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山西晋中市2025-2026学年高一下学期素养测评（二） 数学试题
一、单选题
1．复数是实数，则实数（ ）
A． B．-3 C． D．3
2．下列命题正确的是（ ）
A．单位向量都相等 B．若，，则
C．零向量没有方向 D．若，则
3．如图，在矩形中，为边上一点且，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知是两个不共线的向量，若，则四点中共线的三点是（ ）
A． B． C． D．
5．已知平面向量，，，且，，若向量与向量所成的角为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．4
6．人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知，若的余弦距离为，则（ ）
A． B． C． D．
7．设复数是关于的方程的两个根，在复平面内所对应的点分别为为坐标原点，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．为纯虚数
8．在中，角所对的边分别为，且．若点为边的中点，边上的中线的长为，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若复数满足是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为1 B．在复平面内对应的点位于第四象限
C． D．
10．已知平面向量，，则下列说法错误的是（ ）
A．当时，或
B．若向量在向量上的投影向量为，则
C．当时，向量在向量上的投影向量为
D．若向量和向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为
11．满足，且，则（ ）
A．三个内角满足关系
B．的周长为
C．若的角平分线与交于，则的长为
D．设为外接圆上任意一点，则的最大值为
三、填空题
12．在复平面内，是坐标原点，复数，，，所对应的点分别是，，．若，则的值是___________．
13．在中，已知，则的形状为________．
14．在中，角所对的边分别为，且．若有两个，则实数的取值范围是___________．
四、解答题
15．已知为虚数单位，是的两个虚根．
(1)设满足方程，求实数的值；
(2)设，在复平面内，复数对应的向量分别是，若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
16．如图，在中，边上的两条中线相交于点．
(1)求中线的长；
(2)求的余弦值．
(3)设，求实数的值．
17．如图，某城市为升级沿河直线绿道的沿途风景，计划在以为直径的半圆形空地内部修建一块矩形枫叶林（在上，在半圆上，为圆心），已知的长为．
(1)求枫叶林面积的最大值；
(2)为方便游客休憩打卡，计划在的另一侧修建观景木质栈道，已知段每米的造价为元，段每米的造价是段的两倍，，求修建观景木质栈道所需的费用最多为多少元（结果用表示）．
18．如图，在中，为线段上一点（包含端点），且．
(1)若，求的值；
(2)若，且与的夹角为，求的值；
(3)若，且，求的取值范围．
19．希尔密码是基于矩阵运算的一种加密算法，在希尔密码中，每个英文字母都用数字来代替，其加密过程如下：假设明文中2个字母对应的数字分别为，记，加密矩阵，加密过程是，其中，则密文为数字分别对应的字母．若所得数字大于25，则取该数对26取余数后余数对应的字母，例如，若，则取数字4对应的字母．
(1)若加密矩阵，求明文为“”的希尔密码的密文．
(2)若．
①在中，，点在边上，且，，求的面积；
②在中，角的对边分别为且恒成立，证明：．
参考答案
1．A
【详解】因为复数是实数，
所以，解得.
2．D
【详解】A选项：单位向量的模长都为，但方向不一定相同，因此不一定相等，A错误；
B选项：若，则且时，与不一定平行，B错误；
C选项：零向量的方向是任意的，并非“没有方向”，C错误；
D选项：若，则两向量模长相等且方向相同，因此，D正确．
3．D
【详解】在矩形中，由，得.
4．C
【详解】，
，
与共线，三点共线.
5．B
【详解】因为，，向量与向量所成的角为，
所以，
即，
所以，
当且仅当与共线方向相反时等号成立.
6．C
【详解】由题设，
所以
，
由，
所以.
7．B
【详解】由题知，方程无实数根，则两个复数根必为共轭复数，，故C错误；
又，故为实数，故A，D错误；
又，则方程的根为，
即，
，
由得，即，，
故，故B正确.
8．A
【详解】由余弦定理可得，
由点为边的中点，则，
故，
即，即，
则，即，
当且仅当时，等号成立，
故，
即面积的最大值为.
9．AD
【详解】由，得，，
对于A，的虚部为1，A正确；
对于B，在复平面内对应的点位于第一象限，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，因此，D正确.
10．BD
【详解】对于A，由，得，解得，，A正确；
对于B，向量在向量上的投影向量为，
由题意得，即(*)，
因为，，
代入（*）可得，解得，，B错误；
对于C，向量在向量上的投影向量为，
当时，，，所以，
因此向量在向量上的投影向量为，C正确；
对于D，当时，，，两向量反向共线，夹角为，不是钝角，但在区间内，故D错误.
11．ABD
【详解】因为，由正弦定理得，
因为，所以，
所以，
对于A：由余弦定理知，，因为，所以，
所以，即，故A正确；
对于B：因为，
所以的周长为，故B正确；
对于C：若的角平分线与交于，则，
因为，
所以，
即，解得，故C错误；
对于D：因为，
设外接圆的圆心为，半径为，
由正弦定理知，，所以，
过点作的垂线，垂足为，则，
当，且点在的延长线上时，取得最大值，如图所示，
此时，
所以的最大值为，故D正确.
12．/
【详解】因为复数，，，所对应的点分别是，，，
所以，，，
即，，，
所以
由，所以，
解得，因此.
13．等腰或直角三角形
【详解】由正弦定理及余弦定理可得：
，
即有，化简得，
故或，则为等腰或直角三角形.
故答案为：等腰或直角三角形.
14．
【详解】由和余弦定理，可得，
化简得，所以，
因为，所以．
要使有两个，需满足，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
15．(1)；
(2).
【详解】（1）由是方程的两个虚根，得互为共轭复数，
设，则，，，
由，得，即，
因此，解得，所以.
（2）由，得，则，，
因此，，
由与的夹角为锐角，得，且与不共线，
所以，解得且，
所以实数的取值范围为.
16．(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）由为BC的中点，得，
所以.
（2）依题意，，
，
，
所以.
（3）依题意，，由三点共线，
得，又，则，
而不共线，因此，解得，
所以实数的值为.
17．(1)
(2)元
【详解】（1）设，则，在直角中，由，
则，，
所以矩形的面积为：，
故当，即时，矩形枫叶林面积取得最大值为.
（2）因为，所以，记，
由正弦定理有：，
即，
所以修建观景木质栈道所需的费用为：
其中，，且，
当时，所需的费用达到最多即元.
18．(1)
(2)13
(3)
【详解】（1）若，则，即，故；
（2）若，则，即，
所以
；
（3）以O为坐标原点可建立如图所示平面直角坐标系，
则，，∴；
设，则，又，∴，即，
∴，∴，，
∴，
∵P为线段AB上一点，∴，
∴，即，
∴的取值范围为.
19．(1)；
(2)①；②证明见解析.
【详解】（1）“”对应的数字分别为13，5，由，
33对26的余数为7，因此密文两个字母对应的数字分别为18，7，密文为“”，
所以明文为“”的希尔密码的密文为“”.
（2）①依题意，
则，
，
由，得，
在中，由，得，
则，解得，，
在中，，
由正弦定理得，
，
所以的面积为.
②在中，由①及，得，，
由余弦定理得，
由两边同时平方得，
整理得，即，
依题意，，则，
因此，，，于是，所以.

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