 s末的瞬时速度,则v2==6 m/s,而v2=v0+2 s×a,
联立解得a=2.25 m/s2,v0=1.5 m/s。
方法三　由公式Δx=aT2得a===2.25 m/s2,
由于v4==10.5 m/s,
而v4=v0+4 s×a,解得v0=1.5 m/s。(共51张PPT)
4　匀变速直线运动规律的应用
[学习目标]　
探究·必备知识
「探究新知」
知识点　匀变速直线运动的速度与位移的关系
1.对两条主要规律的理解
(1)速度方程和位移方程中共涉及5个物理量,有初速度v0、 、加速度a、 和时间t,其中v0、vt、a、x是矢量,时间t是标量。
(2)在应用两条规律解答问题时,只要已知其中3个量即可求出另外的量。
末速度vt
位移x
2.实际生活中的匀变速直线运动的常见事例
(1)飞机起飞过程中,若由静止开始,其加速度为a,离地速度为vt,如何确定飞机起飞跑道的长度 若飞机先通过弹射装置以某一初速度v0开始,起飞位移又为多少
(2)若起飞中的飞机因意外突发情况,在达到某速度时要求在有限距离内停下来,如何求飞机的加速度
(3)子弹射出枪管过程中,若已知枪管长度、射出速度,子弹在枪管内的加速度是多少
3.事例特点及解决方法
2ax
4.中间位置的瞬时速度与初、末速度的关系式
「新知检测」
1.思考判断
×
×
√
×
√
2.思维探究
如果你是机场跑道设计师,若已知飞机的加速度为a,起飞速度为v,你应该如何来设计飞机跑道的长度
突破·关键能力
要点一　对关系式 的理解与应用
「情境探究」
如图所示,A、B、C三个标志牌的间距均为x,汽车做匀加速直线运动,加速度为a,已知汽车经过标志牌A的速度为vA,你能求出汽车经过标志牌B和C的速度vB和vC吗
(1)适用条件:该式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系,适用于匀变速直线运动。
(2)矢量性:该式中v0、vt、a、x都是矢量,应用时必须选取统一的正方向,一般选v0方向为正方向。
①物体做加速运动时,a取正值,物体做减速运动时,a取负值。
②若x>0,说明物体位移的方向与初速度方向相同;若x<0,说明物体位移的方向与初速度的方向相反。
「要点归纳」
2.两种特殊形式
[例1] 如图所示为静止的航空母舰,若舰载飞机在跑道上加速时的加速度恒为5 m/s2,飞机在跑道上滑行160 m起飞。
(1)若从静止开始加速,求飞机离开滑行跑道时的速度大小;
【答案】 (1)40 m/s
(2)若要使飞机起飞时的速度大小达到 50 m/s,则弹射系统必须使飞机具有的最小初速度为多大
【答案】 (2)30 m/s
(3)在(2)的前提下,求飞机在甲板上滑行的时间。
【答案】 (3)4 s
·规律方法·
(1)当物体做匀变速直线运动时,如果不涉及时间一般用速度与位移公式较方便。
(2)刹车问题由于末速度为零,应用此公式往往较方便且能避免机械套用位移公式而出现解答错误。
C
要点二　初速度为零的匀变速直线运动的比例关系
「要点归纳」
1.等分运动时间(以T为时间单位)的情况
(1)1T末、2T末、3T末……瞬时速度之比:
v1∶v2∶v3∶…∶vn=1∶2∶3∶…∶n。
(2)1T内、2T内、3T内……位移之比:
x1∶x2∶x3∶…∶xn=1∶4∶9∶…∶n2。
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内……位移之比:
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN=1∶3∶5∶…∶(2N-1)。
2.等分位移(以x为单位)的情况
[例2] 汽车刹车过程可以看成匀减速直线运动,已知刹车3 s后停下,下列说法正确的是(　　)
[A]前1 s内、前2 s内、前3 s内的位移之比为 1∶4∶9　
[B]第1 s末、第2 s末、第3 s末的速度之比为 3∶2∶1　
[C]第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度之比为1∶3∶5
[D]这连续三个1 s内的速度改变量之比为1∶1∶1　
D
应用初速度为零的匀加速直线运动几个比例式的技巧
(1)比例式适用于初速度为零的匀加速直线运动,但应用逆向思维的方法也可以用来求解匀减速直线运动减速到速度为零的运动。
(2)匀变速直线运动中,若这些比例式成立,则该运动的初速度或末速度一定为零。
·规律方法·
[针对训练2] (多选)如图所示,伽利略做了小球在斜面上运动的实验。一个黄铜小球(可视为质点)从阻力很小、倾角为θ的斜槽上的最高点A由静止滚下,若在斜槽上取A、B、C、D、E五个等间距的点,则(　 　)
AC
提升·核心素养
「模型·方法·结论·拓展」
1.计数点的选取与测量
选择一条点迹清晰的纸带,不考虑开头一些过于密集的点,找一个便于测量的点作为计时起点(0点)。可选择相隔0.1 s的若干计数点进行测量,即依次每五个点取一个计数点,并标明0、1、2、3、4、…,相邻两计数点间的时间间隔(T=0.1 s )作为一个时间单位。
如图所示,用毫米刻度尺测量每个计数点之间的距离x1、x2、x3…并记录填入下表中。
位置编号 0 1 2 3 4 5 6 …
时间t/s 0 …
xn/m 0 …
vn/(m·s-1) — …
4.图像法分析数据
(1)建坐标系。
①以速度v为纵轴、时间t为横轴建立直角坐标系。
②定标度、描点:坐标轴的标度选取要合理,并根据表格中的数据在坐标系中描点。
(2)连线:通过所描的点作图线,让这条图线通过尽可能多的点,不在线上的点大致均匀分布在图线的两侧。如图所示。
5.实验结论
若所作v-t图像是一条倾斜的直线,则图线斜率不变,小车加速度恒定不变,求出的直线斜率即为小车的加速度。
[示例] 某同学用如图甲所示的装置,打出的一条纸带如图乙所示,其中A、B、C、D、E为计数点,相邻两个计数点之间还有4个点未画出,已知打点计时器的电源频率是50 Hz (周期为0.02 s)。
(1)实验时该纸带的　　　　(选填“左”或“右”)端是和小车相连的。
左
【解析】 (1)因为小车做匀加速直线运动,相同的时间内发生的位移越来越大,先打的点迹会密一些,A为先打的点,故左端是和小车相连的。
(2)打点计时器打下C点时小车的瞬时速度大小为　　　　 m/s(结果保留2位有效数字)。
0.30　
(3)由纸带上所示数据可算得小车运动的加速度大小为　　　　 m/s2
(结果保留 2位有效数字)。
0.40
「科学·技术·社会·环境」
航母舰载机的起飞
航母舰载机的起飞一般有三种方式:滑跃式、弹射式和垂直式。弹射起飞需要在航母上安装弹射器。电磁弹射器的工作原理与电磁炮类似。用强迫储能装置代替常规电源,它能在极短时间内释放所储存的电能;由弹射器使飞机获得足够的速度,从而实现短距离起飞。舰载机的起飞速度约为
300 km/h(约83 m/s)。
[示例] 已知某型号的舰载战斗机在处于静止状态的航空母舰跑道上加速时可产生的最大加速度为5 m/s2,当战斗机速度达到50 m/s时,即可离开航空母舰起飞。问:
(1)如果采用滑跃式起飞(可看作直线运动),则该航空母舰的飞行甲板长度至少为多少
【答案】 (1)250 m
(2)如果采用电磁弹射起飞,要求该飞机滑行 160 m 起飞,电磁弹射系统必须使飞机具有多大的初速度
【答案】 (2)30 m/s
检测·学习效果
1.一个做匀速直线运动的物体,从某时刻起做匀减速运动经3 s停止,设这3 s内连续通过两段位移的时间分别是2 s、1 s,这两段位移的大小之比和这两段位移上的平均速度之比分别是(　　)
[A]4∶1,2∶1 [B]8∶1,4∶1
[C]3∶1,2∶1 [D]4∶5,2∶5
B
2.(多选)如图所示,木块A、B、C并排固定在水平地面上,可视为质点的子弹以水平速度v0射入木块A,子弹在木块A、B、C中运动的时间相等,在木块中运动时加速度恒定。若子弹刚好射出木块C,下列说法正确的是(　 　)
AD
3.(多选)一个做匀加速直线运动的物体,先后经过a、b两点时的速度分别为v和7v,通过ab段的时间是t,则下列说法正确的是(　 　)
ABC
4.为激发飞行学员的职业荣誉感,空军曾派出运-20飞机运送新录取飞行学员到空军航空大学报到。假设运-20飞机沿直线跑道由静止开始以最大加速度匀加速起飞,经过时间t1=20 s达到起飞速度vt=60 m/s。
(1)求飞机起飞时的加速度大小a1和发生的位移大小x1;
【答案】 (1)3 m/s2　600 m
(2)跑道上有一个航线临界点,如图所示,超过临界点就必须起飞,如果放弃起飞飞机将可能冲出跑道,已知跑道长度L=1 200 m,飞机减速的最大加速度大小a2=2 m/s2,求临界点与跑道起点的距离x0。
【答案】 (2)480 m
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